kgV-Rechner – kleinstes gemeinsames Vielfaches
Berechnen Sie das kleinste gemeinsame Vielfache und den größten gemeinsamen Teiler von 2 bis 10 positiven ganzen Zahlen. Geben Sie die Zahlen durch Kommas oder Leerzeichen getrennt ein und sehen Sie deren Primfaktorzerlegungen sowie die Rechenschritte zum kgV.
kgV natürlicher Zahlen berechnen
LCM Formula
Dabei gilt:
- \(a_1,a_2,\ldots,a_n\) — die eingegebenen positiven ganzen Zahlen.
- \(p\) — ein Primfaktor von mindestens einer der eingegebenen Zahlen.
- \(v_p(a_i)\) — der Exponent von \(p\) in der Primfaktorzerlegung von \(a_i\); er ist 0, wenn \(p\) kein Faktor ist.
Von jeder Primzahl, die vorkommt, nehmen Sie den höchsten Exponenten unter den eingegebenen Zahlen. Das Produkt dieser Primzahlpotenzen ergibt die kleinste positive ganze Zahl, die durch alle Eingaben teilbar ist.
LCM – Calculation Example
Beispiel: Berechnen wir das kgV der voreingestellten Zahlen 12, 18 und 30.
Zerlegen Sie jede Zahl in ihre Faktoren und wählen Sie dann die höchste Potenz jeder Primzahl:
\[12=2^2\times3,\qquad18=2\times3^2,\qquad30=2\times3\times5\]
\[\operatorname{kgV}(12,18,30)=2^2\times3^2\times5=4\times9\times5=180\]
Ergebnis: Das kgV ist 180. Der Rechner zeigt zusätzlich einen ggT von 6 an.
So verwenden Sie den Rechner
- Geben Sie unter Positive ganze Zahlen 2 bis 10 Zahlen ein, getrennt durch Kommas oder Leerzeichen. Geben Sie zum Beispiel
12, 18, 30ein. - Lesen Sie bei Kleinstes gemeinsames Vielfaches (kgV) die kleinste positive Zahl ab, die durch alle Eingaben teilbar ist.
- Prüfen Sie den Größten gemeinsamen Teiler (ggT): die größte positive Zahl, die jede Eingabe ohne Rest teilt.
- Über Primfaktorzerlegung jeder Zahl sehen Sie, wie sich jede Eingabe zusammensetzt. Höchste Potenz jeder Primzahl zeigt, welche Faktoren zu übernehmen sind, und Produkt der höchsten Potenzen zeigt, wie diese gemeinsam das kgV ergeben.
Was das kleinste gemeinsame Vielfache bedeutet
Ein Vielfaches einer positiven ganzen Zahl ist diese Zahl multipliziert mit einer weiteren ganzen Zahl. Das kleinste gemeinsame Vielfache, kurz kgV, ist die kleinste positive Vielfache, das alle eingegebenen Zahlen gemeinsam haben. So ist 180 etwa durch 12, 18 und 30 teilbar; keine kleinere positive ganze Zahl ist durch alle drei teilbar. Ein größeres gemeinsames Vielfaches wie 360 funktioniert zwar auch, ist aber nicht das kleinste.
Das kgV ist immer dann nützlich, wenn Größen in zueinander passenden Einheiten ausgedrückt werden müssen oder sich wiederholende Ereignisse auf einen gemeinsamen Termin fallen sollen. Wiederholt sich ein Ereignis alle 12 Tage und ein anderes alle 18 Tage, fallen sie – bei gemeinsamem Start – alle 36 Tage zusammen. Bei Brüchen liefert das kgV der Nenner den kleinsten gemeinsamen Nenner, wodurch Brüche leichter addiert oder verglichen werden können.
Die Primfaktorzerlegung erklärt, warum die Rechnung funktioniert. Jeder Wert im Ergebnis muss durch jede Eingabe teilbar sein, also braucht das Ergebnis von jeder Primzahl mindestens so viele Exemplare wie die Eingabe mit dem höchsten Exponenten. Im Beispiel liefert 18 den Faktor \(3^2\), 12 den Faktor \(2^2\) und 30 den Faktor \(5\). Werden alle drei höchsten Potenzen übernommen, ergibt sich 180. Eine einzelne Zahl können Sie im <a href=\