Teiler-Rechner – Alle Teiler einer Zahl

Q: Wie finde ich alle Teiler einer Zahl von Hand?

Testen Sie jede ganze Zahl von 1 bis √(n) und dividieren Sie n durch jeden Kandidaten. Jedes Mal, wenn die Division ohne Rest aufgeht, haben Sie zwei Teiler auf einmal gefunden: den Kandidaten d und seinen Partner n ÷ d. Beispiel mit 60: Der Test bis √(60) ≈ 7.7 liefert die Paare 1 × 60, 2 × 30, 3 × 20, 4 × 15, 5 × 12, 6 × 10. Sammeln Sie alle Zahlen aus den Paaren und sortieren Sie sie – so erhalten Sie die vollständige Liste.

Q: Warum haben Quadratzahlen eine ungerade Anzahl von Teilern?

Teiler treten normalerweise paarweise auf, als d × (n ÷ d), weshalb ihre Gesamtzahl gerade ist. Bei einer Quadratzahl wie 36 ist der mittlere Partner √(36) = 6, und 6 bildet mit sich selbst ein Paar – 6 × 6 = 36 – und wird deshalb nur einmal gezählt. Diese eine Selbstpaarung macht die Gesamtzahl ungerade. Umgekehrt muss jede Zahl mit einer ungeraden Anzahl von Teilern eine Quadratzahl sein.

Q: Was ist der Unterschied zwischen einem Teiler und einem Vielfachen?

Die beiden Begriffe sind zueinander invers. Ein Teiler von n teilt n ohne Rest, deshalb sind Teiler nie größer als n selbst; ein Vielfaches von n entsteht durch Multiplizieren, deshalb sind Vielfache nie kleiner als n. So ist 3 ein Teiler von 12 und 12 ein Vielfaches von 3. Häufig wird das verwechselt: 12 ist kein Teiler von 3, aber 3 ist auch ein Vielfaches von 3 – jede Zahl ist zugleich Teiler und Vielfaches von sich selbst.

Q: Zählen negative Zahlen als Teiler?

In der strengen ganzzahligen Arithmetik ja: Wenn d die Zahl n teilt, tut das auch -d – −2 und 2 sind also beides Teiler von 10, was die Anzahl verdoppelt. Im Schulgebrauch und in den meisten Aufgaben bedeutet „Teiler von n“ aber nur die positiven Teiler, und genau die listet der Rechner standardmäßig auf. Bei einer negativen Eingabe zeigt er die Teiler von |n| und weist die negativen Gegenwerte gesondert aus.

Aktualisiert: 2 November 2026

Geben Sie eine beliebige ganze Zahl bis 10¹² ein und erhalten Sie sofort alle ihre Teiler, die Teileranzahl und Teilersumme, die Primfaktorzerlegung, die Teilerpaare sowie die Einstufung als Primzahl, vollkommene, abundante oder defiziente Zahl – oder vergleichen Sie 2–5 Zahlen, um ihre gemeinsamen Teiler und den ggT zu ermitteln.

Alle Teiler, Teilerpaare und die Primfaktorzerlegung finden

Teiler-Formel

Formel

\[ d \text{ ist ein Teiler von } n \iff n = d \cdot k \text{ für eine ganze Zahl } k \] \[ n = p_1^{e_1} \cdot p_2^{e_2} \cdots p_r^{e_r} \;\Rightarrow\; \tau(n) = \prod_{i=1}^{r} (e_i + 1), \qquad \sigma(n) = \prod_{i=1}^{r} \frac{p_i^{e_i + 1} - 1}{p_i - 1} \]

Dabei gilt:

\(d\) — ein Teiler von \(n\)
\(n\) — die zu zerlegende Zahl
\(p_i\), \(e_i\) — die verschiedenen Primfaktoren von \(n\) und ihre Exponenten in der Primfaktorzerlegung
\(\tau(n)\) — die Anzahl aller Teiler von \(n\)
\(\sigma(n)\) — die Summe aller Teiler von \(n\)

Die erste Zeile definiert, was ein Teiler ist: eine Zahl \(d\), die \(n\) ohne Rest teilt. Die zweite Zeile zeigt, wie die Primfaktorzerlegung sowohl festlegt, wie viele Teiler es gibt, als auch, welche Summe sie ergeben.

Teiler – Rechenbeispiel

Beispiel: Alle Teiler von \(n = 360\) ermitteln – dem Standardwert des Rechners.

\[ 360 = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5 \]

\[ \tau(360) = (3+1)(2+1)(1+1) = 24 \]

\[ \sigma(360) = \frac{2^4 - 1}{2 - 1} \cdot \frac{3^3 - 1}{3 - 1} \cdot \frac{5^2 - 1}{5 - 1} = 15 \cdot 13 \cdot 6 = 1170 \]

Ergebnis: 360 hat 24 Teiler: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 45, 60, 72, 90, 120, 180, 360. Ihre Summe beträgt 1170. Da die Summe der echten Teiler \(1170 - 360 = 810 > 360\) beträgt, ist die Zahl 360 abundant. Die Teiler bilden 12 Paare, von \(1 \times 360\) bis \(18 \times 20\).

So verwenden Sie den Teiler-Rechner

Wählen Sie den Modus: Alle Teiler einer Zahl oder Gemeinsame Teiler von 2–5 Zahlen.
Geben Sie im Modus Alle Teiler eine ganze Zahl von 1 bis 10¹² in das Feld Zahl (n) ein. Ein Minuszeichen ist erlaubt; der Rechner listet dann die Teiler von \(|n|\) auf und weist auf die negativen hin.
Lesen Sie die Ergebnisse ab: Alle Teiler in aufsteigender Reihenfolge, Anzahl der Teiler \(\tau(n)\), Teilersumme \(\sigma(n)\), die Primfaktorzerlegung, eine Tabelle der Teilerpaare sowie die Einstufung als Primzahl, vollkommene, abundante oder defiziente Zahl.
Geben Sie im Modus Gemeinsame Teiler 2–5 von null verschiedene ganze Zahlen in das Feld Zahlen ein, getrennt durch Kommas, Leerzeichen, Semikolons oder Zeilenumbrüche (zum Beispiel 12, 18, 30). Das Ergebnis listet alle Teiler, die diese Zahlen gemeinsam haben, wobei der größte gemeinsame Teiler hervorgehoben wird.

Was Teiler sind und warum sie wichtig sind

Ein Teiler einer Zahl \(n\) ist jede ganze Zahl, die \(n\) ohne Rest teilt. 12 ist zum Beispiel durch 1, 2, 3, 4, 6 und 12 teilbar – das sind also alle ihre Teiler. Jeder Teiler \(d\) von \(n\) hat einen Partner: Wegen \(n = d \times k\) ist dieser Partner \(k = n \div d\). Deshalb ordnen sich Teiler ganz natürlich zu Teilerpaaren an. Eine Quadratzahl wie 36 mit dem Paar \(6 \times 6\) hat eine ungerade Anzahl von Teilern, weil \(\sqrt{n}\) mit sich selbst gepaart ist.

Der schnellste Weg, alle Teiler einer großen Zahl zu finden, ist die Primfaktorzerlegung. Wenn \(n = p_1^{e_1} \cdot p_2^{e_2} \cdots p_r^{e_r}\), dann ist jeder Teiler ein Produkt derselben Primzahlen mit Exponenten, die höchstens \(e_i\) betragen. Die Anzahl ergibt sich sofort: \(\tau(n) = (e_1+1)(e_2+1)\cdots(e_r+1)\). Für eine Primfaktorzerlegung Schritt für Schritt nutzen Sie den Rechner zur Primfaktorzerlegung; um nur einen Kandidaten zu prüfen, ist der Primzahltest schneller.

Die Teilersumme \(\sigma(n)\) ist mehr als eine Kuriosität – sie stuft die Zahl ein. Addieren sich die echten Teiler (alle Teiler außer \(n\) selbst) genau zu \(n\), ist die Zahl vollkommen, wie 6 oder 28. Ergibt die Summe mehr, ist sie abundant, ergibt sie weniger, defizient. Primzahlen sind stets defizient, denn ihr einziger echter Teiler ist die 1.

Gemeinsame Teiler sind die Teiler, die zwei oder mehr Zahlen miteinander teilen. Sie sind genau die Teiler des größten gemeinsamen Teilers (ggT) – deshalb bestimmt der Rechner zuerst den ggT und listet dann dessen Teiler auf. Gemeinsame Teiler sind der Schlüssel zum Kürzen von Brüchen; das Gegenstück dazu, das kleinste gemeinsame Vielfache, behandelt der kgV-Rechner.

Voraussetzungen, Grenzen und Tipps

Nur ganze Zahlen. Brüche und Dezimalzahlen werden nicht akzeptiert. Die Null ist ausgeschlossen, weil sie durch jede ganze Zahl außer null teilbar ist und eine unendliche Liste ergeben würde.
Größenbegrenzung. Der Betrag jeder Zahl darf höchstens 10¹² (1.000.000.000.000.000) betragen. Sehr große Eingaben mit Tausenden von Teilern werden abgeschnitten: Die Liste zeigt die ersten 2.000 Teiler, die Paartabelle bis zu 500 Paare; der Rest wird mitgezählt.
Negative Zahlen. Bei einer negativen Eingabe werden die positiven Teiler von \(|n|\) aufgelistet und darauf hingewiesen, dass jeder davon auch einen negativen Gegenwert \(-d\) hat – das verdoppelt die Gesamtzahl der ganzzahligen Teiler.
Tipp. Um schnell zu prüfen, ob ein Kandidat \(n\) teilt, ohne alles aufzulisten, dividieren Sie \(n\) durch ihn und sehen nach, ob der Quotient eine ganze Zahl ist. Getestet werden muss nur bis \(\sqrt{n}\), denn jeder Teiler, der größer als \(\sqrt{n}\) ist, ist der Partner zu einem kleineren, den Sie bereits gefunden haben.
Tipp. Teilerpaare sind nützlich, um Wurzeln zu vereinfachen und quadratische Ausdrücke zu faktorisieren: Wenn \(a \times b = n\) mit einer passenden Summe oder Differenz gilt, haben Sie eine brauchbare Zerlegung von \(n\) gefunden.

Häufig gestellte Fragen

Wie finde ich alle Teiler einer Zahl von Hand?

Testen Sie jede ganze Zahl von 1 bis \(\sqrt{n}\) und dividieren Sie \(n\) durch jeden Kandidaten. Jedes Mal, wenn die Division ohne Rest aufgeht, haben Sie zwei Teiler auf einmal gefunden: den Kandidaten \(d\) und seinen Partner \(n \div d\). Beispiel mit 60: Der Test bis \(\sqrt{60} \approx 7.7\) liefert die Paare \(1 \times 60\), \(2 \times 30\), \(3 \times 20\), \(4 \times 15\), \(5 \times 12\), \(6 \times 10\). Sammeln Sie alle Zahlen aus den Paaren und sortieren Sie sie – so erhalten Sie die vollständige Liste.

Warum haben Quadratzahlen eine ungerade Anzahl von Teilern?

Teiler treten normalerweise paarweise auf, als \(d \times (n \div d)\), weshalb ihre Gesamtzahl gerade ist. Bei einer Quadratzahl wie 36 ist der mittlere Partner \(\sqrt{36} = 6\), und 6 bildet mit sich selbst ein Paar – \(6 \times 6 = 36\) – und wird deshalb nur einmal gezählt. Diese eine Selbstpaarung macht die Gesamtzahl ungerade. Umgekehrt muss jede Zahl mit einer ungeraden Anzahl von Teilern eine Quadratzahl sein.

Was ist der Unterschied zwischen einem Teiler und einem Vielfachen?

Die beiden Begriffe sind zueinander invers. Ein Teiler von \(n\) teilt \(n\) ohne Rest, deshalb sind Teiler nie größer als \(n\) selbst; ein Vielfaches von \(n\) entsteht durch Multiplizieren, deshalb sind Vielfache nie kleiner als \(n\). So ist 3 ein Teiler von 12 und 12 ein Vielfaches von 3. Häufig wird das verwechselt: 12 ist kein Teiler von 3, aber 3 ist auch ein Vielfaches von 3 – jede Zahl ist zugleich Teiler und Vielfaches von sich selbst.

Ist 1 ein Teiler jeder Zahl, und ist 1 eine Primzahl?

Ja, 1 teilt jede ganze Zahl ohne Rest, also ist 1 stets ein Teiler von \(n\) und bildet am oberen Ende der Teilerliste das Paar mit \(n\) selbst. Eine Primzahl ist 1 trotzdem nicht: Eine Primzahl muss genau zwei Teiler haben, nämlich 1 und sich selbst, während 1 nur einen einzigen hat. Deshalb wird 1 auch weder als zusammengesetzte Zahl noch als vollkommen, abundant oder defizient eingestuft.

Wie viele Teiler kann eine Zahl maximal haben?

Eine feste Grenze gibt es nicht – manche Zahlen haben weit mehr Teiler als andere ähnlicher Größe. Solche Zahlen nennt man hochzusammengesetzt: So besitzt 720720 insgesamt 240 Teiler, und 963761198400 (unterhalb von 10¹²) hat 6720 davon. Die Anzahl wächst mit der Zahl der verschiedenen Primfaktoren und deren Exponenten: \(\tau(n) = (e_1+1)(e_2+1)\cdots(e_r+1)\) – jede neu hinzukommende Primzahl multipliziert die Anzahl also stets.

Zählen negative Zahlen als Teiler?

In der strengen ganzzahligen Arithmetik ja: Wenn \(d\) die Zahl \(n\) teilt, tut das auch \(-d\) – −2 und 2 sind also beides Teiler von 10, was die Anzahl verdoppelt. Im Schulgebrauch und in den meisten Aufgaben bedeutet „Teiler von n“ aber nur die positiven Teiler, und genau die listet der Rechner standardmäßig auf. Bei einer negativen Eingabe zeigt er die Teiler von \(|n|\) und weist die negativen Gegenwerte gesondert aus.

Welche sind die ersten vollkommenen Zahlen, und warum sind sie so selten?

Eine vollkommene Zahl ist gleich der Summe ihrer echten Teiler: Die kleinsten sind 6 (1 + 2 + 3), 28 (1 + 2 + 4 + 7 + 14), 496 und 8128. Jede bekannte gerade vollkommene Zahl hat die Euklid-Euler-Form \(2^{p-1}(2^p - 1)\), wobei \(2^p - 1\) eine Mersenne-Primzahl sein muss – das erklärt ihre Seltenheit: Es sind nur 52 bekannt, und ob es überhaupt eine ungerade vollkommene Zahl gibt, ist bis heute unbewiesen.