ggT-Rechner – größter gemeinsamer Teiler
Berechnen Sie den größten gemeinsamen Teiler von 2–10 ganzen Zahlen – zusammen mit dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen, den Primfaktorzerlegungen und den Schritten der Euklidischen Division. Geben Sie Zahlen durch Kommas oder Leerzeichen getrennt ein.
Den größten gemeinsamen Teiler von 2 bis 10 ganzen Zahlen berechnen
ggT-Formel
Dabei gilt:
- \(n_1,\ldots,n_k\) — die eingegebenen ganzen Zahlen.
- \(p\) — eine Primzahl, die mindestens eine der Zahlen teilt.
- \(v_p(|n_i|)\) — der Exponent von \(p\) in der Primfaktorzerlegung von \(|n_i|\); er beträgt 0, wenn \(p\) die Zahl \(|n_i|\) nicht teilt.
Im ggT kommen nur Primzahlen vor, die jede der Zahlen teilt – jeweils mit dem kleinsten Exponenten. Wenn keine Primzahl in allen Zahlen vorkommt, ist das Ergebnis 1.
ggT – Rechenbeispiel
Beispiel: Berechnen wir den ggT der voreingestellten Zahlen des Rechners: 48, 180 und 300.
Zerlegen Sie jede Zahl in ihre Primfaktoren und behalten Sie von jeder gemeinsamen Primzahl die kleinste Potenz:
\[48=2^4\times3,\qquad180=2^2\times3^2\times5,\qquad300=2^2\times3\times5^2\]
\[\operatorname{ggT}(48,180,300)=2^{\min(4,2,2)}\times3^{\min(1,2,1)}=2^2\times3=12\]
Beim ersten Zahlenpaar ergibt die Euklidische Division: \(180=48\times3+36\), \(48=36\times1+12\) und \(36=12\times3+0\). Der ggT dieses Paares ist 12; bildet man anschließend den ggT von 12 und 300, bleibt es bei 12.
Ergebnis: ggT = 12. Der Rechner zeigt außerdem kgV = 3.600 an sowie „Nein“ bei der Frage nach Teilerfremdheit.
So bedienen Sie den Rechner
- Geben Sie im Feld Ganze Zahlen 2–10 von null verschiedene ganze Zahlen ein, durch Kommas oder Leerzeichen getrennt. Zum Beispiel
48, 180, 300oder48 180 300. - Lesen Sie beim Größten gemeinsamen Teiler (ggT) die größte positive ganze Zahl ab, durch die jede Eingabe ohne Rest teilbar ist.
- Prüfen Sie das Kleinste gemeinsame Vielfache (kgV): die kleinste positive Zahl, die Vielfaches aller Eingaben ist. Sind die Zahlen teilerfremd? zeigt „Ja“ an, wenn der gesamte ggT gleich 1 ist.
- Mit den Euklidischen Divisionsschritten für das erste Paar sehen Sie, wie die ggT-Berechnung beginnt. Die übrigen Ergebnisse zeigen die Primfaktorzerlegung jeder Zahl sowie die gemeinsamen Primzahlen in ihren kleinsten Potenzen, aus denen sich der endgültige ggT ergibt.
Was der größte gemeinsame Teiler bedeutet
Der größte gemeinsame Teiler, auch größter gemeinsamer Teiler oder ggT genannt, ist die größte positive ganze Zahl, durch die alle gegebenen Zahlen ohne Rest teilbar sind. Bei 48, 180 und 300 ist das die 12: Alle drei Zahlen sind durch 12 teilbar, und keine größere positive ganze Zahl teilt alle drei. Der ggT hilft beim Kürzen von Brüchen, beim Aufteilen von Mengen in gleich große Gruppen ohne Rest oder beim Bestimmen einer gemeinsamen Maßeinheit.
Die Methode über die Primfaktorzerlegung macht das Ergebnis sichtbar. Eine Primzahl gehört nur dann in den ggT, wenn sie in jeder Eingabe vorkommt. Ihr Exponent muss der kleinste unter allen Eingaben sein. Im Beispiel enthalten alle drei Zahlen die Faktoren 2 und 3, während die 5 in 48 fehlt. Mit \(2^2\) und \(3^1\) ergibt sich 12. Wer die Teiler einer einzelnen Zahl genauer untersuchen will, kann den Primfaktorzerlegungsrechner nutzen; mit der Primzahlprüfung lässt sich ein einzelner Faktor verifizieren.
Der Euklidische Algorithmus führt zum gleichen Ergebnis, ohne vorher Primfaktoren zu bestimmen. Teilen Sie den größeren der beiden ersten Beträge durch den kleineren und wiederholen Sie den Vorgang mit Divisor und Rest. Der letzte von null verschiedene Rest ist der ggT dieses Paares. Bei mehr als zwei Zahlen berechnen Sie den ggT dieses Ergebnisses und der nächsten Zahl und fahren so mit der Liste fort. Der Rechner zeigt die Divisionsschritte nur für das erste Paar an; der endgültige ggT bezieht alle Eingaben ein.
Ist der gesamte ggT gleich 1, sind die Zahlen als Gruppe teilerfremd. Das bedeutet nicht zwangsläufig, dass jedes Paar teilerfremd ist: 6, 10 und 15 haben als Gruppe den ggT 1, obwohl jedes Paar einen gemeinsamen Teiler besitzt. Teilerfremdheit spielt auch eine Rolle beim multiplikativen Inversen modulo einer Zahl – dort müssen die beiden ganzen Zahlen den ggT 1 haben.
Eingabegrenzen und Hinweise zur Interpretation
- Geben Sie mindestens 2 und höchstens 10 ganze Zahlen ein. Null, Dezimalzahlen und Brüche werden nicht akzeptiert. Der Betrag jeder Zahl darf 1.000.000.000.000 nicht überschreiten.
- Vorzeichen sind zulässig. Der Rechner arbeitet mit Beträgen, daher ändert ein Vorzeichenwechsel weder den ggT noch das kgV. Beide angegebenen Werte sind positiv.
- Die Zahlen 1 und −1 sind zulässig und haben keine Primfaktoren. Kommt eine von ihnen unter den Eingaben vor, ist der gesamte ggT 1.
- Verwechseln Sie den ggT nicht mit dem kgV. Der ggT teilt jede Eingabe; das kgV ist durch jede Eingabe teilbar. Selbst mit der Begrenzung pro Zahl kann das kgV mehrerer Zahlen deutlich größer werden als jede einzelne Eingabe.
Häufig gestellte Fragen
Wie finde ich den ggT von Hand ohne Primfaktorzerlegung?
Bei kleinen Zahlen listet man die positiven Teiler jeder Zahl auf und wählt den größten Teiler, der in jeder Liste vorkommt. Die gemeinsamen Teiler von 18 und 30 sind beispielsweise 1, 2, 3 und 6, ihr ggT also 6. Bei großen Zahlen wird das Auflisten mühsam; wiederholte Division mit Rest ist meist schneller.
Wie kürze ich einen Bruch mit dem ggT?
Teilen Sie Zähler und Nenner durch ihren ggT. Der ggT von 42 und 56 ist zum Beispiel 14, also gilt \(42/56=(42\div14)/(56\div14)=3/4\). Der gekürzte Zähler und Nenner haben danach keinen gemeinsamen Teiler größer als 1, der Bruch ist also vollständig gekürzt. Ein etwaiges Minuszeichen sollte beim Bruch bleiben und nicht wie ein Teiler behandelt werden.
Kann ich das kgV aus dem ggT berechnen?
Für zwei von null verschiedene ganze Zahlen ja: \(\operatorname{kgV}(a,b)=|ab|/\operatorname{ggT}(a,b)\). Rechnen Sie von Hand, lösen Sie die Division vor der Multiplikation auf, damit die Zwischenzahl kleiner bleibt. Wenden Sie diese Formel nicht auf das Produkt von drei oder mehr Eingaben mit ihrem gesamten ggT an; das liefert im Allgemeinen ein falsches kgV. Kombinieren Sie die Zahlen stattdessen paarweise.
Liefert der ggT bei Gruppierungsaufgaben die Anzahl der Gruppen oder die Größe jeder Gruppe?
Das hängt davon ab, was gleich sein soll. Wenn 24 rote und 36 blaue Perlen in möglichst viele identische Gruppen aufgeteilt werden sollen, ist der ggT, 12, die Anzahl der Gruppen. Jede Gruppe enthält dann 2 rote und 3 blaue Perlen. Wer Längen ohne Verschnitt in gleich lange Stücke schneiden will, erhält mit dem ggT die Stücklänge.
Was passiert, wenn eine der Zahlen null ist?
Dieser Rechner akzeptiert keine Null. Die übliche mathematische Konvention lautet jedoch \(\operatorname{ggT}(0,a)=|a|\) für \(a\ne0\): Jeder positive Teiler von \(a\) teilt auch die Null. Für den ggT von null und null gibt es keinen größten positiven Wert, weshalb er üblicherweise als undefiniert gilt. Wenn Sie bei diesem Rechner eine null entfernen, prüfen Sie, ob die verbleibenden Zahlen das Problem noch zutreffend beschreiben.
Wie finde ich einen gemeinsamen Messschritt für Dezimalwerte?
Wandeln Sie alle Werte zunächst in dieselbe Einheit um und skalieren Sie sie zu ganzen Zahlen. Bei Messungen von 1,2 cm und 0,8 cm, auf ein Zehntelzentimeter erfasst, multipliziert man beide mit 10, bestimmt \(\operatorname{ggT}(12,8)=4\) und teilt wieder durch 10. Der größte gemeinsame Schritt bei dieser Genauigkeit ist 0,4 cm. Das Ergebnis hängt von der gewählten Messgenauigkeit ab.
Wann ist der ggT gleich der kleinsten Eingabe?
Der ggT ist gleich der kleinsten Eingabe nach Betrag, wenn diese jede andere Zahl ohne Rest teilt. Der ggT von 8, 24 und 40 ist beispielsweise 8. Eine wiederholte Eingabe ändert den ggT nicht: Der ggT von 8, 8 und 24 ist ebenfalls 8. Größer als die kleinste Eingabe nach Betrag kann der ggT nie sein.