Permutations- und Kombinationsrechner
Berechnen Sie Permutationen (nPr), Kombinationen (nCr) und Fakultäten sofort, mit oder ohne Wiederholung. Geben Sie die Gesamtzahl der Elemente n ein, wie viele Sie auswählen r, und lesen Sie alle Ergebnisse auf einmal ab.
Permutationen & Kombinationen berechnen
Formel für Permutationen & Kombinationen
Dabei ist:
- \(n\) — Gesamtzahl der verschiedenen Elemente in der Menge
- \(r\) — Anzahl der ausgewählten bzw. angeordneten Elemente
- \(P(n, r)\) — Anzahl geordneter Auswahlen (Permutationen, auch Variationen \(V(n, r)\) oder nPr genannt)
- \(C(n, r)\) — Anzahl ungeordneter Auswahlen (Kombinationen oder nCr)
- \(n!\) — Fakultät von \(n\), die Anzahl der Möglichkeiten, alle \(n\) Elemente in einer Reihe anzuordnen
Eine Permutation zählt geordnete Anordnungen: Es spielt eine Rolle, welches Element an erster, zweiter oder dritter Stelle steht. Eine Kombination zählt ungeordnete Auswahlen: Nur die gewählte Menge zählt. Die beiden sind durch \(P(n, r) = C(n, r) \cdot r!\) verknüpft, denn jede ungeordnete Gruppe von \(r\) Elementen lässt sich auf \(r!\) Arten anordnen. Wenn Wiederholung erlaubt ist, darf dasselbe Element mehrfach gewählt werden, was beide Formeln verändert.
Permutationen & Kombinationen – Rechenbeispiel
Beispiel: Ein Verein mit 10 Mitgliedern muss einen Vorsitzenden, einen Schriftführer und einen Kassierer bestimmen (drei verschiedene Personen) und möchte außerdem wissen, wie viele 3-köpfige Ausschüsse er bilden könnte.
Geordnete Zuweisungen (Permutationen):
\[ P(10, 3) = \frac{10!}{(10 - 3)!} = \frac{10!}{7!} = 10 \cdot 9 \cdot 8 = 720 \]
Ungeordnete Ausschüsse (Kombinationen):
\[ C(10, 3) = \frac{10!}{7! \cdot 3!} = \frac{720}{6} = 120 \]
Alle 10 Mitglieder in einer Reihe anordnen:
\[ 10! = 3{,}628{,}800 \]
Ergebnis: Es gibt 720 Möglichkeiten, die drei Ämter zu besetzen, 120 mögliche 3-köpfige Ausschüsse und 3.628.800 Anordnungen des gesamten Vereins. Beachten Sie, dass \(720 = 120 \cdot 3!\) gilt, da jeder Ausschuss die drei Ämter auf \(3! = 6\) Arten verteilen kann.
So benutzen Sie den Rechner
- Geben Sie die Gesamtzahl der Elemente (n) ein — die Größe der vollständigen Menge (0 bis 10.000).
- Geben Sie die Anzahl der gewählten Elemente (r) ein — wie viele Elemente Sie auswählen oder anordnen. Ohne Wiederholung darf \(r\) nicht größer als \(n\) sein; mit Wiederholung ist das erlaubt.
- Wählen Sie den Wiederholungsmodus: „Ohne Wiederholung (alle Elemente verschieden)“ für Ziehen ohne Zurücklegen oder „Mit Wiederholung (Elemente dürfen mehrfach vorkommen)“ für Situationen wie Würfelwürfe, PIN-Codes oder Ziehen mit Zurücklegen.
- Lesen Sie die Ergebnisse ab: Permutationen / Variationen (nPr), Kombinationen (nCr), Permutationen aller n Elemente (\(n!\)) sowie einen Interpretationsblock, der alle vier Anzahlen nebeneinander zeigt.
Permutationen, Kombinationen und Variationen erklärt
Sobald Sie Elemente aus einer Menge auswählen, entscheiden zwei Fragen darüber, welche Zahl Sie brauchen. Spielt die Reihenfolge eine Rolle? Und dürfen Elemente mehrfach vorkommen? Die Kombination dieser beiden Fragen ergibt vier klassische Zählprobleme, und dieser Rechner zeigt alle vier zu Ihren Eingaben an, damit Sie sie direkt vergleichen können.
Wenn die Reihenfolge wichtig ist und Elemente nicht wiederholt werden dürfen, zählen Sie Permutationen \(P(n, r)\) — in vielen europäischen Lehrbüchern heißen diese Variationen \(V(n, r)\), genau das, was die nPr-Taste eines wissenschaftlichen Rechners liefert. Sie haben \(n\) Möglichkeiten für die erste Position, \(n-1\) für die zweite und so weiter bis \(n-r+1\) für die letzte, was \(n!/(n-r)\) ergibt. Wenn die Reihenfolge keine Rolle spielt, wurde jede ungeordnete Gruppe \(r!\)-mal gezählt; Sie teilen also durch \(r!\) und erhalten die Kombination \(C(n, r)\). Kombinationen sind für dieselben \(n\) und \(r\) stets kleiner oder gleich den Permutationen, und der Abstand wächst schnell: Bei \(n = 52, r = 5\) gibt es rund 311 Millionen geordnete Ziehungen, aber nur 2.598.960 verschiedene Pokerblätter.
Mit Wiederholung ist jede Auswahl unabhängig von den vorherigen, daher ist die geordnete Anzahl einfach \(n^r\): Eine 4-stellige PIN umfasst \(10^4 = 10{,}000\) Codes. Die ungeordnete Anzahl mit Wiederholung beantwortet eine subtilere Frage — wie viele Multimengen der Größe \(r\) sich bilden lassen — und ist \(\binom{n+r-1}{r}\). Wer beispielsweise 3 Kugeln Eis aus 10 Sorten wählt (Wiederholungen erlaubt, Reihenfolge egal), hat \(\binom{12}{3} = 220\) Möglichkeiten.
Wer schließlich alle \(n\) Elemente in einer Folge anordnet, erhält \(n!\) Permutationen — der Sonderfall \(r = n\). Das Fakultätswachstum ist extrem schnell: \(10!\) übersteigt bereits 3,6 Millionen, und \(70!\) ist größer als die Anzahl der Atome im beobachtbaren Universum. Bei großen Eingaben zeigt der Rechner die Ergebnisse daher in wissenschaftlicher Notation an, z. B. \(5.47 \times 10^{157}\).
Annahmen, Grenzen und praktische Hinweise
- Alle Elemente sind verschieden. Die Formeln setzen voraus, dass jedes Element unterscheidbar ist. Enthält Ihre Menge identische Objekte (z. B. die Buchstaben in einem Wort mit wiederholten Buchstaben), zählt die Standardformel für Permutationen zu viel; solche Fälle erfordern stattdessen den Multinomialansatz.
- Der Wiederholungsmodus ändert die Interpretation. „Mit Wiederholung“ bedeutet, dass jede Ziehung unabhängig ist (Ziehen mit Zurücklegen). Für Lottoziehungen, Kartenblätter oder Ausschlusswahlen verwenden Sie „ohne Wiederholung“.
- \(r > n\) ohne Wiederholung ist unmöglich, und der Rechner weist Sie darauf hin; mit Wiederholung ist es völlig zulässig (Sie können einen Würfel 20-mal werfen, obwohl er 6 Seiten hat).
- Randfälle folgen den üblichen Konventionen: \(P(n, 0) = C(n, 0) = 1\) (es gibt genau eine Möglichkeit, nichts auszuwählen) und \(0! = 1\).
- Große Zahlen. Eingaben bis 10.000 werden unterstützt, aber Ergebnisse mit mehr als etwa 15 Stellen werden als Mantisse mal Zehnerpotenz angezeigt, da kein übliches Zahlenformat solche Werte exakt speichern kann.
- Die richtige Anzahl wählen. Fragen Sie sich: „Würde sich das Ergebnis ändern, wenn ich zwei gewählte Elemente vertausche?“ Wenn ja, nutzen Sie Permutationen; wenn nein, Kombinationen. Und fragen Sie: „Könnte ich dasselbe Element zweimal wählen?“ Wenn ja, nutzen Sie die Formeln mit Wiederholung.
Kurzreferenz: 10 Elemente, 3 wählen
| Anzahl | Formel | Wert |
|---|---|---|
| Variationen ohne Wiederholung (nPr) | \(\frac{n!}{(n-r)!}\) | 720 |
| Variationen mit Wiederholung | \(n^r\) | 1.000 |
| Kombinationen ohne Wiederholung (nCr) | \(\frac{n!}{(n-r)!\,r!}\) | 120 |
| Kombinationen mit Wiederholung | \(\binom{n+r-1}{r}\) | 220 |
| Permutationen aller Elemente | \(n!\) | 3.628.800 |
Diese Tabelle, die den Interpretationsblock des Rechners für \(n = 10\), \(r = 3\) widerspiegelt, zeigt, wie stark die Antwort davon abhängt, ob die Reihenfolge zählt und ob Wiederholungen erlaubt sind — dieselben Eingaben führen zu Ergebnissen zwischen 120 und 1.000.
Häufig gestellte Fragen
Wie berechne ich Permutationen und Kombinationen von Hand?
Kürzen Sie Fakultäten, bevor Sie multiplizieren. Für Permutationen gilt \(P(n,r) = n \cdot (n-1) \cdot \ldots \cdot (n-r+1)\) — multiplizieren Sie einfach die obersten \(r\) Faktoren der Fakultät. Für Kombinationen berechnen Sie \(P(n,r)\) und teilen durch \(r!\). Beispiel: \(C(8,3) = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 56\). Diese Abkürzung erspart das Ausrechnen riesiger Fakultäten wie \(52!\), wenn man nur einen kleinen Teil davon braucht.
Warum zeigt mein wissenschaftlicher Rechner bei großem n einen Fehler an?
Taschenrechner laufen schnell in einen Überlauf — die meisten können Fakultäten jenseits von etwa \(69!\) nicht mehr verarbeiten, das bereits \(10^{99}\) übersteigt. Wenn die nPr- oder nCr-Taste versagt, kürzen Sie den Bruch manuell: Schreiben Sie \(\frac{n!}{(n-r)!}\) als Produkt aus nur \(r\) Termen oder nutzen Sie die Symmetrie \(C(n,r) = C(n, n-r)\), sodass der kleinere der Werte \(r\) und \(n-r\) in der Formel erscheint. Dieser Rechner verarbeitet Eingaben bis \(n = 10{,}000\) mit Hilfe von Logarithmen.
Wie zähle ich Anordnungen, wenn einige Elemente identisch sind?
Die Standardformeln setzen voraus, dass alle Elemente verschieden sind, und zählen daher zu viel, wenn Objekte mehrfach vorkommen. Für ein Wort wie LEVEL (5 Buchstaben, aber L kommt zweimal und E zweimal vor) beträgt die Anzahl \(\frac{5!}{2! \cdot 2!} = 30\), nicht \(5! = 120\). Allgemein ordnen Sie \(n\) Elemente an, bei denen ein Buchstabe \(a\)-mal, ein anderer \(b\)-mal usw. vorkommt, mit \(\frac{n!}{a!\,b!\,\cdots}\). Das ist der Multinomialansatz.
Warum ist 0! gleich 1, und was bedeutet es, null Elemente auszuwählen?
Beides sind Konventionen, die die Formeln konsistent halten. Es gibt genau eine Möglichkeit, eine leere Menge anzuordnen (nämlich nichts zu tun), also \(0! = 1\). Ebenso gilt \(P(n,0) = C(n,0) = 1\): Es gibt genau eine Möglichkeit, nichts auszuwählen — die leere Auswahl. Der Rechner liefert für diese Eingaben daher 1, nicht 0. Beachten Sie außerdem die Symmetrie \(C(n,r) = C(n,n-r)\): Was behalten wird zu wählen ist dasselbe wie auszuwählen, was weggelassen wird.
Welche typischen Alltagssituationen passen zu den vier Anzahlen?
Permutationen ohne Wiederholung: Podestplätze in einem Rennen, die Besetzung unterschiedlicher Funktionen, Sitzordnungen. Kombinationen ohne Wiederholung: Lottozahlen, Pokerblätter, Ausschussmitglieder. Permutationen mit Wiederholung: PIN-Codes, Kennzeichen, Folgen von Würfelwürfen. Kombinationen mit Wiederholung: die Auswahl von Eiskugeln oder Donuts, bei denen Duplikate erlaubt sind und die Reihenfolge keine Rolle spielt — eine Multimenge. Das Zuordnen Ihres Problems zu einem dieser vier Fälle ist der entscheidende Schritt.
Was ist der häufigste Fehler bei der Anwendung dieser Formeln?
Der klassische Fehler ist die Verwendung von Permutationen, wo Kombinationen gelten, wodurch das Ergebnis um den Faktor \(r!\) zu groß ausfällt. Schnelltest: Vertauschen Sie zwei der gewählten Elemente — ändert sich das Ergebnis (Goldmedaille statt Silbermedaille), zählt die Reihenfolge; wenn nicht (ein Kartenblatt), verwenden Sie Kombinationen. Der zweithäufigste Fehler ist es zu vergessen zu prüfen, ob Wiederholungen erlaubt sind: Eine 4-stellige PIN hat \(10^4\) Möglichkeiten, weil sich Ziffern wiederholen, eine Lottoziehung nicht.
Wie nutze ich das, um Lottoquoten zu berechnen?
Zählen Sie die möglichen Ziehungen mit Kombinationen: Bei 6 aus 49 ist \(C(49,6) = 13{,}983{,}816\), ein einzelnes Los hat also eine Chance von 1 zu 13,98 Millionen, alle sechs Zahlen richtig zu haben. Zieht die Lotterie die Zahlen in einer bestimmten Reihenfolge, bräuchten Sie stattdessen \(P(49,6)\), das um den Faktor \(6! = 720\) größer ist. Beachten Sie, dass dies Gewinnchancen sind, keine Renditechancen — die erwarteten Auszahlungen liegen in der Regel weit unter dem Lospreis.