Satz-von-Bayes-Rechner

So verwenden Sie den Rechner

1. Wählen Sie den Modus Beweis-Eingabe: Gesamtwahrscheinlichkeit P(E), wenn Sie die Gesamtwahrscheinlichkeit des Beweises kennen, oder Fehlalarm P(E|¬H), wenn Sie die Wahrscheinlichkeit des Beweises kennen, wenn die Hypothese falsch ist.
2. Geben Sie die A-priori-Wahrscheinlichkeit P(H) als Prozentsatz ein — Ihre Überzeugung von der Hypothese vor dem Beweis.
3. Geben Sie die Likelihood P(E|H) als Prozentsatz ein — wie wahrscheinlich der Beweis ist, wenn die Hypothese wahr ist.
4. Geben Sie je nach gewähltem Modus entweder die Wahrscheinlichkeit des Beweises P(E) oder die Fehlalarmrate P(E|¬H) ein (nur eines der beiden Felder wird angezeigt).
5. Lesen Sie das Ergebnis ab: die A-posteriori-Wahrscheinlichkeit P(H|E), das berechnete P(E), der Satz von Bayes mit eingesetzten Werten sowie eine kurze Interpretation.

Was der Satz von Bayes ist und warum er wichtig ist

Der Satz von Bayes, benannt nach dem Statistiker des 18. Jahrhunderts Thomas Bayes, beschreibt, wie man die Wahrscheinlichkeit einer Hypothese rational aktualisiert, wenn neue Beweise auftreten. Sie beginnen mit einer A-priori-Wahrscheinlichkeit — das, was Sie vorher geglaubt haben — und multiplizieren sie damit, wie gut der Beweis zur Hypothese passt (die Likelihood). Die Division durch die Gesamtwahrscheinlichkeit des Beweises normalisiert das Ergebnis und liefert die A-posteriori-Wahrscheinlichkeit — Ihre aktualisierte Überzeugung.

Der Satz ist berühmt dafür, kontraintuitive Ergebnisse zu liefern. Im obigen Beispiel erhöht ein positiver Test für eine seltene Krankheit die Wahrscheinlichkeit einer Erkrankung nur auf 16,1 %, nicht auf 95 %. Der Grund ist die Basisrate: Da die Krankheit nur 1 % der Menschen betrifft, überwiegen die falsch-positiven Ergebnisse der gesunden 99 % die positiven Ergebnisse. Dieser Basisklasseneffekt ist einer der häufigsten Denkfehler in der Medizin, vor Gericht, bei der Spam-Filterung und bei Sicherheitskontrollen.

Das Ergebnis lässt sich am besten als Überzeugungsstärke zwischen 0 % und 100 % lesen. Eine A-posteriori-Wahrscheinlichkeit über 50 % bedeutet, dass der Beweis die Waage zugunsten der Hypothese neigt; je weiter sie über der A-priori-Wahrscheinlichkeit liegt, desto informativer war der Beweis. Wenn sich die A-posteriori-Wahrscheinlichkeit kaum von der A-priori-Wahrscheinlichkeit bewegt, enthielt der Beweis wenig neue Informationen über die Hypothese.

Annahmen, Grenzen und Tipps

• Binäre Hypothesen. Der Rechner geht davon aus, dass die Hypothese entweder wahr (H) oder falsch (¬H) ist. Bei drei oder mehr konkurrierenden Hypothesen müssen Sie den Satz paarweise mit allen Termen im Nenner anwenden.
• Konsistenter Beweis. Die Likelihood P(E|H) kann die Gesamtwahrscheinlichkeit des Beweises P(E) nicht überschreiten; der Rechner kennzeichnet inkonsistente Eingaben. Wenn Sie diese Fehlermeldung erhalten, prüfen Sie, ob beide Zahlen genau denselben Beweis beschreiben.
• Unabhängige, korrekt angegebene Eingaben. Die A-priori-Wahrscheinlichkeit sollte alles Widrige widerspiegeln, was vor dem Beweis bekannt war, und die Likelihood darf die A-priori-Wahrscheinlichkeit nicht bereits enthalten — die Verwechslung dieser beiden ist der häufigste Fehler.
• Sequentielle Aktualisierungen. Bei mehreren unabhängigen Beweisen können Sie jede A-posteriori-Wahrscheinlichkeit als neue A-priori-Wahrscheinlichkeit für den nächsten Beweis verwenden.
• P(E) gleich null. Wenn der Beweis unmöglich ist (P(E) = 0), ist die A-posteriori-Wahrscheinlichkeit nicht definiert, und der Rechner meldet einen Fehler.

Wenn Sie modellieren möchten, wie oft der Beweis bei wiederholten Versuchen auftritt, können der Rechner für die Binomialverteilung und der Rechner für die Poisson-Verteilung bei der Schätzung der Likelihoods helfen. Zur Quantifizierung der Unsicherheit von Schätzungen siehe den Rechner für Konfidenzintervalle.