Standardabweichungsrechner
Geben Sie Ihre Zahlen ein, um sofort die Standardabweichung (Stichprobe oder Grundgesamtheit), die Varianz, den Mittelwert und die Anzahl zu berechnen. Unterstützt durch Kommas, Leerzeichen oder Zeilenumbrüche getrennte Daten, Dezimalzahlen und negative Werte.
Calculate Standard Deviation
Standard Deviation Formula
Wobei gilt:
- \(x_i\) — jeder Wert der Datenreihe
- \(\bar{x}\) — der Mittelwert (Durchschnitt) der Datenreihe
- \(n\) — die Anzahl der Werte
- \(s\) — Standardabweichung der Stichprobe (Division durch \(n - 1\))
- \(\sigma\) — Standardabweichung der Grundgesamtheit (Division durch \(n\))
Die Formel misst den typischen Abstand zwischen jedem Datenpunkt und dem Mittelwert. Der einzige Unterschied zwischen den beiden Varianten ist der Divisor: Verwenden Sie \(n - 1\) für eine Stichprobe (Bessel-Korrektur) und \(n\) für eine vollständige Grundgesamtheit.
Standard Deviation – Calculation Example
Beispiel: eine Stichprobe mit 8 Messwerten: 10, 12, 23, 23, 16, 23, 21, 16.
\[ \bar{x} = \frac{10 + 12 + 23 + 23 + 16 + 23 + 21 + 16}{8} = \frac{144}{8} = 18 \]
\[ \sum (x_i - \bar{x})^2 = (-8)^2 + (-6)^2 + 5^2 + 5^2 + (-2)^2 + 5^2 + 3^2 + (-2)^2 = 192 \]
\[ s = \sqrt{\frac{192}{8 - 1}} = \sqrt{27.4286} \approx 5.2372 \]
Ergebnis: Standardabweichung der Stichprobe \(s \approx 5.2372\), Stichprobenvarianz \(s^2 \approx 27.4286\), Mittelwert \(\bar{x} = 18\), Anzahl \(n = 8\). Wären dieselben Daten die gesamte Grundgesamtheit, wäre \(\sigma = \sqrt{192 / 8} = \sqrt{24} \approx 4.8990\).
So verwenden Sie den Rechner
- Tippen oder fügen Sie Ihre Zahlen in das Feld Datenreihe ein. Trennen Sie sie durch Kommas, Leerzeichen, Semikolons oder Zeilenumbrüche — Dezimalzahlen und negative Werte sind erlaubt.
- Wählen Sie den Datentyp: Stichprobe (n − 1), wenn Ihre Daten eine Teilmenge einer größeren Gruppe sind, oder Grundgesamtheit (n), wenn Sie jedes Mitglied der Gruppe haben.
- Lesen Sie die Ergebnisse ab: Standardabweichung (s oder σ), Varianz (s² oder σ²), Mittelwert (x̄) und Anzahl (n).
Der Rechner benötigt mindestens 2 Zahlen. Wenn ein Wert nicht als Zahl gelesen werden kann, wird der problematische Eintrag angezeigt, damit Sie ihn korrigieren können.
Was ist die Standardabweichung?
Die Standardabweichung ist das gebräuchlichste Maß dafür, wie stark eine Datenreihe um ihren Mittelwert streut. Eine kleine Standardabweichung bedeutet, dass die Werte dicht um den Durchschnitt liegen; eine große bedeutet, dass sie weit verstreut sind. Da sie in denselben Einheiten wie die ursprünglichen Daten ausgedrückt wird, ist sie leicht zu interpretieren: Für das obige Beispiel bedeutet eine Standardabweichung von etwa 5,24, dass ein typischer Messwert ungefähr 5,24 Einheiten vom Mittelwert 18 entfernt liegt.
Die Standardabweichung steht in engem Zusammenhang mit der Varianz, die das Quadrat der Standardabweichung ist. Die Varianz ist mathematisch praktisch, aber ihre Einheiten sind quadriert, was sie schwerer interpretierbar macht. Das Ziehen der Quadratwurzel bringt das Maß zurück auf die ursprünglichen Einheiten. Der Rechner zeigt beide an, zusammen mit dem Mittelwert und der Anzahl, sodass Sie eine vollständige Zusammenfassung Ihrer Daten erhalten.
Eine nützliche Faustregel gilt für annähernd glockenförmige (Normal-)Verteilungen: Etwa 68 % der Werte liegen innerhalb einer Standardabweichung vom Mittelwert und etwa 95 % innerhalb von zwei. Selbst wenn die Daten nicht normalverteilt sind, gibt Ihnen die Standardabweichung in Verbindung mit dem Mittelwert ein schnelles Gefühl dafür, was typisch ist und was als ungewöhnlich gilt.
Stichprobe oder Grundgesamtheit: Was sollen Sie wählen?
Die Wahl hängt davon ab, was Ihre Zahlen darstellen. Wählen Sie Grundgesamtheit (n) nur, wenn Ihre Daten jedes Mitglied der Gruppe enthalten, um die es Ihnen geht — zum Beispiel die Körpergrößen aller 20 Schüler einer Klasse. Wählen Sie Stichprobe (n − 1), wenn die Daten eine aus einer größeren Grundgesamtheit gezogene Stichprobe sind — zum Beispiel jene 20 Schüler, die eine Schule mit 800 Schülern repräsentieren sollen.
Die Division durch \(n - 1\) statt durch \(n\) wird Bessel-Korrektur genannt. Eine Stichprobe neigt dazu, die tatsächliche Streuung der Grundgesamtheit zu unterschätzen, weil der Mittelwert der Stichprobe per Definition der Punkt ist, der die quadrierten Abweichungen minimiert. Die Verkleinerung des Divisors gleicht diese Verzerrung aus und liefert eine erwartungstreue Schätzung der Varianz der Grundgesamtheit. Im Zweifel ist die Option „Stichprobe