Kaplan-Meier-Schätzrechner für Überlebenszeiten
Schätzen Sie die Überlebenskurve aus Zeit-bis-Ereignis-Daten mit Zensierung. Geben Sie die Beobachtungsdauer und den Ereignisstatus jeder Person ein, und der Rechner liefert die Kaplan-Meier-Überlebenswahrscheinlichkeiten, S(t) zu einem gewählten Zeitpunkt sowie die mediane Überlebenszeit.
Überlebenswahrscheinlichkeit im Zeitverlauf schätzen – auch bei zensierten Daten
Formel des Kaplan-Meier-Schätzers
Dabei bedeuten:
- \( t_i \) — die Zeitpunkte, an denen Ereignisse eingetreten sind, bis zum Zeitpunkt \( t \)
- \( d_i \) — Anzahl der Ereignisse zum Zeitpunkt \( t_i \)
- \( n_i \) — Anzahl der Personen unter Risiko (noch in Beobachtung und ereignisfrei) unmittelbar vor \( t_i \)
- \( \hat{S}(t) \) — geschätzte Wahrscheinlichkeit, den Zeitpunkt \( t \) ereignisfrei zu überleben
Der Produkt-Limit-Schätzer multipliziert die bedingten Wahrscheinlichkeiten, die einzelnen Ereigniszeitpunkte zu überleben. Zensierte Beobachtungen gelten nicht als Ereignisse; sie verlassen lediglich die Risikomenge \( n_i \) zum Zeitpunkt ihrer Zensierung — so berücksichtigt die Methode unvollständige Nachbeobachtung.
Kaplan-Meier-Überleben – Rechenbeispiel
Beispiel: 10 Personen mit den Beobachtungszeiten 3; 4; 5; 6; 6; 8; 8; 9; 11; 14 und den Ereignisstatus 1; 1; 0; 1; 0; 1; 1; 0; 1; 0 (6 Ereignisse, 4 zensierte), die Überlebenswahrscheinlichkeit wird bei \( t_0 = 6 \) berechnet.
\[ \hat{S}(3) = 1 - \tfrac{1}{10} = 0.9 \quad\Rightarrow\quad \hat{S}(4) = 0.9 \left(1 - \tfrac{1}{9}\right) = 0.8 \]
\[ \hat{S}(6) = 0.8 \left(1 - \tfrac{1}{7}\right) = 0.6857 \]
\[ \hat{S}(8) = 0.6857 \left(1 - \tfrac{2}{5}\right) = 0.4114 \quad\Rightarrow\quad \hat{S}(11) = 0.4114 \left(1 - \tfrac{1}{2}\right) = 0.2057 \]
Ergebnis: \( \hat{S}(6) = 0.6857 \) (68,6 % werden erwartet, den Zeitpunkt 6 ereignisfrei zu überleben). Die Überlebenskurve fällt erstmals bei \( t = 8 \) auf 0,5 oder darunter, die mediane Überlebenszeit beträgt also 8.
So verwenden Sie den Kaplan-Meier-Schätzrechner für Überlebenszeiten
- Geben Sie die Beobachtungszeiten aller Personen ein — eine pro Zeile oder durch Semikolons bzw. Leerzeichen getrennt. Verwenden Sie durchgängig dieselbe Einheit (Tage, Wochen, Monate).
- Geben Sie die Werte für den Ereignisstatus (1 = Ereignis, 0 = zensiert) in derselben Reihenfolge wie die Zeiten ein: 1, wenn bei der Person das Ereignis eingetreten ist (Tod, Rückfall, Maschinenausfall …), 0, wenn die Nachbeobachtung ohne Ereignis endete.
- Tragen Sie im Feld Überlebenswahrscheinlichkeit berechnen zum Zeitpunkt den Zeitpunkt \( t_0 \) ein, für den Sie die Überlebenswahrscheinlichkeit \( S(t_0) \) wünschen.
- Lesen Sie die Ergebnisse ab: \( S(t_0) \), die mediane Überlebenszeit, die Anzahlen von Personen, Ereignissen und Zensierungen, die vollständige Tabelle der Schätzwerte zu jedem einzelnen Zeitpunkt sowie eine Interpretation der Ausgabe.
Was ist der Kaplan-Meier-Schätzer?
Der Kaplan-Meier-Schätzer (Produkt-Limit-Schätzer) ist das Standardverfahren zur nichtparametrischen Schätzung einer Überlebensfunktion aus Zeit-bis-Ereignis-Daten. „Überleben“ steht hier für jedes интересierende Ereignis — nicht nur den Tod, sondern auch Rückfall, Genesung, Geräteausfall, Kundenabwanderung und so weiter. Das Ergebnis ist eine Treppenfunktion, die bei 1 beginnt und ausschließlich zu Zeitpunkten mit Ereignissen absinkt; zwischen den Ereignissen bleibt der Schätwert konstant.
Was die Methode unverzichtbar macht, ist die Zensierung. In den meisten Studien scheiden einige Personen aus, bevor das Ereignis eintritt: Die Studie endet, ein Patient bricht ab oder eine Maschine wird aus unrelated Gründen stillgelegt. Man kann diese Personen nicht einfach als für immer ereignisfrei zählen, denn ihre Zukunft ist unbekannt. Kaplan-Meier löst dieses Problem, indem zensierte Personen zum Zeitpunkt ihrer Zensierung aus der Risikomenge entfernt werden — und nutzt dabei die Information, dass sie mindestens so lange überlebt haben.
Ohne jegliche Zensierung reduziert sich der Schätzer auf den einfachen Anteil der Personen, die zu jedem Zeitpunkt noch ereignisfrei sind. Mit Zensierung bleibt er unverzerrt, sofern die Zensierung unabhängig vom Ereignisprozess ist. Die Kurve ist zudem die Größe, die beim Log-Rank-Test zwischen Gruppen verglichen wird, und \( S(t) \) lässt sich direkt ablesen: So bedeutet \( \hat{S}(6) = 0.6857 \), dass geschätzt 68,6 % der Personen den Zeitpunkt 6 ereignisfrei überleben.
Wie Sie die Ergebnisse interpretieren
Überlebenswahrscheinlichkeit zum gewählten Zeitpunkt \( t_0 \): die geschätzte Wahrscheinlichkeit, den Zeitpunkt \( t_0 \) ereignisfrei zu überleben. Tritt bis \( t_0 \) kein Ereignis ein, beträgt der Schätwert 1.
Mediane Überlebenszeit: der kleinste beobachtete Zeitpunkt, an dem \( \hat{S}(t) \) auf 0,5 oder darunter fällt — der Zeitpunkt, bis zu dem die Hälfte der Personen das Ereignis voraussichtlich erlebt hat. Erreicht die Kurve während der Nachbeobachtung nie den Wert 0,5, ist der Median „nicht erreicht“; das kommt bei kurzen Studien mit wenigen Ereignissen häufig vor und bedeutet nicht, dass der Median unendlich ist — die Nachbeobachtung war lediglich zu kurz, um ihn zu schätzen.
Die Tabelle zeigt zu jedem einzelnen Zeitpunkt die Anzahl der Personen unter Risiko, die Ereignisse und Zensierungen sowie den aktualisierten \( \hat{S}(t) \)-Wert. Beachten Sie, dass sich der Schätwert nur zu Ereigniszeitpunkten ändert; Zeitpunkte mit ausschließlich Zensierungen werden der Transparenz halber aufgeführt, verändern die Kurve aber nicht.
Annahmen und praktische Hinweise
- Nicht-informative Zensierung: Zensierte Personen müssen dasselbe künftige Ereignisrisiko haben wie die weiterhin beobachteten. Eine Zensierung, die mit dem Ereignis zusammenhängt (z. B. Patienten, die wegen Verschlechterung aus einer Studie ausscheiden), verzerrt den Schätwert.
- Einheitliche Einheiten und unabhängige Personen: alle Zeiten in einer Einheit, eine Zeile pro Person, keine doppelten oder korrelierten Beobachtungen.
- Gleichzeitige Ereignisse und Zensierungen: Fallen Ereignisse und Zensierungen auf denselben Zeitpunkt, gilt die hier verwendete Konvention, dass Zensierungen die Risikomenge nach den Ereignissen dieses Zeitpunkts verlassen — zensierte Personen zählen also noch zur Risikomenge, wenn die gleichzeitigen Ereignisse verrechnet werden.
- Kleine Stichproben: Bei wenigen Ereignissen ist die Treppenfunktion grob und \( S(t) \) ungenau; der Median lässt sich erst schätzen, wenn die Kurve 0,5 unterschreitet.
- Der Schätzer beschreibt eine einzige Gruppe. Zum formalen Vergleich zweier Überlebenskurven dient der Log-Rank-Test; um das Auftreten von Ereignissen zwischen zwei Gruppen zusammenzufassen, siehe den Chancenverhältnis- und relatives Risiko Rechner. Wenn ein parametrisches Modell bevorzugt wird, werden Überlebenszeiten häufig mit der Weibull-Verteilung oder der Exponentialverteilung modelliert; für den Vergleich kategorialer Ergebnisse ist der Chi-Quadrat-Test das Standardwerkzeug.
Häufig gestellte Fragen
Kommt es auf die Reihenfolge an, in der ich die Personen eingebe?
Nein. Der Rechner sortiert alle Beobachtungen vor der Berechnung nach Beobachtungszeit, Sie können die Personen also in beliebiger Reihenfolge eingeben — entscheidend ist nur, dass jede Zeit in beiden Listen an derselben Position mit dem zugehörigen Ereignisstatus steht. Nur die Zuordnung zwischen den beiden Listen muss stimmen.
Kann ich gruppierte oder zusammengefasste Daten eingeben statt einer Zeile pro Person?
Nein, der Rechner benötigt eine Beobachtungszeit und einen Status pro einzelner Person. Aggregierte Angaben wie „12 Ereignisse im Monat 6“ lassen sich nicht direkt eingeben. Wenn Ihre Daten gruppiert vorliegen, müssten Sie einzelne Zeilen rekonstruieren (z. B. dieselbe Zeit 12-mal mit Status 1 eingeben) — bedenken Sie aber, dass durch Gruppierung meist Informationen über die genauen Ereigniszeitpunkte und Zensierungen verloren gehen.
Warum zeigt der Rechner keine Konfidenzintervalle für S(t) an?
Konfidenzintervalle erfordern zusätzliche Verfahren, am häufigsten die Greenwood-Formel für den Standardfehler von \( \hat{S}(t) \), meist auf einer Log-minus-Log-Skala, damit die Grenzen zwischen 0 und 1 bleiben. Denken Sie ohne Intervall daran, dass \( \hat{S}(t) \) nur eine Punktschätzung ist: Bei wenigen Ereignissen kann sie recht ungenau sein, ein Wert wie 0,70 sollte also nicht als exakt gelesen werden.
Was ist der Unterschied zwischen medianer und mittlerer Überlebenszeit?
Der Median ist der Zeitpunkt, an dem \( \hat{S}(t) \) erstmals auf 0,5 fällt — bis dahin hat die Hälfte der Personen voraussichtlich das Ereignis erlebt. Die mittlere Überlebenszeit entspricht der Fläche unter der Überlebenskurve, lässt sich aber nur dann zuverlässig schätzen, wenn die Nachbeobachtung so lange läuft, bis nahezu alle Personen das Ereignis erlebt haben. Deshalb ist der Median die Standardzusammenfassung in der Überlebenszeitanalyse.
Wie viele Personen oder Ereignisse brauche ich für eine zuverlässige Kaplan-Meier-Schätzung?
Es gibt kein festes Minimum, aber die Genauigkeit hängt vor allem von der Anzahl der Ereignisse ab, nicht nur von der Personenzahl. Bei weniger als etwa 10–15 Ereignissen ist die Kurve eine grobe Treppe, und der Median ist womöglich nicht erreichbar. Als Faustregel gilt: Der Standardfehler von \( \hat{S}(t) \) sinkt ungefähr mit der Quadratwurzel der Ereignisanzahl — mehr Ereignisse bedeuten also eine deutlich stabilere Kurve.
Kann ich die Ergebnisse in eine andere Zeiteinheit umrechnen?
Ja, sofern alle Eingabezeiten eine einheitliche Einheit haben, steht jede Ausgabe (der gewählte Zeitpunkt \( t_0 \), der Median und die Tabellenzeiten) in derselben Einheit. Zum Wechseln der Einheit rechnen Sie entweder Ihre Eingabezeiten vorher um oder die Ausgabezeiten nachträglich — ein Median von 540 Tagen entspricht z. B. 78,6 Wochen (540 ÷ 7). Die Überlebenswahrscheinlichkeiten selbst sind einheitenfrei und ändern sich nie.
Welche Fehler treten bei der Eingabe von Überlebensdaten am häufigsten auf?
Typische Fehler sind: Zeiten und Status in unterschiedlicher Reihenfolge (die Zuordnung muss übereinstimmen), Werte anderes als exakt 0 oder 1 als Status, gemischte Einheiten wie Tage und Monate in einem Datensatz sowie die versehentliche Zählung einer zensierten Person als Ereignis. Prüfen Sie außerdem auf doppelte Zeilen — dieselbe Person zweimal eingegeben vergrößert die Risikomenge und verzerrt \( \hat{S}(t) \) nach oben.