Determinante einer Matrix berechnen
Berechnen Sie die exakte Determinante jeder quadratischen Matrix von 2×2 bis 6×6. Geben Sie ganze Zahlen, Dezimalzahlen oder Brüche ein und erhalten Sie das exakte Ergebnis, einen Dezimalwert, eine Prüfung auf Singularität und den vollständigen Rechenweg Schritt für Schritt.
Determinante einer quadratischen Matrix berechnen
Formel für die Determinante
Dabei gilt:
- \(a_{ij}\) — der Eintrag in Zeile \(i\) und Spalte \(j\) der quadratischen Matrix \(A\)
- \(M_{1j}\) — der Minor: die Determinante der Untermatrix, die nach dem Streichen von Zeile 1 und Spalte \(j\) übrig bleibt
- \((-1)^{1+j}M_{1j}\) — der Kofaktor des Eintrags \(a_{1j}\)
Die erste Zeile ist die Diagonalregel für 2×2-Matrizen, die zweite die Kofaktoren-Entwicklung (Laplace-Entwicklung) nach der ersten Zeile für 3×3-Matrizen, und die letzte Zeile die allgemeine Entwicklung, die für jede beliebige \(n \times n\)-Matrix funktioniert.
Determinante – Rechenbeispiel
Beispiel: Berechnen Sie die Determinante der 3×3-Matrix
\[ A = \begin{bmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 1 & 0 & 2 \\ 4 & 1 & 3 \end{bmatrix} \]
\[ M_{11} = 0 \cdot 3 - 2 \cdot 1 = -2, \quad M_{12} = 1 \cdot 3 - 2 \cdot 4 = -5, \quad M_{13} = 1 \cdot 1 - 0 \cdot 4 = 1 \]
\[ \det A = 2(-2) - 1(-5) + 3(1) = -4 + 5 + 3 \]
Ergebnis: \(\det A = 4\). Die Determinante ist nicht null, die Matrix ist also invertierbar. Sie können das nachvollziehen, indem Sie im Rechner mit den voreingestellten Werten auf „Berechnen“ klicken.
So verwenden Sie den Determinanten-Rechner
- Öffnen Sie das Auswahlfeld Matrixgröße und wählen Sie 2 × 2, 3 × 3, 4 × 4, 5 × 5 oder 6 × 6. Nur die Felder der gewählten Größe werden ausgewertet.
- Über das Auswahlfeld Raster füllen mit bestimmen Sie, wie die Matrix zustande kommt: Die unten eingegebenen Werte verwenden, Zufällige Matrix aus ganzen Zahlen (bei jedem Wechsel wird eine neue Matrix erzeugt), Einheitsmatrix oder Leeren (alle Nullen).
- Tragen Sie Ihre Werte in die Felder a11, a12, … ein. Ganze Zahlen, Dezimalzahlen wie 1,5 und Brüche wie 3/4 sind erlaubt. Leere Felder zählen als 0.
- Lesen Sie die Ergebnisse ab: Determinante (exakt) liefert das Ergebnis als exakten Bruch oder als ganze Zahl, Determinante (dezimal) dessen Dezimaldarstellung, Ist die Matrix singulär? verrät Ihnen, ob die Matrix invertierbar ist, und Lösungsschritte zeigt den kompletten Rechenweg.
Was ist die Determinante einer Matrix?
Die Determinante ist eine einzige Zahl, die eine wichtige geometrische und algebraische Eigenschaft einer quadratischen Matrix zusammenfasst. Geometrisch ist der Betrag der Determinante einer \(n \times n\)-Matrix der Volumenskalierungsfaktor der linearen Abbildung, die die Matrix darstellt: \(|\det A|\) gibt an, um welchen Faktor die Abbildung Längen (2×2), Flächen (2×2 und 3×3 in 2D-/3D-Zusammenhängen) oder allgemein Volumina streckt oder staucht. Eine Determinante von 3 bedeutet, dass die Abbildung das Volumen verdreifacht; eine Determinante von 0 bedeutet, dass die Abbildung den Raum auf eine niedrigere Dimension zusammenstaucht und Information verliert.
Algebraisch ist die Determinante ein schneller Test auf Invertierbarkeit. Eine quadratische Matrix ist genau dann invertierbar, wenn \(\det A \neq 0\). Ist \(\det A = 0\), heißt die Matrix singulär: Ihre Zeilen (und Spalten) sind linear abhängig, Systeme \(Ax = b\) haben keine eindeutige Lösung, und \(A^{-1}\) existiert nicht. Deshalb taucht die Determinante überall auf – vom Lösen linearer Gleichungssysteme (Cramersche Regel) über die Bestimmung von Eigenwerten bis hin zur Berechnung von Kreuzprodukten.
Wie Sie den Wert deuten, hängt vom Kontext ab. Der exakte Wert zählt für Kontrollrechnungen von Hand und für die Theorie, der Dezimalwert ist für Abschätzungen praktisch. Auch das Vorzeichen hat eine Bedeutung: Eine negative Determinante bedeutet, dass die Abbildung die Orientierung umkehrt – wie bei einer Spiegelung. Beachten Sie außerdem: Determinanten sind nur für quadratische Matrizen definiert – eine nichtquadratische Matrix hat schlicht keine Determinante.
Wie der Rechner rechnet: zwei Methoden
Bei 2×2- und 3×3-Matrizen führt der Rechner eine Kofaktoren-Entwicklung nach der ersten Zeile durch und zeigt jeden Minor und jedes Produkt, einschließlich einer Gegenprobe mit der Regel von Sarrus bei 3×3-Matrizen. Ab 4×4 bis 6×6 wechselt er zum Gaußschen Eliminationsverfahren mit exakter rationaler Arithmetik: Das Addieren eines Vielfachen einer Zeile zu einer anderen lässt die Determinante unverändert, während jede Zeilenvertauschung das Vorzeichen umkehrt. Die Determinante ist dann das Produkt der Pivotelemente der entstehenden oberen Dreiecksmatrix, multipliziert mit \((-1)\) für jede durchgeführte Vertauschung. Lässt sich in einer Spalte kein Pivot finden, ist die Matrix singulär und die Determinante exakt 0.
Da sämtliche Rechungen mit ganzen Zahlen und Brüchen (nicht mit Gleitkommazahlen) erfolgen, ist das Ergebnis exakt – es gibt keine Rundungsfehler, auch nicht bei unangenehmen Brüchen. Dezimalangaben mit bis zu 12 Stellen werden intern in exakte Brüche umgewandelt; 0,1 wird also exakt als 1/10 behandelt und nicht als angenäherter Binärwert.
Nützliche Eigenschaften und Grenzen
- \(\det(AB) = \det A \cdot \det B\), und \(\det(A^{-1}) = 1/\det A\) für eine invertierbare Matrix.
- Der Tausch zweier Zeilen (oder Spalten) multipliziert die Determinante mit −1; die Multiplikation einer Zeile mit einer Konstanten \(k\) multipliziert die Determinante mit \(k\). Eine Matrix mit zwei identischen Zeilen oder mit einer Nullzeile hat die Determinante 0.
- \(\det A = \det A^{T}\); Zeilen- und Spaltenargumente sind also austauschbar. Die Transponierte selbst können Sie mit dem Rechner für die transponierte Matrix erkunden.
- Der Rechner akzeptiert nur Größen von 2×2 bis 6×6 mit Eingaben von bis zu 12 Dezimalstellen. Für größere Matrizen nutzen Sie Elimination mit Kofaktoren-Entwicklung oder Software, die für große lineare Systeme ausgelegt ist.
- Eine Abkürzung, die man kennen sollte: \(\det(kA) = k^{n} \det A\) für eine \(n \times n\)-Matrix, denn jede Zeile wird mit \(k\) multipliziert. Solche Matrizen können Sie direkt mit dem Rechner für die Skalarmultiplikation von Matrizen erzeugen.
- Da eine von null verschiedene Determinante eine eindeutige Lösung eines linearen Gleichungssystems garantiert, möchten Sie Systeme vielleicht direkt mit dem Rechner für das Eliminationsverfahren lösen oder verwandte Invarianten wie die Summe der Diagonaleinträge mit dem Rechner für die Spur einer Matrix vergleichen.
Häufig gestellte Fragen
Wie berechne ich die Determinante einer 4×4-Matrix von Hand?
Entwickeln Sie entweder nach einer Zeile oder Spalte mit vielen Nullen (die Laplace-Entwicklung führt eine 4×4-Matrix auf vier 3×3-Determinanten zurück), oder bringen Sie die Matrix mit Zeilenumformungen auf obere Dreiecksform: det A ist das Produkt der Diagonaleinträge, multipliziert mit −1 für jede vorgenommene Zeilenvertauschung. Das Addieren eines Vielfachen einer Zeile zu einer anderen ändert die Determinante nicht. Die Schritt-für-Schritt-Ausgabe des Rechners zeigt genau diesen Eliminationsprozess.
Kann eine Determinante negativ oder ein Bruch sein?
Beides ja. Eine negative Determinante bedeutet, dass die Abbildung die Orientierung umkehrt (wie bei einer Spiegelung); brauchen Sie nur den Volumenskalierungsfaktor, nehmen Sie einfach den Betrag. Brüche in den Einträgen oder Divisionen im Laufe der Elimination führen ganz natürlich zu gebrochenen Determinanten – so ist etwa die Determinante der 2×2-Matrix \(\begin{bmatrix} 1/2 & 0 \\ 0 & 1/3 \end{bmatrix}\) gleich 1/6. Der Rechner hält das Ergebnis als exakten Bruch fest und zeigt daneben den gerundeten Dezimalwert.
Was bedeuten die Schreibweisen det A und |A|?
Dasselbe: \(\det A\), \(|A|\) und \(\det(A)\) bezeichnen alle die Determinante der Matrix \(A\). Die Strichschreibweise ist in Kurzformeln wie der Cramerschen Regel verbreitet, verwechseln Sie sie aber nicht mit dem Betrag – eine als \(|A|\) geschriebene Determinante kann durchaus negativ sein. Der Klarheit halber kennzeichnet dieser Rechner das Ergebnis immer als det A.
Gibt es eine Abkürzung für Diagonal- oder Dreiecksmatrizen?
Ja. Bei jeder Diagonal- oder Dreiecksmatrix (obere oder untere) ist die Determinante schlicht das Produkt der Diagonaleinträge: \(\det A = a_{11} \cdot a_{22} \cdots a_{nn}\). Genau deshalb führt der Rechner größere Matrizen auf Dreiecksform zurück – aus einer mühsamen Entwicklung wird eine einzige Multiplikation. Die Einheitsmatrix ist der Sonderfall, in dem dieses Produkt 1 ist; det \(I\) = 1 gilt also für jede Größe.
Ich habe von Hand Zeilenumformungen durchgeführt und ein anderes Ergebnis bekommen. Was ist schiefgelaufen?
Der häufigste Fehler ist, zu vergessen, dass die Multiplikation einer Zeile mit einer Konstanten \(k\) die gesamte Determinante mit \(k\) multipliziert – und dass jede Zeilen- oder Spaltenvertauschung das Vorzeichen umkehrt. Nur die Umformung „ein Vielfaches einer Zeile zu einer anderen addieren“ lässt die Determinante unverändert. Prüfen Sie außerdem, ob Sie bei der Kofaktoren-Entwicklung wirklich entlang einer einzigen Zeile oder Spalte und mit den richtigen Wechselzeichen entwickelt haben.
Warum kann ich die Determinante einer 3×4-Matrix oder einer anderen nichtquadratischen Matrix nicht bestimmen?
Determinanten sind nur für quadratische Matrizen definiert, denn die Determinante misst, wie eine Abbildung einen \(n\)-dimensionalen Raum auf sich selbst skaliert – eine nichtquadratische Matrix ändert die Dimension, also gibt es keinen einzelnen Skalierungsfaktor. Für nichtquadratische Matrizen treten stattdessen andere Invarianten in Erscheinung, etwa der Rang von \(A\) oder die Determinante der quadratischen Matrix \(A^T A\), die in Formeln der kleinsten Quadrate verwendet wird.
Wie gebe ich gemischte Zahlen oder Werte wie 1 1/2 ein?
Schreiben Sie eine gemischte Zahl als unechten Bruch: 1 1/2 wird zu 3/2, −2¾ wird zu −11/4. Die Felder akzeptieren nur ganze Zahlen, Dezimalzahlen (bis zu 12 Stellen) und Brüche der Form p/q; jede leere Zelle gilt als 0. Dezimalzahlen werden intern in exakte Brüche umgewandelt – 0,1 wird also exakt als 1/10 gerechnet, und kein Gleitkomma-Rundungsfehler kann sich in Ihre Determinante einschleichen.