Spur einer Matrix berechnen – Rechner für die Matrixspur

Q: Wie berechne ich die Spur einer Matrix von Hand?

Markieren Sie die Einträge, die auf der Hauptdiagonale liegen – also die von der linken oberen Ecke zur rechten unteren Ecke verlaufen –, und addieren Sie sie. Bei einer 3 × 3-Matrix bedeutet das a_11 + a_22 + a_33. Multiplikationen oder Vorzeichenregeln kommen nicht ins Spiel; es ist eine schlichte Summe. Vergewissern Sie sich zum Schluss, dass Sie die Diagonale von links oben nach rechts unten genommen haben und nicht die Nebendiagonale – ein sehr häufiger Fehler.

Q: Kann ich diesen Rechner auch für eine 4 × 4-Matrix oder eine noch größere verwenden?

Nicht direkt – das Tool unterstützt 2 × 2- und 3 × 3-Matrizen. Für eine größere quadratische Matrix gilt exakt dieselbe Regel: Addieren Sie die Einträge a_11 + a_22 + a_33 + a_44 + dots. Da die Spur nur die Diagonale betrifft, ist die Spur einer n × n-Matrix von Hand in Sekunden berechnet. Alternativ zerlegen Sie die Matrix in Blöcke, deren Spuren sich addieren, denn die Spur ist linear.

Q: Ändert sich die Spur, wenn ich die Matrix transponiere?

Nein. Die Transponierte A^T vertauscht Zeilen und Spalten, aber jeder Diagonaleintrag a_ii bleibt an seinem Platz, weshalb tr(A^T) = tr(A) gilt. Dasselbe gilt für andere Umsortierungen vom Typ Ähnlichkeitstransformation: Konjugiert man eine Matrix mit einer invertierbaren Matrix P, also P^-1AP, bleibt die Spur unverändert. Diese Invarianz ist der Grund, warum die Spur als eine innere Eigenschaft der linearen Abbildung selbst gilt und nicht einer bestimmten Matrixdarstellung.

Q: Was ist die Spur einer Einheitsmatrix?

Die Spur der n × n-Einheitsmatrix beträgt n, weil alle Diagonaleinträge 1 sind. Zum Beispiel: tr(I_3) = 1 + 1 + 1 = 3. Allgemeiner gilt tr(cI) = cn für ein skalares Vielfaches der Einheitsmatrix. Ein nützlicher Zusammenhang dazu: tr(A) ist die Summe der Eigenwerte, und die Einheitsmatrix hat lauter Eigenwerte gleich 1 – das passt zusammen.

Q: Ist die Spur dasselbe wie die Summe aller Matrixeinträge?

In der Regel nicht – das ist der häufigste Fehler. Die Spur addiert nur die Diagonaleinträge; Einträge außerhalb der Diagonale bleiben unberücksichtigt. Bei der 3 × 3-Matrix, die mit den Zahlen 1 bis 9 gefüllt ist, beträgt die Summe aller neun Einträge 45, die Spur aber nur 1 + 5 + 9 = 15. Nur bei einer Diagonalmatrix, in der alle Einträge außerhalb der Diagonale null sind, stimmen beide überein.

Q: Kann die Spur negativ, null oder eine Dezimalzahl sein?

Ja, alles drei ist möglich. Die Spur ist schlicht die Summe reeller Zahlen; ist einer Ihrer Diagonaleinträge negativ oder eine Dezimalzahl, geht das unmittelbar ins Ergebnis ein. Eine Spur von null ist völlig normal und bedeutet nicht, dass die Matrix selbst null ist – so hat beispielsweise jede 2 × 2-Drehmatrix beginpmatrix cosθ & -sinθ ; sinθ & cosθ endpmatrix die Spur 2cosθ, die bei einer Drehung um 90° null beträgt.

Q: Wie setzt man Spur und Determinante gemeinsam ein?

Für jede 2 × 2-Matrix liefern die Spur t und die Determinante d sofort beide Eigenwerte, denn diese erfüllen λ^2 - tλ + d = 0. Auflösen ergibt λ = fract ± √(t^2 - 4d)2. Ist t^2 < 4d, wird die Wurzel negativ und die Eigenwerte bilden ein konjugiert komplexes Paar. Dieses Zusammenspiel von Spur und Determinante ist das Rückgrat der Stabilitätsanalyse 2×2-Systeme in Differentialgleichungen.

Aktualisiert: 14 Oktober 2026

Geben Sie die Einträge einer quadratischen 2 × 2- oder 3 × 3-Matrix ein und erhalten Sie sofort ihre Spur – die Summe der Hauptdiagonalelemente a₁₁ + a₂₂ (+ a₃₃).

Spur einer quadratischen Matrix berechnen

Formel für die Spur einer Matrix

Formel

\[ \operatorname{tr}(A) = \sum_{i=1}^{n} a_{ii} = a_{11} + a_{22} + \dots + a_{nn} \]

Dabei ist:

\(a_{ii}\) — der Eintrag der Matrix \(A\) in Zeile \(i\), Spalte \(i\) (also ein Element der Hauptdiagonale)
\(n\) — die Größe der quadratischen Matrix (Anzahl der Zeilen = Anzahl der Spalten)

Die Spur einer quadratischen Matrix ist die Summe der Einträge auf ihrer Hauptdiagonale – der Elemente, deren Zeilenindex gleich dem Spaltenindex ist. Nur quadratische Matrizen besitzen eine Spur; bei einer rechteckigen Matrix gibt es keine Hauptdiagonale, die sich über Zeilen und Spalten in gleicher Länge erstreckt.

Spur einer Matrix – Rechenbeispiel

Beispiel: Berechnen Sie die Spur der 3 × 3-Matrix, deren Einträge zeilenweise von 1 bis 9 laufen (das sind die Standardwerte des Rechners).

\[
A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix}
\]

\[
\operatorname{tr}(A) = a_{11} + a_{22} + a_{33} = 1 + 5 + 9 = 15
\]

Ergebnis: \(\operatorname{tr}(A) = 15\).

So verwenden Sie den Rechner

Öffnen Sie das Ausklappmenü Matrixgröße und wählen Sie 2 × 2 oder 3 × 3. Das Eingabefeld passt sich automatisch an: Bei einer 2 × 2-Matrix werden die dritte Zeile und die dritte Spalte ausgeblendet.
Tragen Sie in die Felder von Matrix A (a₁₁, a₁₂, …) zeilenweise die Einträge Ihrer Matrix ein. Jede Beschriftung nennt die Position: a₂₃ bedeutet Zeile 2, Spalte 3.
Lesen Sie das Ergebnis ab: Spur (tr A) ist die Summe der Hauptdiagonaleinträge, und unter Summierte Diagonaleinträge sehen Sie genau, welche Zahlen addiert wurden.
Ändern Sie einen beliebigen Wert – das Ergebnis aktualisiert sich sofort, ganz ohne Klick auf eine Schaltfläche.

Was ist die Spur einer Matrix?

Die Spur ist eine der einfachsten und zugleich wichtigsten Kennzahlen einer quadratischen Matrix. Auf den ersten Blick wirkt sie wie eine beiläufige Größe, doch sie enthält tiefgehende Strukturinformationen: Die Spur ist gleich der Summe der Eigenwerte der Matrix, jeweils mit ihrer Vielfachheit gezählt. Für eine 2 × 2-Matrix \(A\) mit den Eigenwerten \(\lambda_1\) und \(\lambda_2\) gilt stets \(\operatorname{tr}(A) = \lambda_1 + \lambda_2\), während die Determinante \(\det(A) = \lambda_1 \lambda_2\) liefert. Deshalb begegnet die Spur einem ständig im charakteristischen Polynom, in der Stabilitätsanalyse dynamischer Systeme und in der Quantenmechanik, wo die Spur eines Operators den Erwartungswert einer Observablen angibt.

Die Spur besitzt außerdem handliche algebraische Eigenschaften, die sie zu einem vielseitigen Werkzeug in Matrixbeweisen und -berechnungen machen:

Linearität: \(\operatorname{tr}(A + B) = \operatorname{tr}(A) + \operatorname{tr}(B)\) und \(\operatorname{tr}(cA) = c\,\operatorname{tr}(A)\).
Zyklische Eigenschaft: \(\operatorname{tr}(ABC) = \operatorname{tr}(BCA) = \operatorname{tr}(CAB)\). Daraus folgt \(\operatorname{tr}(AB) = \operatorname{tr}(BA)\), selbst wenn \(AB \neq BA\) gilt.
Invarianz unter Ähnlichkeitstransformationen: Ist \(B = P^{-1}AP\), so gilt \(\operatorname{tr}(B) = \operatorname{tr}(A)\). In jeder Basis ist die Spur dieselbe.

Geometrisch betrachtet misst die Spur – wenn die Matrix eine lineare Abbildung darstellt –, wie die Abbildung das Volumen lokal entlang der Diagonalrichtung skaliert: Eine positive Spur streckt, eine negative staucht, und bei einer Spur von null heben sich die diagonalen Beiträge gegenseitig auf. In der Graphentheorie zählt die Spur von \(A^k\) die geschlossenen Wege der Länge \(k\) in dem Graphen, den \(A\) beschreibt.

Voraussetzungen und praktische Hinweise

Dieser Rechner arbeitet mit 2 × 2- und 3 × 3-Matrizen und akzeptiert beliebige reelle Zahlen als Einträge, auch negative und Dezimalzahlen. Die Einträge außerhalb der Hauptdiagonale, die Sie eingeben, beeinflussen das Ergebnis nicht – die Spur hängt nur von der Hauptdiagonale ab –, aber Sie müssen sie dennoch eintragen, damit die Matrix vollständig festgelegt ist.

Beachten Sie bei der Interpretation Ihres Ergebnisses Folgendes:

Nur quadratische Matrizen. Bilden Ihre Daten eine rechteckige Matrix (etwa 2 × 3), ist die Spur nicht definiert. Überdenken Sie in dem Fall, was Ihre Daten darstellen, oder bringen Sie sie in eine quadratische Form.
Die Spur ist eine einzelne Zahl, keine Matrix. Eine Spur von 0 bedeutet nicht, dass die Matrix die Nullmatrix oder trivial ist – viele von null verschiedene Matrizen (z. B. Drehmatrizen) haben die Spur null.
Spur und Determinante gemeinsam bestimmen die Eigenwerte jeder 2 × 2-Matrix vollständig – über die quadratische Gleichung \(\lambda^2 - \operatorname{tr}(A)\,\lambda + \det(A) = 0\). Komplexe Eigenwerte treten immer als konjugierte Paare auf – siehe den Rechner für konjugiert komplexe Zahlen –, sodass die Eigenwerte einer reellen 2 × 2-Matrix mit \(\operatorname{tr}(A)^2 < 4\det(A)\) komplex sind.

Sie arbeiten in anderen Zusammenhängen mit Zahlenrastern? Diagonalen spielen auch in Rätseln eine Rolle – probieren Sie den Generator für magische Quadrate aus, bei dem jede Zeile, jede Spalte und jede Diagonale dieselbe Summe ergeben muss. Führt Ihre Arbeit mit Matrizen zum Lösen linearer Gleichungssysteme, übernimmt der Rechner zum Eliminationsverfahren den nächsten Schritt.

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Häufig gestellte Fragen

Wie berechne ich die Spur einer Matrix von Hand?

Markieren Sie die Einträge, die auf der Hauptdiagonale liegen – also die von der linken oberen Ecke zur rechten unteren Ecke verlaufen –, und addieren Sie sie. Bei einer 3 × 3-Matrix bedeutet das \(a_{11} + a_{22} + a_{33}\). Multiplikationen oder Vorzeichenregeln kommen nicht ins Spiel; es ist eine schlichte Summe. Vergewissern Sie sich zum Schluss, dass Sie die Diagonale von links oben nach rechts unten genommen haben und nicht die Nebendiagonale – ein sehr häufiger Fehler.

Kann ich diesen Rechner auch für eine 4 × 4-Matrix oder eine noch größere verwenden?

Nicht direkt – das Tool unterstützt 2 × 2- und 3 × 3-Matrizen. Für eine größere quadratische Matrix gilt exakt dieselbe Regel: Addieren Sie die Einträge \(a_{11} + a_{22} + a_{33} + a_{44} + \dots\). Da die Spur nur die Diagonale betrifft, ist die Spur einer \(n \times n\)-Matrix von Hand in Sekunden berechnet. Alternativ zerlegen Sie die Matrix in Blöcke, deren Spuren sich addieren, denn die Spur ist linear.

Ändert sich die Spur, wenn ich die Matrix transponiere?

Nein. Die Transponierte \(A^T\) vertauscht Zeilen und Spalten, aber jeder Diagonaleintrag \(a_{ii}\) bleibt an seinem Platz, weshalb \(\operatorname{tr}(A^T) = \operatorname{tr}(A)\) gilt. Dasselbe gilt für andere Umsortierungen vom Typ Ähnlichkeitstransformation: Konjugiert man eine Matrix mit einer invertierbaren Matrix \(P\), also \(P^{-1}AP\), bleibt die Spur unverändert. Diese Invarianz ist der Grund, warum die Spur als eine innere Eigenschaft der linearen Abbildung selbst gilt und nicht einer bestimmten Matrixdarstellung.

Was ist die Spur einer Einheitsmatrix?

Die Spur der \(n \times n\)-Einheitsmatrix beträgt \(n\), weil alle Diagonaleinträge 1 sind. Zum Beispiel: \(\operatorname{tr}(I_3) = 1 + 1 + 1 = 3\). Allgemeiner gilt \(\operatorname{tr}(cI) = cn\) für ein skalares Vielfaches der Einheitsmatrix. Ein nützlicher Zusammenhang dazu: \(\operatorname{tr}(A)\) ist die Summe der Eigenwerte, und die Einheitsmatrix hat lauter Eigenwerte gleich 1 – das passt zusammen.

Ist die Spur dasselbe wie die Summe aller Matrixeinträge?

In der Regel nicht – das ist der häufigste Fehler. Die Spur addiert nur die Diagonaleinträge; Einträge außerhalb der Diagonale bleiben unberücksichtigt. Bei der 3 × 3-Matrix, die mit den Zahlen 1 bis 9 gefüllt ist, beträgt die Summe aller neun Einträge 45, die Spur aber nur \(1 + 5 + 9 = 15\). Nur bei einer Diagonalmatrix, in der alle Einträge außerhalb der Diagonale null sind, stimmen beide überein.

Kann die Spur negativ, null oder eine Dezimalzahl sein?

Ja, alles drei ist möglich. Die Spur ist schlicht die Summe reeller Zahlen; ist einer Ihrer Diagonaleinträge negativ oder eine Dezimalzahl, geht das unmittelbar ins Ergebnis ein. Eine Spur von null ist völlig normal und bedeutet nicht, dass die Matrix selbst null ist – so hat beispielsweise jede 2 × 2-Drehmatrix \(\begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}\) die Spur \(2\cos\theta\), die bei einer Drehung um 90° null beträgt.

Wie setzt man Spur und Determinante gemeinsam ein?

Für jede 2 × 2-Matrix liefern die Spur \(t\) und die Determinante \(d\) sofort beide Eigenwerte, denn diese erfüllen \(\lambda^2 - t\lambda + d = 0\). Auflösen ergibt \(\lambda = \frac{t \pm \sqrt{t^2 - 4d}}{2}\). Ist \(t^2 < 4d\), wird die Wurzel negativ und die Eigenwerte bilden ein konjugiert komplexes Paar. Dieses Zusammenspiel von Spur und Determinante ist das Rückgrat der Stabilitätsanalyse 2×2-Systeme in Differentialgleichungen.