Calculadora de división de polinomios
Divide un polinomio entre otro paso a paso. Introduce los coeficientes del dividendo y del divisor (empezando por el de mayor grado, incluyendo los ceros) y obtén el cociente, el resto y todos los pasos de la división.
Divide un polinomio entre otro polinomio
Fórmula de la división de polinomios
Donde:
- \(P(x)\) — el dividendo, es decir, el polinomio que se divide
- \(D(x)\) — el divisor, que no puede ser el polinomio cero
- \(Q(x)\) — el cociente
- \(R(x)\) — el resto, con \(\deg R < \deg D\)
La división encuentra el único cociente y el único resto que cumplen esta identidad, igual que la división de números enteros da \(a = b \cdot q + r\) con \(0 \le r < b\). Si \(R(x) = 0\), el divisor divide exactamente al dividendo y las raíces de \(D(x)\) son también raíces de \(P(x)\).
División de polinomios – Ejemplo de cálculo
Ejemplo: dividir \(P(x) = x^3 - 7x + 6\) entre \(D(x) = x - 2\).
El término \(x^2\) que falta se escribe como \(0x^2\); los coeficientes del dividendo son por tanto 1; 0; −7; 6 y los del divisor, 1; −2. Paso a paso:
\[x^3 \div x = x^2, \quad (x-2)\,x^2 = x^3 - 2x^2, \quad (x^3 - 7x + 6) - (x^3 - 2x^2) = 2x^2 - 7x + 6\]
\[2x^2 \div x = 2x, \quad (x-2)\,2x = 2x^2 - 4x, \quad (2x^2 - 7x + 6) - (2x^2 - 4x) = -3x + 6\]
\[-3x \div x = -3, \quad (x-2)(-3) = -3x + 6, \quad (-3x + 6) - (-3x + 6) = 0\]
Resultado: \(Q(x) = x^2 + 2x - 3\) y \(R(x) = 0\). La comprobación \((x-2)(x^2+2x-3) = x^3 - 7x + 6\) confirma que la división es exacta, de modo que \(x = 2\) es una raíz de \(P(x)\).
Cómo usar la calculadora
- Escribe los coeficientes del dividendo (mayor grado primero) en el primer campo. Incluye un 0 por cada potencia que falte: \(x^3 - 7x + 6\) se introduce como
1; 0; -7; 6. - Escribe los coeficientes del divisor (mayor grado primero) en el segundo campo. Para \(x - 2\) introduce
1; -2; el coeficiente principal no puede ser cero. - Separa los números con espacios, comas o puntos y coma: la calculadora acepta los tres.
- Elige la variable (x, t, n o y) con la que se mostrarán los polinomios.
- Lee los resultados: el cociente, el resto, el desarrollo de los pasos de la división línea por línea y la comprobación D(x) · Q(x) + R(x), que debe reproducir el dividendo.
¿Qué es la división de polinomios?
La división de polinomios es el equivalente algebraico de la división ordinaria de números. Dados un dividendo \(P(x)\) y un divisor \(D(x)\), produce un cociente \(Q(x)\) y un resto \(R(x)\) tales que \(P(x) = D(x)\,Q(x) + R(x)\), con un resto de grado estrictamente menor que el del divisor. Esa pareja cociente–resto es única, y por eso la comprobación \(D(x)\,Q(x) + R(x)\) siempre reconstruye el dividendo original.
El algoritmo repite un ciclo muy sencillo: dividir el término principal actual entre el término principal del divisor, multiplicar todo el divisor por ese resultado y restar. Cada ciclo anula la potencia más alta que queda del dividendo y baja en un grado el resto con el que se trabaja, hasta que su grado queda por debajo del grado del divisor. En ese momento la división se detiene y lo que queda es el resto.
La interpretación del resultado depende del resto. Un resto igual a cero significa que \(D(x)\) es un factor de \(P(x)\): esta es la idea que hay detrás de los criterios de factor y de raíz y de la división sintética. Un resto distinto de cero también aporta información: según el teorema del resto, al dividir entre \(x - c\) se obtiene exactamente \(P(c)\), de modo que el resto es el valor del polinomio en \(c\).
La división de polinomios aparece en cualquier contexto en el que haga falta simplificarlos: la descomposición en fracciones simples al integrar, el cálculo de asíntotas de funciones racionales y la reducción de un polinomio módulo otro. También es una forma práctica de factorizar polinomios de grado alto cuando se conoce o se sospecha una raíz.
Consejos, supuestos y limitaciones
- Rellena siempre con ceros. \(x^3 - 7x + 6\) debe introducirse como
1; 0; -7; 6, no como1; -7; 6. Si falta un cero, todos los coeficientes se desplazan a la potencia equivocada y el resultado es erróneo. - El divisor no puede ser cero. El coeficiente principal no puede valer cero; la calculadora elimina automáticamente los ceros a la izquierda, pero un divisor formado solo por ceros se rechaza.
- Un divisor de grado mayor devuelve el dividendo. Si \(\deg D > \deg P\), el cociente es 0 y el resto es igual al dividendo: es el resultado correcto, no un error.
- Los coeficientes pueden ser cualquier número real, incluidas fracciones y decimales (p. ej.
0,5; -3; 2). Los resultados se redondean a 4 decimales para mostrarlos, así que algunos decimales muy largos pueden verse ligeramente acortados. - Dividir entre un monomio como \(x^2\) también funciona: introduce
1; 0como divisor; cada término del dividendo simplemente baja de grado. - Si quieres verificar a mano la multiplicación de la línea de comprobación, las calculadoras de multiplicación de binomios y del método FOIL cubren los casos más habituales, y la calculadora de división básica se encarga de la división puramente numérica.
Preguntas frecuentes
¿En qué se diferencia la división sintética de la división de polinomios?
La división sintética (regla de Ruffini) es un atajo para el caso particular en que el divisor es de primer grado, es decir, \(D(x) = x - c\). Solo se escriben los coeficientes del dividendo y se trabaja con el único número \(c\), lo que resulta más rápido y menos propenso a errores a mano. La división larga es más general: funciona con cualquier divisor, incluidos \(x^2 + 1\) o \(3x - 2\). Ambos métodos dan el mismo cociente y el mismo resto, así que puedes usar esta calculadora para comprobar un resultado obtenido por división sintética.
¿Puedo dividir entre un divisor cuyo coeficiente principal no sea 1?
Sí. El algoritmo no exige un divisor mónico. En cada paso se divide el coeficiente principal actual entre el coeficiente principal del divisor, por lo que pueden aparecer fracciones en el cociente. Por ejemplo, al dividir \(x^2 + 1\) entre \(2x\) se obtiene \(Q(x) = 0.5x\) y \(R(x) = 1\). Introduce el divisor tal cual está escrito, por ejemplo 2; -5 para \(2x - 5\), y la calculadora se encarga de los coeficientes fraccionarios.
¿Qué significa un resto distinto de cero para las raíces?
Si divides entre \(x - c\) y el resto no es cero, entonces \(c\) no es raíz de \(P(x)\). Según el teorema del resto, el resto es exactamente \(P(c)\), el valor del polinomio en \(c\). Así, un resto de, digamos, 5 al dividir entre \(x - 3\) significa que \(P(3) = 5\). Un resto igual a cero es lo contrario: demuestra que \(x - c\) es un factor y que \(c\) es una raíz.
¿Cómo compruebo mi división de polinomios a mano?
Multiplica el cociente por el divisor y súmale el resto: el resultado debe reproducir el dividendo exactamente. Si \(P(x) = 2x^3 - 3x^2 + 1\), \(D(x) = x - 1\), \(Q(x) = 2x^2 - x - 1\) y \(R(x) = 2\), calcula \((x-1)(2x^2 - x - 1) + 2\) y confirma que se simplifica de nuevo a \(2x^3 - 3x^2 + 1\). Cualquier discrepancia indica un despiste aritmético, normalmente un error de signo en el paso de la resta.
¿Por qué me sale otro resultado si omito los coeficientes cero?
Porque los coeficientes deben quedar alineados con las potencias correctas. Si introduces 1; -7; 6 para \(x^3 - 7x + 6\), la calculadora lee \(x^2 - 7x + 6\), un polinomio completamente distinto. El término \(x^2\) que falta debe escribirse como un 0 explícito, dando 1; 0; -7; 6. La misma regla se aplica a los huecos intermedios y finales del divisor. Es también la causa más habitual de error en los cálculos hechos a mano.
¿Puedo usarla para hallar asíntotas de una función racional?
Sí. Al dividir el numerador entre el denominador de una función racional, esta se reescribe como un polinomio más una fracción propia. Cuando los grados coinciden, el cociente constante da la asíntota horizontal. Cuando el grado del numerador es exactamente uno más, el cociente lineal es la asíntota oblicua. Por ejemplo, \((x^2+1)/(x-1) = x+1+2/(x-1)\), de modo que \(y = x+1\) es la asíntota oblicua.
¿Qué ocurre si el dividendo y el divisor tienen el mismo grado?
La división se detiene tras un solo paso: el cociente es una constante igual al cociente de los coeficientes principales, y el resto es lo que queda. Por ejemplo, \((x^2 + 3x) \div (x^2 - 1)\) da \(Q(x) = 1\) y \(R(x) = 3x + 1\), ya que \(x^2 + 3x = 1\cdot(x^2-1) + 3x + 1\). El grado del resto (1) queda correctamente por debajo del grado del divisor (2), así que el resultado es válido.