Poisson-Verteilung Rechner

Q: Wie berechne ich eine Poisson-Wahrscheinlichkeit von Hand ohne Rechner?

Berechnen Sie P(X = k) = e^-λλ^k / k! Schritt für Schritt: Bestimmen Sie e^-λ, erheben Sie λ zur Potenz k, multiplizieren Sie beide Werte und dividieren Sie durch k!. Beispiel mit λ = 2 und k = 3: e^-2 ≈ 0.1353, 2^3 = 8, 3! = 6, also P(X = 3) = 0.1353 × 8 / 6 ≈ 0.1804. Für kumulierte Wahrscheinlichkeiten addieren Sie die einzelnen Terme von 0 bis k.

Q: Kann λ eine Dezimalzahl oder ein Bruch sein?

Ja, λ darf jede positive Zahl sein, auch Dezimalzahlen — nur k muss eine ganze Zahl sein. Tritt beispielsweise ein seltener Fehler durchschnittlich 0,7-mal pro Bericht auf, ist λ = 0.7 völlig zulässig. Ein gebrochenes λ bedeutet einfach, dass Ereignisse im gewählten Intervall selten sind. Die einzigen Einschränkungen sind λ > 0 und dass k eine ganze Zahl größer oder gleich 0 ist.

Q: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für null Ereignisse, P(X = 0)?

Da 0! = 1 und λ^0 = 1, vereinfacht sich die Formel zu P(X = 0) = e^-λ. Bei λ = 3 ergibt das e^-3 ≈ 0.0498, also etwa eine 5-%-Chance auf kein Ereignis. Dieser Wert ist in der Zuverlässigkeitsanalyse nützlich — etwa um die Chance abzuschätzen, dass während einer Schicht kein Maschinenausfall auftritt.

Q: Warum liefert meine manuelle Berechnung für großes k eine 0 oder eine riesige falsche Zahl?

Bei großem k werden sowohl λ^k als auch k! astronomisch groß und können einen Taschenrechner oder eine Tabellenkalkulation zum Überlauf bringen, obwohl ihr Verhältnis klein ist. Die Lösung besteht darin, mit Logarithmen zu arbeiten: ln P = -λ + klnλ - ln(k!), und erst am Ende zu exponentiieren. Ein weiterer häufiger Fehler ist es, k nicht als ganze Zahl einzugeben oder zu vergessen, dass e^-λ multipliziert und nicht addiert werden muss.

Q: Was ist die wahrscheinlichste Anzahl von Ereignissen (der Modus)?

Das wahrscheinlichste Ergebnis ist k = lfloorλrfloor — die größte ganze Zahl, die λ nicht überschreitet. Ist λ selbst eine ganze Zahl, dann sind k = λ und k = λ - 1 gleich wahrscheinlich. Bei λ = 4 haben beispielsweise 3 und 4 Ereignisse die höchste Wahrscheinlichkeit; bei λ = 4.5 ist 4 die mit Abstand wahrscheinlichste Anzahl.

Aktualisiert: 4 Oktober 2026

Berechnen Sie Poisson-Wahrscheinlichkeiten aus der durchschnittlichen Rate λ: die Chance auf genau k Ereignisse, einen Bereich oder kumulierte höchstens/mindestens-Wahrscheinlichkeiten, dazu Erwartungswert und Varianz.

Poisson-Wahrscheinlichkeiten berechnen

Wahrscheinlichkeitstyp

Durchschnittliche Rate (λ)

Die durchschnittliche Anzahl der Ereignisse pro Intervall (muss positiv sein).

Anzahl der Ereignisse (k)

Eine ganze Anzahl von Ereignissen (0 oder größer).

Automatisch berechnenWenn aktiviert, wird das Ergebnis automatisch aktualisiert, sobald Sie einen Wert ändern.

Ihre Ergebnisse

Gesuchte WahrscheinlichkeitP

P(X = k)P(X = k)

Kumulierte Wahrscheinlichkeit P(X ≤ k)P(X ≤ k)

Erwartungswertμ

Varianzσ²

Interpretation & Details

Formel der Poisson-Verteilung

Formel

\[ P(X = k) = \frac{e^{-\lambda}\,\lambda^k}{k!} \\ \[ P(X \le k) = \sum_{j=0}^{k} \frac{e^{-\lambda}\,\lambda^j}{j!} \\ \[ P(X \ge k) = 1 - \sum_{j=0}^{k-1} \frac{e^{-\lambda}\,\lambda^j}{j!} \]

Wobei gilt:

\(\lambda\) — die durchschnittliche (mittlere) Anzahl von Ereignissen pro Intervall; muss positiv sein
\(k\) — die Anzahl der Ereignisse; eine ganze Zahl größer oder gleich 0
\(e \approx 2{,}71828\) — die Eulersche Zahl
\(k!\) — die Fakultät von \(k\)

Die erste Formel liefert die Wahrscheinlichkeit, genau \(k\) Ereignisse zu beobachten; die beiden Summen ergeben die kumulierten Wahrscheinlichkeiten \(P(X \le k)\) und \(P(X \ge k)\).

Poisson-Verteilung – Rechenbeispiel

Beispiel: ein Callcenter erhält durchschnittlich \(\lambda = 3\) Anrufe pro Stunde. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, in der nächsten Stunde genau \(k = 5\) Anrufe zu erhalten?

\[ P(X = 5) = \frac{e^{-3} \cdot 3^5}{5!} = \frac{0.0497871 \cdot 243}{120} = \frac{12.0981}{120} \approx 0.100819 \]

Ergebnis: \(P(X = 5) \approx 0.1008\), also rund 10,08 %. Bei \(\lambda = 3\) sind Erwartungswert und Varianz beide 3 und die Standardabweichung beträgt \(\sqrt{3} \approx 1.732\).

So benutzen Sie den Rechner

Wählen Sie den Wahrscheinlichkeitstyp: genau k Ereignisse, ein Bereich zwischen zwei Anzahlen, höchstens k Ereignisse oder mindestens k Ereignisse.
Geben Sie die Durchschnittsrate (λ) ein — die mittlere Anzahl von Ereignissen pro Intervall (pro Stunde, pro Seite, pro Charge usw.). Sie muss größer als 0 sein.
Geben Sie die Anzahl der Ereignisse (k) ein — eine ganze Zahl größer oder gleich 0. Im Bereichsmodus dient dieser Wert als untere Grenze k₁.
Wenn Sie den Bereichsmodus gewählt haben, tragen Sie zusätzlich die Obere Ereignisanzahl (k₂) ein, die größer oder gleich k sein muss.
Lesen Sie die Gesuchte Wahrscheinlichkeit oben in den Ergebnissen ab und prüfen Sie darunter \(P(X = k)\), die kumulierte Wahrscheinlichkeit \(P(X \le k)\), den Erwartungswert und die Varianz.

Was ist die Poisson-Verteilung?

Die Poisson-Verteilung beschreibt, wie oft ein zufälliges Ereignis innerhalb eines festen Zeit-, Raum- oder Volumenintervalls eintritt, wenn die Ereignisse unabhängig voneinander und mit einer konstanten durchschnittlichen Rate erfolgen. Sie ist nach dem französischen Mathematiker Siméon Denis Poisson benannt und gehört zu den am häufigsten verwendeten diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilungen in der Statistik.

Ein einziger Parameter, \(\lambda\), beschreibt die Verteilung vollständig: Er ist zugleich Erwartungswert und Varianz, also \(\mu = \sigma^2 = \lambda\). Klassische Anwendungen sind die Anzahl von Kundenankünften pro Stunde, Tippfehler pro Seite, radioaktive Zerfälle pro Sekunde, Websitebesuche pro Minute oder Versicherungsfälle pro Monat. Wenn Sie die historische Durchschnittsanzahl für das Intervall kennen, können Sie mit der Poisson-Formel die Wahrscheinlichkeit jedes konkreten Ergebnisses schätzen.

Das wahrscheinlichste Ergebnis liegt in der Nähe von \(\lambda\) selbst, und die Wahrscheinlichkeiten laufen nach beiden Seiten hin aus. Bei \(\lambda = 3\) sind beispielsweise 2, 3 oder 4 Ereignisse recht wahrscheinlich, während 0 oder 8 Ereignisse unüblich, aber nicht unmöglich sind. Die Tabelle der Nachbarwahrscheinlichkeiten im Rechner zeigt diese Streuung um Ihr gewähltes k und hilft Ihnen einzuschätzen, ob eine beobachtete Anzahl typisch oder ungewöhnlich ist. Kumulierte Ergebnisse (höchstens / mindestens) sind oft nützlicher als exakte Wahrscheinlichkeiten: Sie verraten Ihnen die Chance, eine Schwelle zu erreichen, etwa „mehr als 10 Ankünfte“ oder „höchstens 1 Fehler“.

Annahmen, Grenzen und Tipps

Unabhängigkeit: Ein Ereignis darf die Wahrscheinlichkeit eines anderen nicht beeinflussen. Ankünfte, die dieselbe Ursache haben (z. B. ein viraler Beitrag, der die Besuche in die Höhe treibt), verletzen diese Annahme.
Konstante Rate: \(\lambda\) muss über das gesamte Intervall gleich bleiben. Wenn die Rate je nach Stunde oder Saison schwankt, berechnen Sie jeden Zeitraum separat oder verwenden Sie ein anderes Modell.
Nur Zähldaten: k zählt ganze Ereignisse in einem festen Intervall. Die Poisson-Verteilung beschreibt keine kontinuierlichen Größen wie Dauer oder Strecken.
λ skalieren: Wenn Sie das Intervall verdoppeln, verdoppeln Sie \(\lambda\). Aus einer Rate von 3 Anrufen pro Stunde wird \(\lambda = 6\) für ein Zwei-Stunden-Fenster oder \(\lambda = 0.05\) pro Minute.
Großes λ: Mit wachsendem \(\lambda\) (ab etwa 20) wird die Poisson-Verteilung nahezu symmetrisch und ist einer Normalverteilung mit Erwartungswert \(\lambda\) und Varianz \(\lambda\) sehr ähnlich.
Gegenereignisse: Denken Sie daran, dass \(P(X \ge k) = 1 - P(X \le k-1)\) gilt. Das „mindestens“-Ergebnis berücksichtigt dies bereits, deshalb ist \(P(X \ge 0)\) immer 100 %.

Häufig gestellte Fragen

Wie berechne ich eine Poisson-Wahrscheinlichkeit von Hand ohne Rechner?

Berechnen Sie \(P(X = k) = e^{-\lambda}\lambda^k / k!\) Schritt für Schritt: Bestimmen Sie \(e^{-\lambda}\), erheben Sie \(\lambda\) zur Potenz \(k\), multiplizieren Sie beide Werte und dividieren Sie durch \(k!\). Beispiel mit \(\lambda = 2\) und \(k = 3\): \(e^{-2} \approx 0.1353\), \(2^3 = 8\), \(3! = 6\), also \(P(X = 3) = 0.1353 \times 8 / 6 \approx 0.1804\). Für kumulierte Wahrscheinlichkeiten addieren Sie die einzelnen Terme von 0 bis \(k\).

Wann sollte ich die Poisson-Verteilung statt der Binomialverteilung verwenden?

Verwenden Sie die Poisson-Verteilung, wenn Sie Ereignisse über ein kontinuierliches Intervall (Zeit, Fläche, Volumen) zählen und nur die durchschnittliche Rate kennen. Verwenden Sie die Binomialverteilung, wenn Sie eine feste Anzahl unabhängiger Versuche haben, jeweils mit derselben Erfolgswahrscheinlichkeit. Die Poisson-Verteilung ist tatsächlich der Grenzfall der Binomialverteilung, wenn die Anzahl der Versuche sehr groß und die Erfolgswahrscheinlichkeit sehr klein ist — eine gängige Faustregel besagt, dass die Poisson-Approximation gut funktioniert, wenn \(n \ge 50\) und \(p \le 0.1\).

Kann λ eine Dezimalzahl oder ein Bruch sein?

Ja, \(\lambda\) darf jede positive Zahl sein, auch Dezimalzahlen — nur \(k\) muss eine ganze Zahl sein. Tritt beispielsweise ein seltener Fehler durchschnittlich 0,7-mal pro Bericht auf, ist \(\lambda = 0.7\) völlig zulässig. Ein gebrochenes \(\lambda\) bedeutet einfach, dass Ereignisse im gewählten Intervall selten sind. Die einzigen Einschränkungen sind \(\lambda > 0\) und dass \(k\) eine ganze Zahl größer oder gleich 0 ist.

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für null Ereignisse, P(X = 0)?

Da \(0! = 1\) und \(\lambda^0 = 1\), vereinfacht sich die Formel zu \(P(X = 0) = e^{-\lambda}\). Bei \(\lambda = 3\) ergibt das \(e^{-3} \approx 0.0498\), also etwa eine 5-%-Chance auf kein Ereignis. Dieser Wert ist in der Zuverlässigkeitsanalyse nützlich — etwa um die Chance abzuschätzen, dass während einer Schicht kein Maschinenausfall auftritt.

Wie schätze ich λ aus historischen Daten ab?

Dividieren Sie die Gesamtzahl der beobachteten Ereignisse durch die Anzahl der Intervalle. Hat ein Geschäft in 30 Ein-Stunden-Zeiträumen 150 Kunden bedient, dann ist \(\lambda = 150 / 30 = 5\) Kunden pro Stunde. Je länger Ihr Beobachtungszeitraum, desto stabiler wird diese Schätzung. Beachten Sie, dass ein aus begrenzten Daten geschätztes \(\lambda\) mit Unsicherheit behaftet ist; betrachten Sie die resultierenden Wahrscheinlichkeiten daher als Näherungswerte und nicht als exakte Größen.

Warum liefert meine manuelle Berechnung für großes k eine 0 oder eine riesige falsche Zahl?

Bei großem \(k\) werden sowohl \(\lambda^k\) als auch \(k!\) astronomisch groß und können einen Taschenrechner oder eine Tabellenkalkulation zum Überlauf bringen, obwohl ihr Verhältnis klein ist. Die Lösung besteht darin, mit Logarithmen zu arbeiten: \(\ln P = -\lambda + k\ln\lambda - \ln(k!)\), und erst am Ende zu exponentiieren. Ein weiterer häufiger Fehler ist es, \(k\) nicht als ganze Zahl einzugeben oder zu vergessen, dass \(e^{-\lambda}\) multipliziert und nicht addiert werden muss.

Was ist die wahrscheinlichste Anzahl von Ereignissen (der Modus)?

Das wahrscheinlichste Ergebnis ist \(k = \lfloor\lambda\rfloor\) — die größte ganze Zahl, die \(\lambda\) nicht überschreitet. Ist \(\lambda\) selbst eine ganze Zahl, dann sind \(k = \lambda\) und \(k = \lambda - 1\) gleich wahrscheinlich. Bei \(\lambda = 4\) haben beispielsweise 3 und 4 Ereignisse die höchste Wahrscheinlichkeit; bei \(\lambda = 4.5\) ist 4 die mit Abstand wahrscheinlichste Anzahl.