Calculadora de proyección de vectores en 3D
Introduce las componentes de dos vectores en 3D y esta calculadora proyecta uno sobre el otro, mostrando la proyección escalar, la proyección vectorial, la componente perpendicular, el producto escalar, los módulos y el ángulo entre los vectores.
Proyecta un vector 3D sobre otro
Fórmula de la proyección de vectores en 3D
Donde:
- \(\mathbf{a} = (a_x, a_y, a_z)\) es el vector que se proyecta
- \(\mathbf{b} = (b_x, b_y, b_z)\) es el vector que marca la dirección
- \(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z\) es el producto escalar
- \(\lvert \mathbf{b} \rvert = \sqrt{b_x^2 + b_y^2 + b_z^2}\) es el módulo (longitud) de \(\mathbf{b}\)
La fórmula expresa cuánto de \(\mathbf{a}\) apunta en la dirección de \(\mathbf{b}\). El factor \(k = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{\lvert \mathbf{b} \rvert^2}\) escala \(\mathbf{b}\) de modo que el resultado es la sombra que \(\mathbf{a}\) proyecta sobre la recta que pasa por \(\mathbf{b}\).
De esa misma proyección se obtienen dos magnitudes relacionadas:
\[ \operatorname{comp}_{\mathbf{b}} \mathbf{a} = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{\lvert \mathbf{b} \rvert} \qquad \operatorname{perp}_{\mathbf{b}} \mathbf{a} = \mathbf{a} - \operatorname{proj}_{\mathbf{b}} \mathbf{a} \]
La proyección escalar (o componente) es la longitud con signo de esa sombra, y la componente perpendicular (o rechazo) es la parte de \(\mathbf{a}\) que sobra, siempre ortogonal a \(\mathbf{b}\).
Proyección de vectores en 3D: ejemplo de cálculo
Ejemplo: proyecta \(\mathbf{a} = (2, 3, 1)\) sobre \(\mathbf{b} = (1, 0, 2)\) (los valores que vienen por defecto en la calculadora).
\[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 2 \cdot 1 + 3 \cdot 0 + 1 \cdot 2 = 4 \]
\[ \lvert \mathbf{a} \rvert = \sqrt{2^2 + 3^2 + 1^2} = \sqrt{14} \approx 3.742, \qquad \lvert \mathbf{b} \rvert = \sqrt{1^2 + 0^2 + 2^2} = \sqrt{5} \approx 2.236 \]
\[ k = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{\lvert \mathbf{b} \rvert^2} = \frac{4}{5} = 0.8 \]
\[ \operatorname{proj}_{\mathbf{b}} \mathbf{a} = 0.8 \cdot (1, 0, 2) = (0.8,\ 0,\ 1.6) \]
\[ \operatorname{perp}_{\mathbf{b}} \mathbf{a} = (2, 3, 1) - (0.8, 0, 1.6) = (1.2,\ 3,\ -0.6) \]
Resultado: la proyección escalar es \(4 / \sqrt{5} \approx 1,789\), la proyección vectorial es \((0.8, 0, 1.6)\) y la componente perpendicular es \((1.2, 3, -0.6)\), con módulo \(\approx 3,286\). El ángulo entre los vectores es \(\arccos\!\left(\tfrac{4}{\sqrt{70}}\right) \approx 61,4°\).
Cómo usar la calculadora
- Introduce la componente x (aₓ), la componente y (aᵧ) y la componente z (a_z) del primer vector en «Vector a — componentes».
- Introduce las tres componentes del segundo vector en «Vector b — componentes». Usa 0 para cualquier eje que falte.
- Elige la opción de Proyectar: «a sobre b» calcula cuánto de \(\mathbf{a}\) está en la dirección de \(\mathbf{b}\); «b sobre a» invierte los papeles.
- Lee los resultados: la proyección escalar, la proyección vectorial, la componente perpendicular, además del producto escalar, los dos módulos, el ángulo entre los vectores y el desarrollo del cálculo paso a paso.
¿Qué es la proyección de un vector en 3D?
Geométricamente, la proyección del vector \(\mathbf{a}\) sobre el vector \(\mathbf{b}\) es la sombra que \(\mathbf{a}\) proyecta sobre la recta que pasa por \(\mathbf{b}\), como si la luz incidiera perpendicularmente a esa recta. El resultado es un vector nuevo que apunta exactamente en la misma dirección que \(\mathbf{b}\) (o justo en la opuesta), con una longitud igual a lo que \(\mathbf{a}\) alcanza en esa dirección. También se llama componente vectorial de \(\mathbf{a}\) en la dirección de \(\mathbf{b}\).
Toda proyección descompone un vector en dos partes ortogonales: la proyección propiamente dicha (paralela a \(\mathbf{b}\)) y la componente perpendicular, a menudo llamada rechazo. Las dos partes siempre suman el vector original: \(\mathbf{a} = \operatorname{proj}_{\mathbf{b}} \mathbf{a} + \operatorname{perp}_{\mathbf{b}} \mathbf{a}\), y su producto escalar es cero. Esta descomposición es la base del proceso de Gram–Schmidt, de la descomposición de fuerzas en componentes en física y del ajuste por mínimos cuadrados en estadística.
La proyección escalar responde con un único número con signo a la pregunta «¿hasta dónde llega \(\mathbf{a}\) a lo largo de \(\mathbf{b}\)?». Es positiva cuando el ángulo entre los vectores es menor de 90°, cero cuando son perpendiculares y negativa cuando el ángulo supera los 90°; es decir, cuando \(\mathbf{a}\) apunta en parte contra \(\mathbf{b}\). El propio ángulo se deduce del producto escalar mediante \(\cos\theta = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{\lvert\mathbf{a}\rvert\,\lvert\mathbf{b}\rvert}\), y por eso la calculadora lo muestra junto con la proyección.
Ten en cuenta que la proyección escala con la longitud de \(\mathbf{b}\), pero no con su dirección: si duplicas \(\mathbf{b}\), el factor de escala \(k\) se reduce a la mitad y la proyección vectorial no cambia. Dicho de otro modo, la proyección depende de la recta que pasa por \(\mathbf{b}\), no del vector concreto: una relación de proporcionalidad directa entre \(k\) y \(\lvert\mathbf{b}\rvert^{-2}\). Puedes explorar este tipo de relaciones proporcionales con la calculadora de proporcionalidad directa.
Supuestos, limitaciones y consejos
- Vectores no nulos obligatorios. El vector de dirección debe tener un módulo positivo, porque la fórmula divide entre \(\lvert\mathbf{b}\rvert^2\). El vector nulo no tiene dirección sobre la que proyectar; la calculadora te indicará qué vector hay que corregir.
- El signo importa. Una proyección escalar negativa es un resultado válido: significa que la proyección apunta en sentido contrario a \(\mathbf{b}\), y la proyección vectorial contendrá múltiplos negativos de las componentes de \(\mathbf{b}\).
- El orden importa. Proyectar \(\mathbf{a}\) sobre \(\mathbf{b}\) y \(\mathbf{b}\) sobre \(\mathbf{a}\) suele dar vectores distintos (solo las proyecciones escalares quedan relacionadas mediante \(\lvert\mathbf{a}\rvert\) y \(\lvert\mathbf{b}\rvert\)). Usa el desplegable «Proyectar» para cambiar de dirección.
- Comprobación de perpendicularidad. Si el producto escalar es 0, los vectores son ortogonales: la proyección es el vector nulo y la componente perpendicular coincide con el vector original.
- Módulos como media cuadrática. El módulo \(\lvert\mathbf{v}\rvert = \sqrt{v_x^2 + v_y^2 + v_z^2}\) es la raíz de la media de los cuadrados de las tres componentes multiplicada por \(\sqrt{3}\); la misma idea de promedio aparece en la calculadora de media cuadrática (RMS).
- Vectores paralelos. Si los dos vectores son paralelos (ángulo de 0° o 180°), la proyección coincide con \(\mathbf{a}\) (salvo el signo) y la componente perpendicular es el vector nulo.
Preguntas frecuentes
¿Cómo se calcula a mano la proyección de un vector en 3D?
Primero calcula el producto escalar \(a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z\) y el cuadrado de la longitud \(\lvert\mathbf{b}\rvert^2 = b_x^2 + b_y^2 + b_z^2\). Divide el producto escalar entre \(\lvert\mathbf{b}\rvert^2\) para obtener el factor de escala \(k\) y multiplica cada componente de \(\mathbf{b}\) por \(k\). Ese producto \(k\mathbf{b}\) es la proyección vectorial. Réstaselo a \(\mathbf{a}\) para obtener la componente perpendicular.
¿Cuál es la diferencia entre proyección escalar y proyección vectorial?
La proyección escalar es un único número con signo: \((\mathbf{a}\cdot\mathbf{b})/\lvert\mathbf{b}\rvert\), la longitud de la sombra a lo largo de \(\mathbf{b}\) (negativa si el ángulo supera los 90°). La proyección vectorial es un vector 3D completo \(k\mathbf{b}\) que apunta en la dirección de \(\mathbf{b}\) con exactamente esa longitud. Se relacionan mediante \(\lvert\operatorname{proj}_{\mathbf{b}}\mathbf{a}\rvert = \lvert\operatorname{comp}_{\mathbf{b}}\mathbf{a}\rvert\).
¿Puede una proyección ser negativa o cero?
Sí. La proyección vectorial es negativa (un múltiplo negativo de \(\mathbf{b}\)) cuando el ángulo entre los vectores es mayor de 90°, lo que indica que \(\mathbf{a}\) apunta en parte contra \(\mathbf{b}\). Es el vector nulo cuando los vectores son perpendiculares, porque entonces el producto escalar vale 0. Un resultado negativo es válido: no es un error, así que no desprecies el signo.
¿Por qué proyectar a sobre b da un resultado distinto de proyectar b sobre a?
Porque cada operación responde a una pregunta distinta. Proyectar \(\mathbf{a}\) sobre \(\mathbf{b}\) mide hasta dónde llega \(\mathbf{a}\) a lo largo de la recta de \(\mathbf{b}\), y el resultado siempre está sobre \(\mathbf{b}\). Al intercambiar los papeles se obtiene un vector en la dirección de \(\mathbf{a}\). Solo cuando los vectores son paralelos (o uno es múltiplo del otro) coinciden ambas proyecciones, así que comprueba siempre qué dirección has seleccionado.
¿Qué ocurre si el vector de dirección es el vector nulo?
La fórmula divide entre \(\lvert\mathbf{b}\rvert^2\), que vale 0 para el vector nulo, de modo que la proyección queda indefinida: el vector nulo no tiene dirección sobre la que proyectar. La calculadora lo detecta y te pide que introduzcas un vector de dirección no nulo. El vector que se proyecta puede ser cualquiera, pero ambos vectores necesitan al menos una componente distinta de cero para que el ángulo también quede definido.
¿Para qué se usa la proyección de vectores en física y en otros campos?
En física permite descomponer fuerzas y velocidades en componentes a lo largo de un eje dado; por ejemplo, separar la gravedad en las partes paralela y perpendicular a un plano inclinado. En infografía se usa para proyectar objetos sobre direcciones de vista, y en estadística las mismas matemáticas están detrás de la regresión por mínimos cuadrados, donde los datos se proyectan sobre un modelo. La descomposición en parte paralela y perpendicular es también el paso clave del proceso de ortogonalización de Gram–Schmidt.
¿Cambia la proyección si escalo el vector de dirección?
No. Multiplicar \(\mathbf{b}\) por cualquier constante distinta de cero deja la proyección vectorial intacta, porque el producto escalar y \(\lvert\mathbf{b}\rvert^2\) se escalan a la vez y se cancelan. Solo importa la dirección de \(\mathbf{b}\), no su longitud. Eso sí, la proyección escalar cambia de signo si inviertes \(\mathbf{b}\) (al multiplicar por una constante negativa), ya que lleva signo respecto a la orientación de \(\mathbf{b}\).