Калькулятор проєкції векторів у 3D
Введіть координати двох тривимірних векторів, і калькулятор проєктує один із них на інший, показуючи скалярну проєкцію, векторну проєкцію, перпендикулярну складову, скалярний добуток, модулі та кут між векторами.
Проєкція одного 3D-вектора на інший
Формула проєкції вектора у 3D
Де:
- \(\mathbf{a} = (a_x, a_y, a_z)\) — вектор, який проєктують
- \(\mathbf{b} = (b_x, b_y, b_z)\) — вектор, що задає напрямок
- \(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z\) — скалярний добуток
- \(\lvert \mathbf{b} \rvert = \sqrt{b_x^2 + b_y^2 + b_z^2}\) — модуль (довжина) вектора \(\mathbf{b}\)
Формула показує, яка частина вектора \(\mathbf{a}\) спрямована вздовж \(\mathbf{b}\). Коефіцієнт \(k = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{\lvert \mathbf{b} \rvert^2}\) масштабує \(\mathbf{b}\) так, щоб результат став «тінею», яку \(\mathbf{a}\) відкидає на пряму, що проходить через \(\mathbf{b}\).
З тієї самої проєкції випливають дві пов’язані величини:
\[ \operatorname{comp}_{\mathbf{b}} \mathbf{a} = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{\lvert \mathbf{b} \rvert} \qquad \operatorname{perp}_{\mathbf{b}} \mathbf{a} = \mathbf{a} - \operatorname{proj}_{\mathbf{b}} \mathbf{a} \]
Скалярна проєкція (складова) — це довжина тіні зі знаком, а перпендикулярна складова (її ще називають відкиданням) — те, що лишається від \(\mathbf{a}\); вона завжди ортогональна до \(\mathbf{b}\).
Проєкція вектора у 3D — приклад обчислення
Приклад: проєктуємо \(\mathbf{a} = (2, 3, 1)\) на \(\mathbf{b} = (1, 0, 2)\) (стандартні значення калькулятора).
\[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 2 \cdot 1 + 3 \cdot 0 + 1 \cdot 2 = 4 \]
\[ \lvert \mathbf{a} \rvert = \sqrt{2^2 + 3^2 + 1^2} = \sqrt{14} \approx 3.742, \qquad \lvert \mathbf{b} \rvert = \sqrt{1^2 + 0^2 + 2^2} = \sqrt{5} \approx 2.236 \]
\[ k = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{\lvert \mathbf{b} \rvert^2} = \frac{4}{5} = 0.8 \]
\[ \operatorname{proj}_{\mathbf{b}} \mathbf{a} = 0.8 \cdot (1, 0, 2) = (0.8,\ 0,\ 1.6) \]
\[ \operatorname{perp}_{\mathbf{b}} \mathbf{a} = (2, 3, 1) - (0.8, 0, 1.6) = (1.2,\ 3,\ -0.6) \]
Результат: скалярна проєкція дорівнює \(4 / \sqrt{5} \approx 1.789\), векторна проєкція — \((0.8, 0, 1.6)\), а перпендикулярна складова — \((1.2, 3, -0.6)\) з модулем \(\approx 3.286\). Кут між векторами становить \(\arccos\!\left(\tfrac{4}{\sqrt{70}}\right) \approx 61.4°\).
Як користуватися калькулятором
- Введіть x-складову (aₓ), y-складову (aᵧ) і z-складову (a_z) першого вектора в розділі «Вектор a — координати».
- Введіть три координати другого вектора в розділі «Вектор b — координати». Для відсутніх осей ставте 0.
- Виберіть варіант Проєкція: «a на b» показує, яка частина \(\mathbf{a}\) лежить вздовж \(\mathbf{b}\); «b на a» міняє ролі місцями.
- Ознайомтеся з результатами: скалярною проєкцією, векторною проєкцією, перпендикулярною складовою, а також скалярним добутком, обома модулями, кутом між векторами і покроковими обчисленнями.
Що таке проєкція вектора у 3D
Геометрично проєкція вектора \(\mathbf{a}\) на вектор \(\mathbf{b}\) — це тінь, яку \(\mathbf{a}\) відкидає на пряму, що проходить через \(\mathbf{b}\), начебто світло падало перпендикулярно до цієї прямої. Результат — новий вектор, спрямований точно так само (або точно протилежно), як \(\mathbf{b}\), з довжиною, що дорівнює тому, наскільки \(\mathbf{a}\) «сягає» в цьому напрямку. Її також називають векторною складовою \(\mathbf{a}\) вздовж \(\mathbf{b}\).
Кожна проєкція розбиває вектор на дві ортогональні частини: саму проєкцію (паралельну до \(\mathbf{b}\)) і перпендикулярну складову, яку часто називають відкиданням (rejection). Ці дві частини завжди в сумі дають початковий вектор: \(\mathbf{a} = \operatorname{proj}_{\mathbf{b}} \mathbf{a} + \operatorname{perp}_{\mathbf{b}} \mathbf{a}\), а їхній скалярний добуток дорівнює нулю. Такий розклад є основою процесу Грама — Шмідта, розкладання сил на складові у фізиці та методу найменших квадратів у статистиці.
Скалярна проєкція одним числом зі знаком відповідає на питання «наскільки далеко \(\mathbf{a}\) сягає вздовж \(\mathbf{b}\)?». Вона додатна, коли кут між векторами менший за 90°, дорівнює нулю, коли вектори перпендикулярні, і від’ємна, коли кут перевищує 90° — тобто \(\mathbf{a}\) частково спрямований проти \(\mathbf{b}\). Сам кут знаходять зі скалярного добутку через \(\cos\theta = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{\lvert\mathbf{a}\rvert\,\lvert\mathbf{b}\rvert}\), тому калькулятор показує його разом із проєкцією.
Зауважте: подвоєння \(\mathbf{b}\) вдвічі зменшує коефіцієнт \(k\), тож сама векторна проєкція при цьому не змінюється. Іншими словами, проєкція залежить від прямої, що проходить через \(\mathbf{b}\), а не від конкретного вектора — це пряма пропорційність між \(k\) і \(\lvert\mathbf{b}\rvert^{-2}\). Досліджувати такі пропорційні залежності можна за допомогою калькулятора прямої пропорційності.
Припущення, обмеження та поради
- Потрібні ненульові вектори. Напрямний вектор мусить мати ненульовий модуль, адже формула ділить на \(\lvert\mathbf{b}\rvert^2\). Нульовий вектор не задає напрямку для проєкції; калькулятор підкаже, який саме вектор треба виправити.
- Знак має значення. Від’ємна скалярна проєкція — це коректний результат: вона означає, що проєкція спрямована протилежно до \(\mathbf{b}\), і векторна проєкція міститиме від’ємні множники координат \(\mathbf{b}\).
- Порядок має значення. Проєкція \(\mathbf{a}\) на \(\mathbf{b}\) і \(\mathbf{b}\) на \(\mathbf{a}\) загалом дають різні вектори (пов’язані між собою лише скалярні проєкції — через \(\lvert\mathbf{a}\rvert\) та \(\lvert\mathbf{b}\rvert\)). Напрямок перемикається у списку «Проєкція».
- Перевірка перпендикулярності. Якщо скалярний добуток дорівнює 0, вектори ортогональні: проєкція є нульовим вектором, а перпендикулярна складова збігається з початковим вектором.
- Модуль як середнє квадратичне. Модуль \(\lvert\mathbf{v}\rvert = \sqrt{v_x^2 + v_y^2 + v_z^2}\) — це середнє квадратичне трьох координат, помножене на \(\sqrt{3}\); той самий принцип усереднення застосовано в калькуляторі середнього квадратичного (RMS).
- Паралельні вектори. Якщо вектори паралельні (кут 0° або 180°), проєкція збігається з \(\mathbf{a}\) (з точністю до знака), а перпендикулярна складова є нульовим вектором.
Часті запитання
Як обчислити проєкцію 3D-вектора вручну?
Спочатку обчисліть скалярний добуток \(a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z\) і квадрат довжини \(\lvert\mathbf{b}\rvert^2 = b_x^2 + b_y^2 + b_z^2\). Поділіть скалярний добуток на \(\lvert\mathbf{b}\rvert^2\), щоб отримати коефіцієнт \(k\), а потім помножте на \(k\) кожну координату \(\mathbf{b}\). Добуток \(k\mathbf{b}\) і є векторною проєкцією. Віднімівши його від \(\mathbf{a}\), отримаєте перпендикулярну складову.
Чим скалярна проєкція відрізняється від векторної?
Скалярна проєкція — це одне число зі знаком: \((\mathbf{a}\cdot\mathbf{b})/\lvert\mathbf{b}\rvert\), тобто довжина тіні вздовж \(\mathbf{b}\) (від’ємна, якщо кут перевищує 90°). Векторна проєкція — повноцінний тривимірний вектор \(k\mathbf{b}\), спрямований вздовж \(\mathbf{b}\) і маючий саме таку довжину. Вони пов’язані співвідношенням \(\lvert\operatorname{proj}_{\mathbf{b}}\mathbf{a}\rvert = \lvert\operatorname{comp}_{\mathbf{b}}\mathbf{a}\rvert\).
Чи може проєкція бути від’ємною або нульовою?
Так. Векторна проєкція від’ємна (тобто є від’ємним кратним \(\mathbf{b}\)), коли кут між векторами більший за 90° — це означає, що \(\mathbf{a}\) частково спрямований проти \(\mathbf{b}\). Якщо вектори перпендикулярні, вона є нульовим вектором, бо тоді скалярний добуток дорівнює 0. Від’ємний результат — цілком коректний, це не помилка, тож не відкидайте знак.
Чому проєкція a на b дає інший результат, ніж b на a?
Ці дві операції відповідають на різні питання. Проєкція \(\mathbf{a}\) на \(\mathbf{b}\) вимірює, наскільки \(\mathbf{a}\) сягає вздовж прямої, на якій лежить \(\mathbf{b}\), і результат завжди лежить саме на цій прямій. Якщо поміняти ролі місцями, отримаєте вектор вздовж \(\mathbf{a}\). Проєкції збігаються, лише коли вектори паралельні (або один є кратним іншого), тож завжди перевіряйте, який напрямок ви обрали.
Що буде, якщо напрямний вектор — нульовий?
Формула ділить на \(\lvert\mathbf{b}\rvert^2\), що для нульового вектора дорівнює 0, тому проєкція не визначена — нульовий вектор не задає напрямку для проєкції. Калькулятор це помічає і пропонує ввести ненульовий напрямний вектор. Вектор, який проєктують, може бути будь-яким, але щоб визначився ще й кут, в обох векторів має бути хоча б одна ненульова координата.
Де застосовується проєкція вектора у фізиці та інших галузях?
У фізиці так розкладають сили й швидкості на складові вздовж заданої осі — наприклад, розподіляють силу тяжіння на частини, паралельні та перпендикулярні до похилої площини. У комп’ютерній графіці об’єкти проєктують на напрямки огляду, а в статистиці на цій самій математиці ґрунтується регресія методом найменших квадратів, коли дані проєктують на модель. Розкладання на паралельну та перпендикулярну частини — ключовий крок і в процесі ортогоналізації Грама — Шмідта.
Чи зміниться проєкція, якщо змінити масштаб напрямного вектора?
Ні. Множення \(\mathbf{b}\) на будь-яку ненульову сталу не змінює векторної проєкції, адже скалярний добуток і \(\lvert\mathbf{b}\rvert^2\) масштабуються разом і скорочуються. Важливий лише напрямок \(\mathbf{b}\), а не його довжина. Втім, скалярна проєкція змінить знак, якщо розвернути \(\mathbf{b}\) (помножити на від’ємну сталу), бо її знак визначається відносно орієнтації \(\mathbf{b}\).