Rechner für die 3D-Vektorprojektion

Q: Wie berechne ich eine 3D-Vektorprojektion von Hand?

Berechnen Sie zuerst das Skalarprodukt a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z und das Quadrat der Länge lvertmathbfbrvert^2 = b_x^2 + b_y^2 + b_z^2. Teilen Sie das Skalarprodukt durch lvertmathbfbrvert^2, um den Faktor k zu erhalten, und multiplizieren Sie dann jede Komponente von mathbfb mit k. Dieses Produkt kmathbfb ist die Vektorprojektion. Ziehen Sie es von mathbfa ab, um die senkrechte Komponente zu erhalten.

Q: Was ist der Unterschied zwischen skalarer Projektion und Vektorprojektion?

Die skalare Projektion ist eine einzelne Zahl mit Vorzeichen: (mathbfa·mathbfb)/lvertmathbfbrvert, also die Länge des Schattens entlang mathbfb (negativ, wenn der Winkel 90° übersteigt). Die Vektorprojektion ist ein vollwertiger 3D-Vektor kmathbfb, der in Richtung mathbfb zeigt und genau diese Länge hat. Zusammenhängen tun beide über lvertproj_mathbfbmathbfarvert = lvertcomp_mathbfbmathbfarvert.

Q: Was passiert, wenn der Richtungsvektor der Nullvektor ist?

Die Formel teilt durch lvertmathbfbrvert^2, was beim Nullvektor 0 ist — die Projektion ist also nicht definiert, denn ein Nullvektor hat keine Richtung, auf die projiziert werden könnte. Der Rechner erkennt das und bittet Sie, einen von null verschiedenen Richtungsvektor einzugeben. Der projizierte Vektor darf beliebig sein, aber damit auch der Winkel definiert ist, braucht jeder der beiden Vektoren mindestens eine Komponente ungleich null.

Q: Ändert sich die Projektion, wenn ich den Richtungsvektor strecke oder stauche?

Nein. Multipliziert man mathbfb mit einer beliebigen Konstanten ungleich null, bleibt die Vektorprojektion unverändert, weil sich Skalarprodukt und lvertmathbfbrvert^2 gemeinsam skalieren und sich gegenseitig aufheben. Es zählt nur die Richtung von mathbfb, nicht ihre Länge. Die skalare Projektion wechselt jedoch das Vorzeichen, wenn man mathbfb umkehrt (mit einer negativen Konstanten multipliziert), denn sie ist relativ zur Orientierung von mathbfb vorzeichenbehaftet.

Aktualisiert: 14 Oktober 2026

Geben Sie die Komponenten zweier 3D-Vektoren ein, und dieser Rechner projiziert den einen auf den anderen — mit skalierter Projektion, Vektorprojektion, senkrechter Komponente, Skalarprodukt, Beträgen und dem Winkel zwischen den Vektoren.

Projektion eines 3D-Vektors auf einen anderen

Formel der 3D-Vektorprojektion

Formel

\[ \operatorname{proj}_{\mathbf{b}} \mathbf{a} = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{\lvert \mathbf{b} \rvert^2}\, \mathbf{b} \]

Dabei gilt:

\(\mathbf{a} = (a_x, a_y, a_z)\) — der Vektor, der projiziert wird
\(\mathbf{b} = (b_x, b_y, b_z)\) — der Vektor, der die Richtung vorgibt
\(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z\) — das Skalarprodukt
\(\lvert \mathbf{b} \rvert = \sqrt{b_x^2 + b_y^2 + b_z^2}\) — der Betrag (die Länge) von \(\mathbf{b}\)

Die Formel drückt aus, wie viel von \(\mathbf{a}\) in Richtung von \(\mathbf{b}\) zeigt. Der Faktor \(k = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{\lvert \mathbf{b} \rvert^2}\) skaliert \(\mathbf{b}\) so, dass das Ergebnis genau der Schatten ist, den \(\mathbf{a}\) auf die Gerade durch \(\mathbf{b}\) wirft.

Aus derselben Projektion ergeben sich zwei verwandte Größen:

\[ \operatorname{comp}_{\mathbf{b}} \mathbf{a} = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{\lvert \mathbf{b} \rvert} \qquad \operatorname{perp}_{\mathbf{b}} \mathbf{a} = \mathbf{a} - \operatorname{proj}_{\mathbf{b}} \mathbf{a} \]

Die skalare Projektion (Komponente) ist die vorzeichenbehaftete Länge dieses Schattens, und die senkrechte Komponente (Rejektion) ist der Rest von \(\mathbf{a}\), der immer senkrecht auf \(\mathbf{b}\) steht.

3D-Vektorprojektion – Rechenbeispiel

Beispiel: \(\mathbf{a} = (2, 3, 1)\) wird auf \(\mathbf{b} = (1, 0, 2)\) projiziert (die voreingestellten Werte des Rechners).

\[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 2 \cdot 1 + 3 \cdot 0 + 1 \cdot 2 = 4 \]

\[ \lvert \mathbf{a} \rvert = \sqrt{2^2 + 3^2 + 1^2} = \sqrt{14} \approx 3.742, \qquad \lvert \mathbf{b} \rvert = \sqrt{1^2 + 0^2 + 2^2} = \sqrt{5} \approx 2.236 \]

\[ k = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{\lvert \mathbf{b} \rvert^2} = \frac{4}{5} = 0.8 \]

\[ \operatorname{proj}_{\mathbf{b}} \mathbf{a} = 0.8 \cdot (1, 0, 2) = (0.8,\ 0,\ 1.6) \]

\[ \operatorname{perp}_{\mathbf{b}} \mathbf{a} = (2, 3, 1) - (0.8, 0, 1.6) = (1.2,\ 3,\ -0.6) \]

Ergebnis: Die skalare Projektion beträgt \(4 / \sqrt{5} \approx 1.789\), die Vektorprojektion ist \((0.8, 0, 1.6)\), und die senkrechte Komponente ist \((1.2, 3, -0.6)\) mit einem Betrag von \(\approx 3.286\). Der Winkel zwischen den Vektoren ist \(\arccos\!\left(\tfrac{4}{\sqrt{70}}\right) \approx 61.4°\).

So benutzen Sie den Rechner

Geben Sie die x-Komponente (aₓ), y-Komponente (aᵧ) und z-Komponente (a_z) des ersten Vektors unter „Vektor a – Komponenten“ ein.
Geben Sie die drei Komponenten des zweiten Vektors unter „Vektor b – Komponenten“ ein. Fehlende Achsen tragen Sie als 0 ein.
Wählen Sie die Option Projizieren: „a auf b“ ermittelt, wie viel von \(\mathbf{a}\) in Richtung \(\mathbf{b}\) liegt; „b auf a“ tauscht die Rollen.
Lesen Sie die Ergebnisse ab: die skalare Projektion, die Vektorprojektion, die senkrechte Komponente sowie das Skalarprodukt, beide Beträge, der Winkel zwischen den Vektoren und eine ausführliche Schritt-für-Schritt-Rechnung.

Was ist eine 3D-Vektorprojektion?

Geometrisch ist die Projektion des Vektors \(\mathbf{a}\) auf den Vektor \(\mathbf{b}\) der Schatten, den \(\mathbf{a}\) auf die Gerade durch \(\mathbf{b}\) wirft, als würde Licht senkrecht auf diese Gerade fallen. Das Ergebnis ist ein neuer Vektor, der genau in dieselbe (oder genau die entgegengesetzte) Richtung wie \(\mathbf{b}\) zeigt und dessen Länge angibt, wie weit \(\mathbf{a}\) in diese Richtung reicht. Man nennt ihn auch die Vektorkomponente von \(\mathbf{a}\) in Richtung \(\mathbf{b}\).

Jede Projektion zerlegt einen Vektor in zwei senkrecht aufeinander stehende Teile: die Projektion selbst (parallel zu \(\mathbf{b}\)) und die senkrechte Komponente, oft auch Rejektion genannt. Beide Teile ergeben zusammen wieder den ursprünglichen Vektor: \(\mathbf{a} = \operatorname{proj}_{\mathbf{b}} \mathbf{a} + \operatorname{perp}_{\mathbf{b}} \mathbf{a}\), und ihr Skalarprodukt ist null. Diese Zerlegung ist die Grundlage des Gram-Schmidt-Verfahrens, der Zerlegung von Kräften in Komponenten in der Physik und der Ausgleichsrechnung nach der Methode der kleinsten Quadrate in der Statistik.

Die skalare Projektion beantwortet die Frage „Wie weit reicht \(\mathbf{a}\) in Richtung \(\mathbf{b}\)?“ mit einer einzigen Zahl samt Vorzeichen. Sie ist positiv, wenn der Winkel zwischen den Vektoren kleiner als 90° ist, null, wenn die Vektoren senkrecht aufeinander stehen, und negativ, wenn der Winkel 90° übersteigt — dann zeigt \(\mathbf{a}\) teilweise entgegen \(\mathbf{b}\). Der Winkel selbst ergibt sich über das Skalarprodukt aus \(\cos\theta = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{\lvert\mathbf{a}\rvert\,\lvert\mathbf{b}\rvert}\), weshalb der Rechner ihn zusammen mit der Projektion anzeigt.

Beachten Sie: Der Faktor \(k\) hängt zwar von der Länge von \(\mathbf{b}\) ab, nicht aber von deren Richtung — verdoppelt man \(\mathbf{b}\), halbiert sich \(k\), und die Vektorprojektion selbst bleibt unverändert. Mit anderen Worten hängt die Projektion von der Geraden durch \(\mathbf{b}\) ab, nicht vom konkreten Vektor — \(k\) ist direkt proportional zu \(\lvert\mathbf{b}\rvert^{-2}\). Solche proportionalen Zusammenhänge können Sie mit dem Rechner für direkte Proportionalität untersuchen.

Voraussetzungen, Grenzen und Tipps

Keine Nullvektoren. Der Richtungsvektor muss einen positiven Betrag haben, weil die Formel durch \(\lvert\mathbf{b}\rvert^2\) teilt. Ein Nullvektor hat keine Richtung, auf die projiziert werden könnte; der Rechner teilt Ihnen mit, welcher Vektor korrigiert werden muss.
Das Vorzeichen zählt. Eine negative skalare Projektion ist ein zulässiges Ergebnis: Sie bedeutet, dass die Projektion entgegengesetzt zu \(\mathbf{b}\) zeigt, und die Vektorprojektion enthält dann negative Vielfache der Komponenten von \(\mathbf{b}\).
Die Reihenfolge zählt. Die Projektion von \(\mathbf{a}\) auf \(\mathbf{b}\) und die von \(\mathbf{b}\) auf \(\mathbf{a}\) liefern im Allgemeinen verschiedene Vektoren (nur die skalaren Projektionen hängen über \(\lvert\mathbf{a}\rvert\) und \(\lvert\mathbf{b}\rvert\) zusammen). Über die Auswahlliste „Projizieren“ wechseln Sie die Richtung.
Senkrecht-Prüfung. Ist das Skalarprodukt 0, stehen die Vektoren senkrecht aufeinander: Die Projektion ist der Nullvektor, und die senkrechte Komponente ist der ursprüngliche Vektor.
Beträge als Effektivwerte. Der Betrag \(\lvert\mathbf{v}\rvert = \sqrt{v_x^2 + v_y^2 + v_z^2}\) ist der Effektivwert der drei Komponenten, multipliziert mit \(\sqrt{3}\); dieselbe Mittelungsidee steckt hinter dem Rechner für den quadratischen Mittelwert (RMS).
Parallele Vektoren. Sind die beiden Vektoren parallel (Winkel 0° oder 180°), ist die Projektion bis auf das Vorzeichen \(\mathbf{a}\) selbst, und die senkrechte Komponente ist der Nullvektor.

Häufig gestellte Fragen

Wie berechne ich eine 3D-Vektorprojektion von Hand?

Berechnen Sie zuerst das Skalarprodukt \(a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z\) und das Quadrat der Länge \(\lvert\mathbf{b}\rvert^2 = b_x^2 + b_y^2 + b_z^2\). Teilen Sie das Skalarprodukt durch \(\lvert\mathbf{b}\rvert^2\), um den Faktor \(k\) zu erhalten, und multiplizieren Sie dann jede Komponente von \(\mathbf{b}\) mit \(k\). Dieses Produkt \(k\mathbf{b}\) ist die Vektorprojektion. Ziehen Sie es von \(\mathbf{a}\) ab, um die senkrechte Komponente zu erhalten.

Was ist der Unterschied zwischen skalarer Projektion und Vektorprojektion?

Die skalare Projektion ist eine einzelne Zahl mit Vorzeichen: \((\mathbf{a}\cdot\mathbf{b})/\lvert\mathbf{b}\rvert\), also die Länge des Schattens entlang \(\mathbf{b}\) (negativ, wenn der Winkel 90° übersteigt). Die Vektorprojektion ist ein vollwertiger 3D-Vektor \(k\mathbf{b}\), der in Richtung \(\mathbf{b}\) zeigt und genau diese Länge hat. Zusammenhängen tun beide über \(\lvert\operatorname{proj}_{\mathbf{b}}\mathbf{a}\rvert = \lvert\operatorname{comp}_{\mathbf{b}}\mathbf{a}\rvert\).

Kann eine Projektion negativ oder null sein?

Ja. Die Vektorprojektion ist negativ (ein negatives Vielfaches von \(\mathbf{b}\)), wenn der Winkel zwischen den Vektoren größer als 90° ist — \(\mathbf{a}\) zeigt dann teilweise entgegen \(\mathbf{b}\). Sie ist der Nullvektor, wenn die Vektoren senkrecht aufeinander stehen, weil dann das Skalarprodukt 0 ist. Ein negatives Ergebnis ist zulässig und kein Fehler — werfen Sie das Vorzeichen also nicht weg.

Warum liefert die Projektion von a auf b ein anderes Ergebnis als die von b auf a?

Beide Operationen beantworten unterschiedliche Fragen. Die Projektion von \(\mathbf{a}\) auf \(\mathbf{b}\) misst, wie weit \(\mathbf{a}\) entlang der Geraden von \(\mathbf{b}\) reicht, und das Ergebnis liegt immer in Richtung \(\mathbf{b}\). Vertauscht man die Rollen, erhält man stattdessen einen Vektor in Richtung \(\mathbf{a}\). Nur wenn die Vektoren parallel sind (einer ein Vielfaches des anderen), stimmen beide Projektionen überein — prüfen Sie also immer, welche Richtung Sie gewählt haben.

Was passiert, wenn der Richtungsvektor der Nullvektor ist?

Die Formel teilt durch \(\lvert\mathbf{b}\rvert^2\), was beim Nullvektor 0 ist — die Projektion ist also nicht definiert, denn ein Nullvektor hat keine Richtung, auf die projiziert werden könnte. Der Rechner erkennt das und bittet Sie, einen von null verschiedenen Richtungsvektor einzugeben. Der projizierte Vektor darf beliebig sein, aber damit auch der Winkel definiert ist, braucht jeder der beiden Vektoren mindestens eine Komponente ungleich null.

Wozu wird die Vektorprojektion in der Physik und anderen Gebieten verwendet?

In der Physik zerlegt sie Kräfte und Geschwindigkeiten in Komponenten entlang einer gegebenen Achse, etwa wenn die Schwerkraft in Anteile parallel und senkrecht zur schiefen Ebene zerlegt wird. In der Computergrafik werden Objekte auf Sichtrichtungen projiziert, und in der Statistik steckt dieselbe Mathematik hinter der Regressionsrechnung nach der Methode der kleinsten Quadrate, bei der Daten auf ein Modell projiziert werden. Die Zerlegung in parallele und senkrechte Anteile ist zudem der zentrale Schritt im Gram-Schmidt-Orthogonalisierungsverfahren.

Ändert sich die Projektion, wenn ich den Richtungsvektor strecke oder stauche?

Nein. Multipliziert man \(\mathbf{b}\) mit einer beliebigen Konstanten ungleich null, bleibt die Vektorprojektion unverändert, weil sich Skalarprodukt und \(\lvert\mathbf{b}\rvert^2\) gemeinsam skalieren und sich gegenseitig aufheben. Es zählt nur die Richtung von \(\mathbf{b}\), nicht ihre Länge. Die skalare Projektion wechselt jedoch das Vorzeichen, wenn man \(\mathbf{b}\) umkehrt (mit einer negativen Konstanten multipliziert), denn sie ist relativ zur Orientierung von \(\mathbf{b}\) vorzeichenbehaftet.