Calculadora de producto vectorial 3D
Introduce las componentes X, Y y Z de dos vectores y obtén al instante su producto vectorial. La calculadora muestra el vector resultante, su módulo y el cálculo completo paso a paso.
Calcula el producto vectorial de dos vectores
Fórmula del producto vectorial 3D
Donde:
- \(A_x, A_y, A_z\) — componentes del primer vector \(\mathbf{A}\)
- \(B_x, B_y, B_z\) — componentes del segundo vector \(\mathbf{B}\)
- \(C_x, C_y, C_z\) — componentes del producto vectorial \(\mathbf{C}\)
- \(|\mathbf{C}|\) — módulo (longitud) del vector producto vectorial
El producto vectorial \(\mathbf{A} \times \mathbf{B}\) genera un vector nuevo perpendicular tanto a \(\mathbf{A}\) como a \(\mathbf{B}\), cuyo módulo equivale al área del paralelogramo que abarcan ambos vectores.
Producto vectorial 3D – ejemplo de cálculo
Ejemplo: calcula el producto vectorial de \(\mathbf{A} = (2, 3, 4)\) y \(\mathbf{B} = (5, 6, 7)\).
\[ C_x = A_y B_z - A_z B_y = 3 \cdot 7 - 4 \cdot 6 = 21 - 24 = -3 \]
\[ C_y = A_z B_x - A_x B_z = 4 \cdot 5 - 2 \cdot 7 = 20 - 14 = 6 \]
\[ C_z = A_x B_y - A_y B_x = 2 \cdot 6 - 3 \cdot 5 = 12 - 15 = -3 \]
\[ |\mathbf{C}| = \sqrt{(-3)^2 + 6^2 + (-3)^2} = \sqrt{54} \approx 7.348 \]
Resultado: \(\mathbf{A} \times \mathbf{B} = (-3,\ 6,\ -3)\), con un módulo \(\approx 7,348\).
Cómo usar la calculadora de producto vectorial 3D
- Introduce las tres componentes del primer vector en los campos A — componente X, A — componente Y y A — componente Z.
- Introduce las tres componentes del segundo vector en los campos B — componente X, B — componente Y y B — componente Z.
- Puedes usar valores negativos y ceros: basta con escribir el signo menos donde haga falta.
- Lee el resultado en Tu producto vectorial: las componentes X, Y y Z del vector resultante, su módulo y el desarrollo paso a paso de cada operación.
¿Qué es el producto vectorial?
El producto vectorial (también llamado producto cruz) es una operación entre dos vectores del espacio tridimensional. A diferencia del producto escalar, que devuelve un único número, el producto vectorial devuelve un vector. Su dirección es perpendicular al plano que contiene ambos vectores de entrada y se determina con la regla de la mano derecha: apunta los dedos de tu mano derecha en la dirección de \(\mathbf{A}\), curválos hacia \(\mathbf{B}\) y el pulgar señalará la dirección de \(\mathbf{A} \times \mathbf{B}\).
El orden de los vectores importa. Si los intercambias, cada componente cambia de signo: \(\mathbf{B} \times \mathbf{A} = -(\mathbf{A} \times \mathbf{B})\). Esta propiedad, llamada anticonmutatividad, significa que el producto vectorial no es conmutativo: si introduces los vectores en otro orden, obtendrás otro resultado.
El módulo del producto vectorial tiene un significado geométrico:
\[ |\mathbf{A} \times \mathbf{B}| = |\mathbf{A}|\,|\mathbf{B}| \sin\theta \]
donde \(\theta\) es el ángulo entre los dos vectores. Este valor equivale al área del paralelogramo que forman \(\mathbf{A}\) y \(\mathbf{B}\). Si el resultado es el vector nulo, los dos vectores son paralelos (o uno de ellos es el vector cero), porque \(\sin 0° = 0\). Cuanto mayor es el ángulo entre los vectores, mayor es el producto vectorial: alcanza su máximo cuando son perpendiculares.
El producto vectorial aparece por todas partes en la física y la ingeniería: el momento de una fuerza es \(\mathbf{r} \times \mathbf{F}\), la fuerza magnética interviene \(\mathbf{v} \times \mathbf{B}\) y el momento angular es \(\mathbf{r} \times \mathbf{p}\). En informática gráfica se usan productos vectoriales para calcular las normales de las superficies en la iluminación y el sombreado.
Supuestos, limitaciones y consejos prácticos
- Solo tres dimensiones. El producto vectorial solo está definido para vectores 3D (existe una versión limitada para vectores 2D, que devuelve un escalar). Esta calculadora necesita las tres componentes de cada vector.
- El orden importa. Si obtienes el signo contrario al del libro de texto, comprueba si este calculó \(\mathbf{B} \times \mathbf{A}\) en lugar de \(\mathbf{A} \times \mathbf{B}\).
- Comprobación de perpendicularidad. Una forma rápida de verificar el resultado: los productos escalares \(\mathbf{A} \cdot \mathbf{C}\) y \(\mathbf{B} \cdot \mathbf{C}\) deben ser ambos cero, ya que el producto vectorial es perpendicular a los dos vectores de entrada.
- Vectores paralelos. Si el resultado es el vector nulo \((0, 0, 0)\), los vectores de entrada son paralelos o uno de ellos es cero: es un resultado válido, no un error.
- Unidades. Las componentes deben usar unidades coherentes. Si \(\mathbf{A}\) está en metros y \(\mathbf{B}\) en newtons, el producto vectorial queda en newtons por metro (N·m), la unidad del momento de fuerza.
Si necesitas repasar la aritmética básica que hay detrás de las multiplicaciones de componentes, la calculadora de multiplicación y la calculadora de resta pueden resolver los pasos sueltos.
Preguntas frecuentes
¿Cómo se calcula un producto vectorial a mano, sin calculadora?
Usa el desarrollo por cofactores de la primera fila del determinante 3×3: multiplica y resta los pares de productos correspondientes a cada componente. Un truco para no equivocarte con la componente central: su signo es negativo en el desarrollo del determinante, y por eso en \(C_y = A_z B_x - A_x B_z\) los términos aparecen en un orden contrario al de las otras dos. Escribe cada producto de forma explícita antes de restar: la mayoría de los errores al calcular a mano son despistes de signo y de orden.
¿Cuál es la diferencia entre el producto vectorial y el producto escalar?
El producto escalar toma dos vectores y devuelve un escalar (un único número), calculado como \(\mathbf{A} \cdot \mathbf{B} = |A||B|\cos\theta\). Mide cuánto apuntan los vectores en la misma dirección. El producto vectorial devuelve un vector perpendicular a ambos, con módulo \(|A||B|\sin\theta\). Producto escalar: alineación. Producto vectorial: perpendicularidad y efectos de rotación como el momento de una fuerza.
¿Por qué mi resultado es el negativo del que da el libro?
Casi siempre porque se intercambió el orden de los vectores. El producto vectorial es anticonmutativo: \(\mathbf{B} \times \mathbf{A} = -(\mathbf{A} \times \mathbf{B})\), así que todas las componentes cambian de signo. Comprueba qué vector aparece primero en tu fuente. Si el orden coincide, revisa la componente central \(C_y\): es la que con más frecuencia se escribe con los términos en el orden equivocado.
¿Puedo usar esta calculadora con vectores 2D?
Sí: pon a 0 las componentes Z de ambos vectores. El resultado siempre apuntará según el eje Z: para \(\mathbf{A} = (A_x, A_y, 0)\) y \(\mathbf{B} = (B_x, B_y, 0)\), el producto vectorial es \((0, 0, A_x B_y - A_y B_x)\). Ese valor escalar de Z es exactamente el «producto vectorial escalar» 2D que se usa en geometría, y su valor absoluto es el área del paralelogramo que abarcan los dos vectores.
¿Cómo encuentro el ángulo entre dos vectores a partir del producto vectorial?
Calcula \(\sin\theta = |\mathbf{A} \times \mathbf{B}| / (|\mathbf{A}|\,|\mathbf{B}|)\), donde el numerador es el módulo que muestra esta calculadora y \(|\mathbf{A}|\), \(|\mathbf{B}|\) son las longitudes de los vectores de entrada. Después, \(\theta = \arcsin(\sin\theta)\). Ten en cuenta la limitación: el producto vectorial por sí solo no distingue \(\theta\) de \(180° - \theta\). Para obtener un ángulo único entre 0° y 180°, combínalo con el producto escalar o usa el método atan2.
¿Cómo se obtiene el área de un triángulo a partir del producto vectorial?
El módulo \(|\mathbf{A} \times \mathbf{B}|\) equivale al área del paralelogramo que abarcan los dos vectores. Un triángulo es exactamente la mitad de ese paralelogramo, así que el área del triángulo es \(\frac{1}{2}|\mathbf{A} \times \mathbf{B}|\). Para un triángulo de vértices \(P\), \(Q\), \(R\), toma \(\mathbf{A} = Q - P\) y \(\mathbf{B} = R - P\), y después divide entre dos el módulo que te dé esta calculadora.
¿Funciona la calculadora con decimales y fracciones?
Sí, todos los campos de entrada aceptan números decimales, incluidos los valores negativos y los ceros: escribe el signo menos directamente. Los resultados se muestran con hasta tres decimales. Si necesitas fracciones exactas, conviértelas antes a decimales (por ejemplo, \(\frac{1}{3} \approx 0.333\)); pero ten en cuenta que redondear los datos de entrada altera ligeramente el resultado exacto, así que conserva suficientes decimales para la precisión que necesites.