Calculadora de triángulo rectángulo
Resuelve un triángulo rectángulo a partir de dos medidas conocidas, al menos una de ellas un lado. Introduce longitudes de lados, un ángulo agudo, el área o el perímetro para hallar las medidas restantes.
Resuelve un triángulo rectángulo a partir de dos medidas
Fórmula del triángulo rectángulo
Donde:
- \(a\) y \(b\) — los catetos, perpendiculares entre sí y opuestos, respectivamente, a los ángulos \(\alpha\) y \(\beta\)
- \(c\) — la hipotenusa, opuesta al ángulo recto
- \(A\) — el área; \(P\) — el perímetro
- \(h\) — la altura trazada desde el vértice del ángulo recto hasta la hipotenusa
- \(r\) — el inradio; \(R\) — el circunradio
El teorema de Pitágoras y la trigonometría determinan los lados y los ángulos agudos. Una vez resuelto el triángulo, sus lados también determinan el área, el perímetro, la altura y los radios de las circunferencias inscrita y circunscrita.
Triángulo rectángulo: ejemplo de cálculo
Ejemplo: los valores predeterminados son Cateto a = 3 y Cateto b = 4. Halla las medidas restantes.
\[c=\sqrt{3^2+4^2}=5,\qquad \alpha=\arctan\!\left(\frac{3}{4}\right)\approx36.8699^\circ,\qquad \beta\approx53.1301^\circ\]
\[A=\frac{3\cdot4}{2}=6,\qquad P=3+4+5=12\]
\[h=\frac{3\cdot4}{5}=2.4,\qquad r=\frac{3\cdot4}{12}=1,\qquad R=\frac{5}{2}=2.5\]
Resultado: los lados miden 3, 4 y 5 unidades; los ángulos agudos miden aproximadamente 36,8699° y 53,1301°. El área es de 6 unidades cuadradas y el perímetro, de 12 unidades.
Cómo usar la calculadora
- Introduce dos medidas conocidas, de las cuales al menos una debe ser un lado. Los campos de los lados son Cateto a, Cateto b e Hipotenusa c. El cateto a es opuesto al ángulo α; el cateto b, al ángulo β.
- Para calcular con un lado y un ángulo, introduce un lado y el Ángulo α o el Ángulo β en grados. Como alternativa, combina un lado con el Área o el Perímetro. Introduce todas las longitudes de los lados en la misma unidad y el área en la unidad cuadrada correspondiente.
- Borra los valores predeterminados de Cateto a y Cateto b si no están entre tus medidas conocidas. Deja vacíos los campos que no quieras usar.
- Consulta Triángulo resuelto para ver los lados, los ángulos en grados y radianes, el área, el perímetro, la altura sobre la hipotenusa, el inradio y el circunradio. Revisa Medidas utilizadas para saber qué datos han determinado el resultado.
Qué información ofrece el triángulo resuelto
Un triángulo rectángulo tiene un ángulo de 90°. Sus dos catetos se encuentran formando ese ángulo, y la hipotenusa es el lado opuesto a él. Los ángulos agudos α y β suman 90°. Si se conocen dos medidas adecuadas, una de ellas al menos un lado, normalmente quedan fijadas tanto la forma del triángulo como su tamaño. Dos ángulos por sí solos fijan la forma, pero no permiten determinar las longitudes de los lados.
La hipotenusa puede hallarse a partir de los dos catetos mediante \(a^2+b^2=c^2\). Si se conocen un cateto y un ángulo agudo, las razones trigonométricas los relacionan con los demás lados. Por ejemplo, \(\tan\alpha=a/b\) y \(\sin\alpha=a/c\). Para un cálculo centrado en estas relaciones, consulta la calculadora del teorema de Pitágoras o la calculadora de trigonometría.
El área es la mitad del producto de los catetos, ya que estos actúan como base y altura perpendiculares. La altura sobre la hipotenusa que se muestra es una altura distinta: va desde el vértice del ángulo recto hasta la hipotenusa. El inradio es el radio de la circunferencia tangente a los tres lados; el circunradio, el de la circunferencia que pasa por los tres vértices. En un triángulo rectángulo, el circunradio siempre equivale a la mitad de la hipotenusa. Si solo necesitas el área a partir de otro conjunto de medidas del triángulo, usa la calculadora de área de un triángulo.
Reglas de entrada y limitaciones prácticas
Introduce medidas positivas y finitas. Cada ángulo agudo debe ser mayor que 0° y menor que 90°, y la hipotenusa debe ser más larga que cualquier cateto conocido. Un lado combinado con el área o el perímetro debe además describir un triángulo rectángulo posible; cuando no es así, la calculadora muestra un error.
La calculadora solo emplea dos de los valores introducidos. Toma los dos primeros lados disponibles en este orden: Cateto a, Cateto b, Hipotenusa c. Si solo se introduce un lado, lo combina con el primer valor disponible según este orden: Ángulo α, Ángulo β, Área, Perímetro. Los demás datos se ignoran en lugar de comprobarse, así que vacía los campos que no quieras usar y consulta Medidas utilizadas.
Una hipotenusa combinada con el área o el perímetro puede dar lugar a dos etiquetados de la misma figura: al intercambiar los catetos a y b se intercambian también los ángulos α y β. El resultado y el dibujo a escala muestran el etiquetado en el que \(a\leq b\); una nota bajo Medidas utilizadas indica cuándo también es posible el etiquetado intercambiado. El dibujo está a escala para mostrar proporciones, no para que se tomen medidas reales según su tamaño en pantalla.
Preguntas frecuentes
¿Cómo hallo el cateto que falta si conozco la hipotenusa y el otro cateto?
Resta el cuadrado del cateto conocido al cuadrado de la hipotenusa y halla la raíz cuadrada. Con una hipotenusa de 13 y un cateto de 5, el cateto que falta es \(\sqrt{13^2-5^2}=12\). Si el cateto conocido es igual de largo que la hipotenusa o más largo, esas medidas no pueden formar un triángulo rectángulo.
¿Cómo resuelvo a mano un triángulo rectángulo a partir de un lado y un ángulo?
Elige una razón trigonométrica según la posición del lado conocido respecto al ángulo. Por ejemplo, si la hipotenusa mide 10 y un ángulo agudo mide 30°, el cateto opuesto es \(10\sin 30^\circ=5\) y el cateto contiguo es \(10\cos 30^\circ\approx8.66\). Pon la calculadora en modo grados cuando uses un ángulo expresado en grados.
¿Cómo puedo comprobar si tres lados medidos forman un triángulo rectángulo?
Identifica el lado más largo y compara su cuadrado con la suma de los cuadrados de los otros dos lados. Las longitudes 6, 8 y 10 lo cumplen, porque \(6^2+8^2=10^2\). Las medidas tomadas en el mundo real pueden diferir ligeramente por redondeos o errores de medición, así que una coincidencia aproximada no demuestra que exista un ángulo recto exacto.
¿Qué tiene de especial un triángulo rectángulo de 45°, 45° y 90°?
Sus dos catetos son iguales, de modo que cada ángulo agudo mide 45° y la hipotenusa es \(\sqrt{2}\) veces la longitud de cada cateto. Con catetos de longitud 7, la hipotenusa mide \(7\sqrt{2}\approx9.90\). Además, es el triángulo rectángulo de mayor área posible para una hipotenusa fija; alargar un cateto respecto al otro reduce el área.
¿Puedo usar centímetros en un lado y metros en otro?
Convierte todas las longitudes a una misma unidad antes de calcular. Por ejemplo, 50 cm y 1 m deben introducirse como 50 cm y 100 cm, o bien como 0,5 m y 1 m. El área se expresa en el cuadrado de esa unidad: \(10{,}000\text{ cm}^2=1\text{ m}^2\). Los ángulos se introducen en grados; para convertir radianes en grados, multiplica por \(180/\pi\).
¿Por qué un triángulo con un ángulo muy pequeño puede dar un resultado inesperado?
Un ángulo agudo muy pequeño produce un triángulo muy delgado, de modo que un cateto puede resultar diminuto en comparación con el otro. En tal caso, pequeños cambios de redondeo en el ángulo o en un lado pueden alterar notablemente ese cateto tan pequeño. Usa las medidas más precisas de que dispongas y evita redondear los cálculos intermedios. Un ángulo de exactamente 0° o 90° no genera un triángulo rectángulo no degenerado.
¿Hay algún límite para el área si solo conozco la hipotenusa?
Sí. Para una hipotenusa de longitud \(c\), el área no puede superar \(c^2/4\). La igualdad se alcanza cuando los catetos son iguales. Por ejemplo, una hipotenusa de 10 admite un área de 25 unidades cuadradas como máximo. Un área positiva menor determina las longitudes de los catetos, aunque la etiqueta \(a\) puede asignarse a cualquiera de los dos.