Calculadora de la distribución exponencial

Cómo usar la calculadora

1. Abra Especificar parámetro mediante y elija si desea introducir la tasa \(\lambda\) (eventos por unidad de tiempo) o el tiempo medio de espera \(\mu\). Solo se muestra el campo correspondiente.
2. Si eligió la tasa, rellene Tasa (λ) y seleccione la unidad de tiempo en la que está expresada (por segundo, por minuto, por hora, por día, por año). Si eligió la media, rellene en su lugar Tiempo medio de espera (μ) con su unidad; la calculadora la convierte mediante \(\lambda = 1/\mu\).
3. Introduzca Tiempo (t) — el tiempo de espera que le interesa — y seleccione su unidad en «en».
4. Opcionalmente, rellene Extremo del intervalo (b) para obtener también la probabilidad \(P(t \le X \le b)\). Déjelo vacío para omitir este resultado.
5. Lea los resultados: densidad \(f(t)\), probabilidad acumulada \(P(X \le t)\), probabilidad de supervivencia \(P(X > t)\), la probabilidad en el intervalo, el tiempo medio de espera y una línea de resumen con la mediana, la espera del percentil 90 y una interpretación en lenguaje claro.

¿Qué es la distribución exponencial?

La distribución exponencial describe el tiempo de espera hasta el próximo evento en un proceso donde los eventos ocurren de forma independiente a una tasa media constante: un proceso de Poisson. Entre sus aplicaciones típicas están el tiempo entre llegadas de clientes, el tiempo hasta la desintegración de una partícula radiactiva, la vida útil de un componente electrónico o el tiempo hasta la próxima avería de un servidor.

La distribución está definida por un único parámetro, la tasa \(\lambda\). La densidad de probabilidad \(f(t) = \lambda e^{-\lambda t}\) es máxima en \(t = 0\) y decae suavemente, lo que significa que las esperas cortas son las más probables. La función acumulada \(F(t) = 1 - e^{-\lambda t}\) da la probabilidad de que la espera termine en o antes del tiempo \(t\); su complemento, la función de supervivencia \(S(t) = e^{-\lambda t}\), da la probabilidad de seguir esperando después de \(t\).

La media y la desviación típica son ambas \(1/\lambda\), pero la mediana \(\ln(2)/\lambda \approx 0.693/\lambda\) es menor. Esto le dice algo práctico: más de la mitad de todas las esperas terminan antes del promedio. Una espera larga es posible, pero cada vez más rara; por ejemplo, solo el 5 % de las esperas supera \(3/\lambda\).

Una propiedad definitoria de la distribución exponencial es la falta de memoria: \(P(X > s + t \mid X > s) = P(X > t)\). Si una bombilla tiene una vida útil distribuida exponencialmente y ya lleva encendida un año, sus probabilidades de sobrevivir otro año son exactamente las mismas que cuando era nueva. Esto convierte a la distribución en el análogo continuo de la distribución geométrica y en la compañera natural de la distribución de Poisson, que describe el número de eventos en un periodo fijo en lugar del tiempo entre ellos.

Supuestos, limitaciones y consejos

• Tasa constante. El modelo asume que los eventos ocurren a una tasa media estable en todo momento. Si la tasa varía (p. ej., llegadas en hora punta, desgaste de piezas mecánicas), la distribución exponencial subestimará o sobreestimará las probabilidades.
• Independencia. Un evento no debe influir en el momento del siguiente. La aparición de agrupaciones de eventos viola este supuesto.
• Falta de memoria. Si el proceso es verdaderamente exponencial, el tiempo de espera ya transcurrido no aporta información sobre la espera restante. Las vidas útiles reales de máquinas y personas normalmente no carecen de memoria; para esos casos, modelos de fiabilidad como la distribución de Weibull se ajustan mejor.
• Unidades. La calculadora convierte todas las unidades internamente, de modo que puede introducir la tasa por hora y el tiempo en minutos sin hacer ningún cálculo usted mismo. Un año se toma como 365 días.
• Densidad frente a probabilidad. \(f(t)\) es una densidad por unidad de tiempo, no una probabilidad: puede superar 1. Las afirmaciones de probabilidad con sentido son \(F(t)\), \(S(t)\) y la probabilidad en el intervalo.
• Si necesita modelar recuentos de eventos en lugar de tiempos de espera, use la calculadora de la distribución de Poisson; para resultados de sí/no en un número fijo de ensayos, consulte la calculadora de la distribución binomial, y para datos continuos simétricos, la calculadora de la distribución normal.