Calculadora de la distribución hipergeométrica
Calcule probabilidades hipergeométricas exactas y acumuladas para muestreo sin reemplazo. Introduzca el tamaño de la población, el número de éxitos, las extracciones y los éxitos deseados.
Calcular probabilidades hipergeométricas
Fórmula de la distribución hipergeométrica
Donde:
- \(N\) — tamaño de la población (número total de elementos)
- \(K\) — número de éxitos en la población (elementos con la propiedad deseada)
- \(n\) — número de extracciones (tamaño de la muestra, extraída sin reemplazo)
- \(k\) — número deseado de éxitos en la muestra
La fórmula da la probabilidad de encontrar exactamente \(k\) éxitos en una muestra de \(n\) elementos extraídos sin reemplazo de una población finita de \(N\) elementos que contiene \(K\) éxitos. La media y la desviación estándar son \(E(X) = nK/N\) y \(SD(X) = \sqrt{n \cdot \frac{K}{N} \cdot \left(1 - \frac{K}{N}\right) \cdot \frac{N-n}{N-1}}\).
Distribución hipergeométrica – Ejemplo de cálculo
Ejemplo: una baraja estándar tiene 52 cartas, de las cuales 13 son corazones. Robas 5 cartas y quieres la probabilidad de obtener exactamente 2 corazones. Entonces \(N = 52\), \(K = 13\), \(n = 5\), \(k = 2\).
\[ P(X = 2) = \frac{\binom{13}{2}\binom{39}{3}}{\binom{52}{5}} = \frac{78 \times 9139}{2598960} = \frac{712842}{2598960} \approx 0.2743 \]
Resultado: \(P(X = 2) \approx 0.2743\), es decir, alrededor del 27,43 % (aproximadamente 1 de cada 4). La probabilidad acumulada \(P(X \le 2)\) es de aproximadamente el 90,72 %, la media es \(E(X) = 1.25\) corazones y la desviación estándar es de aproximadamente 0,93.
Cómo usar la calculadora
- Introduce el Tamaño de la población \(N\) — el número total de elementos de los que extraes.
- Introduce los Éxitos en la población \(K\) — cuántos de esos elementos tienen la propiedad que te interesa.
- Introduce las Extracciones (tamaño de la muestra) \(n\) — cuántos elementos extraes sin reemplazo.
- Introduce los Éxitos deseados \(k\) — el número de éxitos que quieres en tu muestra.
- Lee los resultados: la probabilidad exacta \(P(X = k)\), las probabilidades acumuladas \(P(X \le k)\), \(P(X k)\) (todas en porcentaje), además de la media, la desviación estándar, la fórmula con tus valores sustituidos y una interpretación en lenguaje sencillo.
¿Qué es la distribución hipergeométrica?
La distribución hipergeométrica describe el número de éxitos que se obtienen al extraer un número fijo de elementos sin reemplazo de una población finita. Es el modelo correcto siempre que cada extracción cambia la composición de lo que queda: repartir cartas de una baraja, sacar piezas de un lote para inspección de calidad, seleccionar personas para una encuesta dentro de un grupo pequeño o extraer números de lotería.
Su pariente más cercano es la distribución binomial, que se aplica cuando los elementos se extraen con reemplazo (o de una población efectivamente infinita), de modo que cada ensayo tiene la misma probabilidad de éxito. En la distribución hipergeométrica, cada éxito que se retira reduce la tasa de éxito de las extracciones restantes, que es exactamente lo que ocurre con una baraja de cartas real o un lote finito de productos. Si la muestra es pequeña en comparación con la población (digamos, menos del 5–10 %), ambas distribuciones dan respuestas casi idénticas.
La calculadora muestra de una vez la probabilidad de cada resultado, lo que a menudo es más útil que solo el valor exacto. Por ejemplo, un inspector de calidad puede necesitar \(P(X \ge k)\) — la probabilidad de encontrar al menos un cierto número de piezas defectuosas —, mientras que un jugador de cartas puede querer \(P(X \le k)\), la probabilidad de robar como máximo unas pocas cartas clave. La media \(E(X) = nK/N\) te indica el número esperado de éxitos por muestra; es simplemente el tamaño de la muestra multiplicado por la tasa de éxito de la población.
La forma de la distribución depende de los parámetros: puede ser simétrica, sesgada hacia pocos éxitos o sesgada hacia muchos. Los valores posibles de \(X\) también están acotados: no se pueden extraer más éxitos de los que existen en la población ni más éxitos que el número de extracciones, por lo que el número de éxitos está limitado al rango \([\max(0, n-(N-K)), \; \min(n, K)]\). La calculadora devuelve automáticamente una probabilidad de cero si tu \(k\) cae fuera de este rango.
Supuestos, limitaciones y consejos
- Muestreo sin reemplazo: el modelo asume que los elementos extraídos no se devuelven a la población. Si los elementos se reemplazan después de cada extracción, usa en su lugar la calculadora de la distribución binomial.
- Tamaño de muestra fijo: el número de extracciones \(n\) debe decidirse de antemano y mantenerse fijo. Si cuentas eventos que ocurren aleatoriamente durante un intervalo fijo de tiempo o espacio, la calculadora de la distribución de Poisson es la herramienta más adecuada.
- Muestras equiprobables: cada subconjunto posible de \(n\) elementos debe tener la misma probabilidad de ser extraído. Si algunos elementos tienen más probabilidad de ser seleccionados, el modelo hipergeométrico no se aplica.
- Solo números enteros: \(N\), \(K\), \(n\) y \(k\) deben ser enteros, con \(1 \le N \le 1{,}000{,}000\), \(0 \le K \le N\), \(0 \le n \le N\) y \(0 \le k \le n\).
- Poblaciones grandes: cuando \(n\) es pequeño en relación con \(N\), la distribución hipergeométrica puede aproximarse bien por la binomial (o, para recuentos grandes, por la distribución normal), pero esta calculadora da el resultado exacto sin necesidad de aproximación.
- Comprueba los coeficientes binomiales: la fórmula sustituida usa la notación \(\binom{a}{b}\). Puedes verificar estos valores con la calculadora de permutaciones y combinaciones.
- Interpretación de la probabilidad cero: un resultado de 0 % normalmente significa que tu \(k\) es imposible; por ejemplo, pedir 3 éxitos cuando la población contiene solo 2 elementos de éxito.
Preguntas frecuentes
¿Cómo calculo una probabilidad hipergeométrica a mano?
Cuenta las formas de elegir los éxitos deseados entre los elementos de éxito \(\binom{K}{k}\), multiplica por las formas de elegir las extracciones restantes entre los elementos sin éxito \(\binom{N-K}{n-k}\) y divide entre el número total de muestras posibles \(\binom{N}{n}\). Para números pequeños, los factoriales funcionan: \(\binom{a}{b} = \frac{a!}{b!(a-b)!}\). Para números mayores, usa la calculadora para evitar errores aritméticos con factoriales enormes.
¿Cómo obtengo la probabilidad de al menos o como máximo k éxitos?
La calculadora muestra directamente las cuatro probabilidades acumuladas. Al menos k es \(P(X \ge k)\); como máximo k es \(P(X \le k)\). A mano, tendrías que sumar las probabilidades exactas de cada resultado de ese rango, p. ej. \(P(X \ge 3) = P(X=3) + P(X=4) + \dots\), lo cual se vuelve tedioso rápidamente: eso es exactamente lo que hacen por ti las salidas acumuladas.
¿Por qué obtuve una probabilidad de exactamente 0?
Un resultado de cero casi siempre significa que el número de éxitos solicitado es imposible. La muestra no puede contener más éxitos de los que existen en la población (\(k \le K\)), más éxitos que extracciones (\(k \le n\)), ni menos éxitos que los que quedan forzados en la muestra cuando casi todos los elementos restantes son éxitos. La salida de la fórmula sustituida muestra el rango válido para tus parámetros, y cualquier \(k\) fuera de él es realmente 0 %.
¿Cuál es la diferencia entre P(X = k) y P(X ≤ k)?
\(P(X = k)\) es la probabilidad de obtener exactamente ese número de éxitos; por ejemplo, exactamente 2 corazones en 5 cartas. \(P(X \le k)\) es la probabilidad de ese número o menos: 0, 1 o 2 corazones. El valor acumulado siempre es mayor. Ten cuidado con cuál pide tu problema: «como máximo 2» significa \(P(X \le 2)\), mientras que «exactamente 2» significa \(P(X = 2)\).
¿Puedo usar esta calculadora para las probabilidades de la lotería?
Sí: las loterías son un caso clásico de distribución hipergeométrica: las bolas se extraen sin reemplazo de un conjunto finito. Pon \(N\) como el número total de bolas, \(K\) como cuántas marcaste en tu boleto, \(n\) como las bolas extraídas y \(k\) como los aciertos que quieres. Por ejemplo, los juegos de «6 de 49» necesitan \(N = 49\), \(K = 6\), \(n = 6\), \(k = 6\) para las probabilidades del premio mayor.
¿Cuáles son los errores más comunes al introducir los valores?
El más común es confundir el orden: \(N\) es la población completa, \(K\) solo los elementos con la propiedad deseada y \(n\) el tamaño de la muestra, y no al revés. Otro error frecuente es usar el modelo hipergeométrico para extracciones con reemplazo, que requiere la distribución binomial en su lugar. Por último, los cuatro valores deben ser números enteros; las fracciones de elementos o extracciones no son entradas válidas.
¿Qué significa realmente la media E(X) = nK/N?
Es el número promedio de éxitos que esperarías por muestra si repitieras la extracción muchas veces: simplemente el tamaño de la muestra multiplicado por la tasa de éxito de la población. Si el 20 % de un lote de piezas está defectuoso e inspeccionas 10, la media es 2 piezas defectuosas. Ten en cuenta que las muestras individuales varían alrededor de este valor; la desviación estándar te dice cuánto, y la media a menudo no es ni un número entero ni el resultado individual más probable.