Calculadora de Distribución Binomial

Q: ¿Cómo calculo una probabilidad binomial a mano sin calculadora?

Usa la fórmula P(X = k) = binomnk p^k (1-p)^n-k . Primero calcula el coeficiente binomial, por ejemplo binom105 = (10!)/(5! · 5!) = 252 . Luego multiplica por p^k y (1-p)^n-k . Para n pequeños también puedes enumerar todos los resultados, pero los factoriales crecen extremadamente rápido, así que el cálculo manual se vuelve inviable a partir de unos n = 20 .

Q: ¿Cuál es la diferencia entre «al menos», «como máximo» y «exactamente» k éxitos?

«Exactamente» es una probabilidad única: P(X = k) . «Como máximo» significa k o menos: P(X ≤ k) . «Al menos» significa k o más: P(X ≥ k) . Un error común es confundir «al menos k» con «más de k» — el primero incluye el propio k, el segundo es P(X > k) = 1 - P(X ≤ k) . El bloque de interpretación de los resultados muestra ambas versiones.

Q: ¿Cómo convierto cuotas o probabilidades de «1 entre N» en la probabilidad p?

La calculadora espera p como porcentaje. Si tienes una cuota de «a contra b», convierte con p = a/(a+b) y multiplica por 100. Una probabilidad de «1 entre 6» (como lanzar un dado) significa p ≈ 16.67% ; «1 entre 100» significa introducir 1. Las probabilidades decimales se convierten directamente: 0,35 equivale a 35 %.

Q: ¿Qué me dice la media np y puede el resultado real alejarse mucho de ella?

La media μ = np es el número promedio esperado de éxitos a lo largo de muchas repeticiones — no una predicción para un solo experimento. Los resultados individuales suelen caer dentro de aproximadamente μ ± 2σ (un 95 % de las veces), donde σ = √(np(1-p)) . Por ejemplo, con n = 100 , p = 0.5 : cabe esperar unos 50 éxitos, normalmente entre 40 y 60.

Actualizado: 03.10.2026

Calcula probabilidades binomiales: P(X = k), la acumulada P(X ≤ k), P(X ≥ k), o un rango de éxitos. Introduce el número de ensayos, la probabilidad de éxito y k para obtener también la media, la varianza y la desviación típica.

Calcular probabilidades binomiales

Fórmula de la distribución binomial

Fórmula

\[ P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}, \qquad \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!\,(n-k)!} \\ P(X \le k) = \sum_{i=0}^{k} \binom{n}{i} p^i (1-p)^{n-i}, \qquad P(X \ge k) = 1 - P(X \le k-1) \\ \mu = np, \qquad \sigma^2 = np(1-p), \qquad \sigma = \sqrt{np(1-p)} \]

Donde:

\(n\) — número de ensayos independientes
\(p\) — probabilidad de éxito en un solo ensayo (entre 0 y 1)
\(k\) — número de éxitos de interés (\(0 \le k \le n\))
\(\binom{n}{k}\) — coeficiente binomial, el número de formas de elegir \(k\) éxitos entre \(n\) ensayos
\(\mu\), \(\sigma^2\), \(\sigma\) — media, varianza y desviación típica de la distribución

La primera fórmula da la función de masa de probabilidad (fmp): la probabilidad de obtener exactamente \(k\) éxitos en \(n\) ensayos. La segunda da la distribución acumulada (fda), la probabilidad de obtener como máximo \(k\) éxitos, calculada sumando la fmp de 0 a \(k\).

Distribución binomial – Ejemplo de cálculo

Ejemplo: se lanza una moneda equilibrada 10 veces. ¿Cuál es la probabilidad de obtener exactamente 5 caras? Aquí \(n = 10\), \(p = 0,5\), \(k = 5\).

\[ P(X = 5) = \binom{10}{5} (0.5)^5 (0.5)^{10-5} = 252 \cdot \frac{1}{1024} = 0.246094 \approx 24.61\% \]

\[ P(X \le 5) = \sum_{i=0}^{5} \binom{10}{i}(0.5)^{10} = \frac{638}{1024} = 0.623047 \approx 62.30\% \]

\[ \mu = 10 \cdot 0.5 = 5, \qquad \sigma^2 = 10 \cdot 0.5 \cdot 0.5 = 2.5, \qquad \sigma = \sqrt{2.5} \approx 1.5811 \]

Resultado: P(X = 5) = 0,246094 (24,61 %), P(X ≤ 5) = 0,623047 (62,30 %), P(X ≥ 5) = 0,623047 (62,30 %), media = 5, varianza = 2,5, desviación típica ≈ 1,5811.

Cómo usar la calculadora

Introduce el Número de ensayos (n) — un número entero entre 1 y 10.000.
Introduce la Probabilidad de éxito (p) como porcentaje entre 0 % y 100 % (p. ej., introduce 50 para una moneda equilibrada).
Elige el modo en Éxitos de interés: «Exactamente k éxitos» para un valor único, o «Entre k₁ y k₂ éxitos» para un rango.
Introduce el Número de éxitos (k). En el modo de rango, este es el límite inferior k₁.
Si seleccionaste el modo de rango, introduce también el Límite superior (k₂), que debe ser al menos k₁.
Lee los resultados: P(X = k), P(X ≤ k), P(X ≥ k) y, en el modo de rango, P(k₁ ≤ X ≤ k₂), además de la media, la varianza y la desviación típica. El bloque de interpretación también muestra probabilidades complementarias como P(X < k) y P(X > k).

¿Qué es la distribución binomial?

La distribución binomial modela el número de éxitos en un número fijo de ensayos independientes, donde cada ensayo tiene la misma probabilidad de éxito \(p\). Cada ensayo tiene exactamente dos resultados — éxito o fracaso —, por eso se llama ensayo de Bernoulli. Los ejemplos clásicos incluyen el número de caras en una serie de lanzamientos de una moneda, el número de artículos defectuosos en una muestra o el número de pacientes que responden a un tratamiento.

La media de la distribución es \(\mu = np\): en promedio se esperan \(n \cdot p\) éxitos. La dispersión se mide con la varianza \(\sigma^2 = np(1-p)\) y la desviación típica \(\sigma\). Cuando \(p = 0,5\), la distribución es simétrica respecto a \(n/2\); cuando \(p\) se acerca a 0 o a 1, se vuelve asimétrica, acumulándose cerca de 0 o de \(n\).

La calculadora distingue entre probabilidades exactas y acumuladas. La fmp responde a «¿cuál es la probabilidad de exactamente k éxitos?», mientras que la fda responde a «¿cuál es la probabilidad de como máximo k éxitos?». Los valores acumulados suelen ser más útiles en la práctica: por ejemplo, si k es un umbral de calidad, P(X ≤ k) indica la probabilidad de mantenerse dentro del límite, y 1 − P(X ≤ k) la probabilidad de superarlo. Ten en cuenta que P(X ≥ k) incluye el propio k; si necesitas estrictamente más de k, usa P(X > k) = 1 − P(X ≤ k), que se muestra en el bloque de interpretación.

Supuestos, limitaciones y consejos

Número fijo de ensayos. \(n\) debe fijarse de antemano. Si el número de ensayos es en sí mismo aleatorio, es más apropiado otro modelo (p. ej., la distribución de Poisson).
Independencia. El resultado de un ensayo no debe afectar a otro. El muestreo sin reemplazo de una población pequeña viola esta condición; usa en su lugar la distribución hipergeométrica.
Probabilidad de éxito constante. \(p\) debe ser la misma en todos los ensayos. Si cambia de un ensayo a otro, el modelo binomial deja de ser aplicable.
n grande. La calculadora usa un método de log-gamma numéricamente estable, por lo que maneja valores grandes de \(n\) (hasta 10.000) sin desbordamiento. Para probabilidades muy pequeñas, el resultado se muestra en notación científica.
Interpretación de probabilidades diminutas. Un resultado como «≈ 0 %» no significa que sea imposible — puede simplemente significar que la probabilidad es menor que aproximadamente \(10^{-8}\). Comprueba el valor decimal que se muestra junto al porcentaje.
Regla práctica para la aproximación. Para \(n\) grande con \(np\) y \(n(1-p)\) ambos mayores que aproximadamente 5, la distribución binomial se aproxima bien mediante una distribución normal con media \(np\) y desviación típica \(\sqrt{np(1-p)}\) — útil para estimaciones mentales rápidas.

Preguntas frecuentes

¿Cómo calculo una probabilidad binomial a mano sin calculadora?

Usa la fórmula \( P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} \). Primero calcula el coeficiente binomial, por ejemplo \( \binom{10}{5} = \frac{10!}{5! \cdot 5!} = 252 \). Luego multiplica por \( p^k \) y \( (1-p)^{n-k} \). Para \(n\) pequeños también puedes enumerar todos los resultados, pero los factoriales crecen extremadamente rápido, así que el cálculo manual se vuelve inviable a partir de unos \( n = 20 \).

¿Cuál es la diferencia entre «al menos», «como máximo» y «exactamente» k éxitos?

«Exactamente» es una probabilidad única: \( P(X = k) \). «Como máximo» significa \( k\) o menos: \( P(X \le k) \). «Al menos» significa \( k\) o más: \( P(X \ge k) \). Un error común es confundir «al menos \( k\)» con «más de \( k\)» — el primero incluye el propio \( k\), el segundo es \( P(X > k) = 1 - P(X \le k) \). El bloque de interpretación de los resultados muestra ambas versiones.

¿Cómo convierto cuotas o probabilidades de «1 entre N» en la probabilidad p?

La calculadora espera \( p \) como porcentaje. Si tienes una cuota de «a contra b», convierte con \( p = \frac{a}{a+b} \) y multiplica por 100. Una probabilidad de «1 entre 6» (como lanzar un dado) significa \( p \approx 16.67\% \); «1 entre 100» significa introducir 1. Las probabilidades decimales se convierten directamente: 0,35 equivale a 35 %.

¿Cómo hallo la probabilidad de un rango, por ejemplo entre 3 y 7 éxitos?

Selecciona el modo «Entre k₁ y k₂ éxitos», introduce 3 como número de éxitos y 7 como límite superior. La calculadora computa \( P(k_1 \le X \le k_2) \) sumando las probabilidades individuales. A mano, el mismo resultado se obtiene con \( P(X \le k_2) - P(X \le k_1 - 1) \). Ambos límites están incluidos, así que el rango 3–7 cubre 3, 4, 5, 6 y 7 éxitos.

¿Cuándo debo usar la distribución binomial en lugar de Poisson, normal o hipergeométrica?

Usa la binomial cuando el número de ensayos es fijo y los resultados son independientes con una \( p\) constante. Usa la distribución hipergeométrica cuando se muestrea sin reemplazo de una población pequeña (p. ej., sacar cartas). Usa Poisson cuando se cuentan eventos en un intervalo fijo en lugar de un número fijo de ensayos. La distribución normal es una aproximación, precisa cuando \( np \) y \( n(1-p) \) superan ambos 5.

¿Qué me dice la media np y puede el resultado real alejarse mucho de ella?

La media \( \mu = np \) es el número promedio esperado de éxitos a lo largo de muchas repeticiones — no una predicción para un solo experimento. Los resultados individuales suelen caer dentro de aproximadamente \( \mu \pm 2\sigma \) (un 95 % de las veces), donde \( \sigma = \sqrt{np(1-p)} \). Por ejemplo, con \( n = 100 \), \( p = 0.5 \): cabe esperar unos 50 éxitos, normalmente entre 40 y 60.

¿Por qué mi resultado aparece como «≈ 0 %» — es realmente imposible el suceso?

No, no es imposible. «≈ 0 %» solo significa que la probabilidad es menor que aproximadamente \( 10^{-8}\). Comprueba el valor decimal que se muestra junto al porcentaje — las probabilidades muy pequeñas aparecen en notación científica, como \( 2.5 \times 10^{-12} \). Con \(n\) grandes, los valores alejados de la media \( np \) pueden ser astronómicamente improbables y, aun así, seguir siendo matemáticamente posibles.