Calculadora de longitud de arco
Introduce el radio y el ángulo central de una circunferencia (en grados, radianes o gradianes) y esta calculadora te devuelve al instante la longitud del arco mediante s = rθ, con el cálculo completo a la vista.
Longitud del arco a partir del radio y el ángulo central
Fórmula de la longitud de arco
Donde:
- \(s\) — longitud del arco (en la misma unidad que el radio)
- \(r\) — radio de la circunferencia
- \(\theta\) — ángulo central en radianes (el ángulo entre los dos radios que delimitan el arco)
La fórmula indica que la longitud de un arco es directamente proporcional tanto al radio como al ángulo: si duplicas cualquiera de los dos, la longitud del arco se duplica. Si el ángulo viene dado en grados o gradianes, hay que convertirlo primero a radianes, porque \(1\) radián se define como el ángulo que subtiende un arco de la misma longitud que el radio.
Longitud de arco: ejemplo de cálculo
Ejemplo: una circunferencia tiene un radio de 5 m y quieres saber la longitud del arco que delimita un ángulo central de 60°.
\[ \theta = 60 \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{\pi}{3} \approx 1.0472 \text{ rad} \]
\[ s = r \cdot \theta = 5 \times 1.0472 = 5.236 \text{ m} \]
Resultado: la longitud del arco es aproximadamente 5,236 m (exactamente \(\frac{5\pi}{3}\) m, cerca del 17,5 % de la circunferencia completa \(2\pi r \approx 31.416\) m).
Cómo usar la calculadora de longitud de arco
- Introduce el Radio (r) — la distancia del centro de la circunferencia al arco — y elige su unidad (m, cm, mm, in o ft).
- Introduce el Ángulo central (θ) entre los dos radios que delimitan el arco y elige su unidad:
deg,radograd. - Lee la Longitud del arco en el panel de resultados, expresada en la misma unidad que el radio.
- Consulta la línea de Cálculo para ver la conversión del ángulo a radianes y la multiplicación \(s = r\theta\) resuelta paso a paso.
¿Qué es la longitud de arco?
Un arco es una porción de la circunferencia comprendida entre dos puntos. La longitud de arco es la distancia que recorrerías si caminaras por la circunferencia de un extremo del arco al otro; no la distancia en línea recta entre ambos puntos (eso sería una cuerda).
El tamaño de un arco queda determinado solo por dos magnitudes: el radio de la circunferencia y el ángulo central que lo subtiende. El ángulo central es el que se forma en el centro de la circunferencia al trazar los dos radios hasta los extremos del arco. Como una vuelta completa corresponde a \(2\pi\) radianes, un arco que recorre toda la circunferencia mide \(2\pi r\) — la conocida fórmula de la longitud de la circunferencia — y cualquier ángulo menor se lleva la parte proporcional correspondiente.
Por eso el ángulo debe estar en radianes para que funcione \(s = r\theta\). Un radián es, por definición, el ángulo cuyo arco mide lo mismo que el radio, de modo que \(\theta\) radianes significa literalmente «\(\theta\) longitudes de radio a lo largo de la curva». Expresado en grados, la misma relación exige un factor adicional de \(\pi/180\), algo que esta calculadora gestiona automáticamente: introduce el ángulo en cualquiera de las tres unidades admitidas y ella hace la conversión por ti.
La longitud de arco aparece en cualquier situación en la que se mide una curva: la distancia recorrida en una pista circular, la longitud de un tubo doblado o de una chapa curvada, el cable enrollado en un carrete o el recorrido de la punta de una aguja de reloj durante un tiempo dado. También es la base del movimiento curvilíneo en física y de las integrales de línea en el cálculo.
Ángulos centrales habituales y sus arcos
| Ángulo central | Fracción de la circunferencia | Longitud del arco |
|---|---|---|
| 30° | 1/12 | \(\frac{\pi r}{6} \approx 0.524\,r\) |
| 45° | 1/8 | \(\frac{\pi r}{4} \approx 0.785\,r\) |
| 60° | 1/6 | \(\frac{\pi r}{3} \approx 1.047\,r\) |
| 90° | 1/4 | \(\frac{\pi r}{2} \approx 1.571\,r\) |
| 180° | 1/2 | \(\pi r \approx 3.142\,r\) |
| 360° | 1 | \(2\pi r \approx 6.283\,r\) |
Ten en cuenta que, para ángulos de hasta 90°, el arco es solo algo más largo que el radio: la geometría de los radianes mantiene estos números muy intuitivos.
Supuestos, limitaciones y consejos
- Solo circunferencias. La fórmula \(s = r\theta\) se aplica a arcos circulares. Para elipses o curvas arbitrarias, la longitud del arco debe calcularse con el cálculo diferencial e integral (integración), no con esta herramienta.
- Ángulos mayores que una vuelta completa. Si introduces más de 360° (o \(2\pi\) rad), la calculadora devuelve igualmente \(r\theta\); el arco simplemente da más de una vuelta a la circunferencia, y el panel de cálculo te lo avisa.
- Misma unidad de entrada y de salida. El resultado se expresa siempre en la unidad que elegiste para el radio. Si necesitas la respuesta en otra unidad, haz la conversión antes.
- Sector frente a arco. Esta herramienta mide únicamente el borde curvo. Si necesitas el área de la porción de «tarta» delimitada por el arco y los dos radios, usa la fórmula del área del sector \(A = \tfrac{1}{2}r^2\theta\).
- Ángulos negativos. Un ángulo negativo se interpreta como una orientación (sentido horario) y la longitud del arco sale negativa; si solo te interesa la magnitud, introduce el valor absoluto.
Conceptos relacionados
La longitud de arco es un ejemplo clásico de variación directa: \(s\) varía directamente tanto con \(r\) como con \(\theta\), de modo que la relación forma una proporción lineal. Al hacer a mano la multiplicación final \(r \times \theta_{\text{rad}}\), puedes comprobarla con la calculadora de multiplicaciones, y el paso de conversión de grados a radianes es una simple división entre \(180/\pi\).
Preguntas frecuentes
¿Cómo se calcula la longitud de un arco a mano, sin calculadora?
Multiplica el radio por el ángulo en radianes: \( s = r\theta \). Si el ángulo está en grados, conviértelo primero con \( \theta_{\text{rad}} = \theta_{\text{deg}} \cdot \frac{\pi}{180} \). Por ejemplo, con \( r = 10 \) cm y \( \theta = 45° \): \( 45 \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{\pi}{4} \approx 0.7854 \) rad, así que \( s = 10 \times 0.7854 = 7.854 \) cm. Usar \( \pi \approx 3.1416 \) da suficiente precisión para la mayoría de los cálculos a mano.
¿Cuál es la diferencia entre un arco y una cuerda?
Un arco es la distancia curva a lo largo de la circunferencia entre dos puntos, mientras que una cuerda es la distancia en línea recta entre ellos. Para un ángulo central \( \theta \), la longitud de la cuerda es \( c = 2r\sin(\theta/2) \), siempre menor que el arco \( s = r\theta \). Para ángulos pequeños son casi iguales; con radio 1 y un ángulo de 90°, el arco mide 1,571 y la cuerda solo 1,414. Esta calculadora devuelve el arco, no la cuerda.
¿Puedo hallar el radio o el ángulo si ya conozco la longitud del arco?
Sí, basta con despejar \( s = r\theta \). El radio es \( r = s / \theta \) y el ángulo en radianes es \( \theta = s / r \). Para obtener el ángulo en grados, multiplica el resultado en radianes por \( 180/\pi \). Por ejemplo, si \( s = 12 \) cm y \( r = 9 \) cm, entonces \( \theta = 12/9 \approx 1.333 \) rad \( \approx 76.4° \).
¿Cuál es la longitud del arco de una semicircunferencia o de un cuarto de circunferencia?
Una semicircunferencia (180°) tiene una longitud de arco de \( \pi r \), exactamente la mitad de la circunferencia \( 2\pi r \). Un cuarto de circunferencia (90°) mide \( \frac{\pi r}{2} \). Así, una semicircunferencia de radio 4 m mide \( 4\pi \approx 12.566 \) m, y un cuarto con el mismo radio, unos 6,283 m. Estas fracciones salen directamente de la proporción \( s = \frac{\theta}{360} \cdot 2\pi r \) cuando \( \theta \) está en grados.
¿Puedo introducir el diámetro en lugar del radio?
No directamente: la fórmula \( s = r\theta \) necesita el radio. Si conoces el diámetro \( d \), divídelo antes entre dos: \( r = d/2 \), y luego calcula \( s = \frac{d}{2}\theta \). Por ejemplo, un diámetro de 20 cm con un ángulo de 30° da \( r = 10 \) cm y \( s = 10 \cdot \frac{\pi}{6} \approx 5.236 \) cm. Olvidar dividir el diámetro entre dos es uno de los errores más comunes y duplica el resultado correcto.
¿Por qué me sale mal el resultado si introduzco el ángulo en grados?
La fórmula \( s = r\theta \) solo funciona cuando \( \theta \) está en radianes. Si multiplicas el radio directamente por un valor en grados, el resultado queda demasiado pequeño: usar 60 grados en lugar de \( \pi/3 \approx 1.047 \) radianes subestima el arco por un factor de unos 57. Comprueba siempre que el selector de unidad del ángulo coincide con lo que has introducido. Si calculas a mano, convierte los grados con \( \theta \cdot \pi/180 \) antes de multiplicar.
¿Cómo se convierten los gradianes a radianes?
Una vuelta completa equivale a 400 gradianes, de modo que un gradián son \( \frac{\pi}{200} \) radianes y la conversión es \( \theta_{\text{rad}} = \theta_{\text{grad}} \cdot \frac{\pi}{200} \). Por ejemplo, 100 grad (un ángulo recto) equivalen a \( \pi/2 \approx 1.5708 \) rad, lo que da un arco de \( \frac{\pi r}{2} \). Los gradianes (o grados centesimales) se usan sobre todo en topografía y en algunas prácticas de ingeniería europeas; la mayoría de los problemas cotidianos usan grados o radianes.