Калькулятор длины дуги
Введите радиус и центральный угол окружности (в градусах, радианах или градах) — калькулятор мгновенно вычислит длину дуги по формуле s = rθ и покажет все этапы расчёта.
Длина дуги по радиусу и центральному углу
Формула длины дуги
Где:
- \(s\) — длина дуги (в тех же единицах, что и радиус)
- \(r\) — радиус окружности
- \(\theta\) — центральный угол в радианах (угол между двумя радиусами, которые отсекают дугу)
Формула показывает, что длина дуги прямо пропорциональна и радиусу, и углу: увеличьте любой из них вдвое — и дуга станет вдвое длиннее. Если угол задан в градусах или градах, его сначала нужно перевести в радианы: один радиан по определению — это угол, которому соответствует дуга, равная по длине радиусу.
Длина дуги — пример расчёта
Пример: радиус окружности равен 5 м, и нужно найти длину дуги, которую отсекает центральный угол 60°.
\[ \theta = 60 \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{\pi}{3} \approx 1{,}0472 \text{ рад} \]
\[ s = r \cdot \theta = 5 \times 1{,}0472 = 5{,}236 \text{ м} \]
Результат: длина дуги составляет примерно 5,236 м (точно \(\frac{5\pi}{3}\) м — это около 17,5% полной длины окружности \(2\pi r \approx 31{,}416\) м).
Как пользоваться калькулятором длины дуги
- Введите Радиус (r) — расстояние от центра окружности до дуги — и выберите его единицу (м, см, мм, дюймы или футы).
- Введите Центральный угол (θ) между двумя радиусами, отсекающими дугу, и выберите единицу измерения:
deg(градусы),rad(радианы) илиgrad(грады). - Прочитайте Длину дуги в панели результатов — она выражается в тех же единицах, что и радиус.
- В строке Расчёт видно, как угол переводится в радианы и как выполняется умножение \(s = r\theta\) шаг за шагом.
Что такое длина дуги?
Дуга — это часть окружности между двумя точками. Длина дуги — это расстояние, которое вы прошли бы, двигаясь по окружности от одного конца дуги до другого, а не прямое расстояние между этими точками (прямая между концами дуги — это хорда).
Размер дуги определяется всего двумя величинами: радиусом окружности и центральным углом, на который она опирается. Центральный угол — это угол при центре окружности между двумя радиусами, проведёнными к концам дуги. Поскольку полная окружность соответствует \(2\pi\) радиан, дуга, охватывающая весь круг, имеет длину \(2\pi r\) — знакомая формула длины окружности, а любой меньший угол забирает из неё соответствующую долю.
Именно поэтому для формулы \(s = r\theta\) угол должен быть выражен в радианах. Радиан — это в точности такой угол, при котором длина дуги равна радиусу, поэтому \(\theta\) радиан буквально означает «\(\theta\) радиусов, уложенных по кривой». В градусах та же зависимость потребовала бы дополнительного множителя \(\pi/180\) — калькулятор учитывает его автоматически: вводите угол в любой из трёх поддерживаемых единиц, и пересчёт выполнится за вас.
Длина дуги встречается везде, где измеряют кривые: путь, пройденный по круговой дорожке, длина согнутой трубы или загиба листового металла, кабель, намотанный на катушку, или путь, который проходит конец стрелки часов за заданное время. Она же лежит в основе криволинейного движения в физике и криволинейных интегралов в математическом анализе.
Распространённые центральные углы и их дуги
| Центральный угол | Доля окружности | Длина дуги |
|---|---|---|
| 30° | 1/12 | \(\frac{\pi r}{6} \approx 0{,}524\,r\) |
| 45° | 1/8 | \(\frac{\pi r}{4} \approx 0{,}785\,r\) |
| 60° | 1/6 | \(\frac{\pi r}{3} \approx 1{,}047\,r\) |
| 90° | 1/4 | \(\frac{\pi r}{2} \approx 1{,}571\,r\) |
| 180° | 1/2 | \(\pi r \approx 3{,}142\,r\) |
| 360° | 1 | \(2\pi r \approx 6{,}283\,r\) |
Обратите внимание: при углах до 90° дуга лишь ненамного длиннее радиуса — благодаря геометрии радиан эти числа легко оценить на глаз.
Допущения, ограничения и полезные советы
- Только окружность. Формула \(s = r\theta\) применима к дугам окружности. Для эллипсов и произвольных кривых длину дуги находят методами математического анализа (интегрированием), а не этим калькулятором.
- Углы больше полного оборота. Если ввести больше 360° (или \(2\pi\) рад), калькулятор всё равно вернёт \(r\theta\) — дуга просто намотается на окружность больше одного раза; панель расчёта предупредит вас об этом.
- Единицы на входе и выходе совпадают. Результат всегда выражается в той единице, которую вы выбрали для радиуса. Если нужен ответ в других единицах, переведите его заранее.
- Сектор и дуга — не одно и то же. Этот калькулятор измеряет только кривую. Если нужна площадь «куска пирога», ограниченного дугой и двумя радиусами, воспользуйтесь формулой площади сектора \(A = \tfrac{1}{2}r^2\theta\).
- Отрицательные углы. Отрицательный угол трактуется как направление обхода (по часовой стрелке), и длина дуги получается отрицательной; если важна только величина, введите модуль значения.
Связанные понятия
Длина дуги — классический пример прямой пропорциональности: \(s\) прямо пропорциональна и \(r\), и \(\theta\), поэтому зависимость задаётся прямолинейной пропорцией. Финальное умножение \(r \times \theta_{\text{рад}}\), если вы считаете вручную, можно проверить с помощью калькулятора умножения, а перевод градусов в радианы — это обычное деление на \(180/\pi\).
Часто задаваемые вопросы
Как вычислить длину дуги вручную, без калькулятора?
Умножьте радиус на угол в радианах: \( s = r\theta \). Если угол задан в градусах, сначала переведите его по формуле \( \theta_{\text{рад}} = \theta_{\text{град}} \cdot \frac{\pi}{180} \). Например, при \( r = 10 \) см и \( \theta = 45° \): \( 45 \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{\pi}{4} \approx 0{,}7854 \) рад, значит \( s = 10 \times 0{,}7854 = 7{,}854 \) см. Для ручных расчётов обычно достаточно \( \pi \approx 3{,}1416 \).
Чем дуга отличается от хорды?
Дуга — это расстояние по кривой между двумя точками окружности, а хорда — прямое расстояние между ними. Для центрального угла \( \theta \) длина хорды равна \( c = 2r\sin(\theta/2) \) и всегда меньше длины дуги \( s = r\theta \). При малых углах они почти совпадают; при 90° и радиусе 1 дуга равна 1,571, а хорда — всего 1,414. Этот калькулятор вычисляет именно дугу, а не хорду.
Можно ли найти радиус или угол, если длина дуги уже известна?
Да, просто преобразуйте формулу \( s = r\theta \). Радиус равен \( r = s / \theta \), а угол в радианах — \( \theta = s / r \). Чтобы получить угол в градусах, умножьте результат в радианах на \( 180/\pi \). Например, если \( s = 12 \) см и \( r = 9 \) см, то \( \theta = 12/9 \approx 1{,}333 \) рад \( \approx 76{,}4° \).
Чему равна длина дуги полукруга или четверти круга?
У полукруга (180°) длина дуги равна \( \pi r \) — ровно половина длины окружности \( 2\pi r \). У четверти круга (90°) длина дуги равна \( \frac{\pi r}{2} \). Так, полукруг с радиусом 4 м имеет длину \( 4\pi \approx 12{,}566 \) м, а четверть круга с тем же радиусом — примерно 6,283 м. Эти доли напрямую следуют из пропорции \( s = \frac{\theta}{360} \cdot 2\pi r \), когда \( \theta \) выражен в градусах.
Можно ли ввести диаметр вместо радиуса?
Напрямую — нет: формуле \( s = r\theta \) нужен именно радиус. Если известен диаметр \( d \), сначала разделите его пополам: \( r = d/2 \), затем вычислите \( s = \frac{d}{2}\theta \). Например, при диаметре 20 см и угле 30° получаем \( r = 10 \) см и \( s = 10 \cdot \frac{\pi}{6} \approx 5{,}236 \) см. Забыть поделить диаметр пополам — одна из самых частых ошибок: результат получается вдвое больше истинного.
Почему ответ неверный, если ввести угол в градусах?
Формула \( s = r\theta \) работает, только если \( \theta \) выражен в радианах. Если умножить радиус на значение в градусах, результат получится катастрофически маленьким: 60 градусов вместо \( \pi/3 \approx 1{,}047 \) радиана занижает длину дуги примерно в 57 раз. Всегда проверяйте, что переключатель единиц угла соответствует введённому значению. При ручном счёте сначала переведите градусы по формуле \( \theta \cdot \pi/180 \) и только потом умножайте.
Как перевести грады в радианы?
Полный оборот равен 400 градам, поэтому один град равен \( \frac{\pi}{200} \) радиан, а перевод выполняется по формуле \( \theta_{\text{рад}} = \theta_{\text{град}} \cdot \frac{\pi}{200} \). Например, 100 град (прямой угол) — это \( \pi/2 \approx 1{,}5708 \) рад, чему соответствует дуга \( \frac{\pi r}{2} \). Грады используются в основном в геодезии и некоторых европейских инженерных традициях; в повседневных задачах чаще встречаются градусы и радианы.