Kalkulator długości łuku
Wpisz promień i kąt środkowy okręgu (w stopniach, radianach lub gradach), a kalkulator natychmiast zwróci długość łuku według wzoru s = r θ wraz z pełnym zapisem obliczeń.
Długość łuku na podstawie promienia i kąta środkowego
Wzór na długość łuku
gdzie:
- \(s\) — długość łuku (w tej samej jednostce co promień)
- \(r\) — promień okręgu
- \(\theta\) — kąt środkowy w radianach (kąt między dwoma promieniami wyznaczającymi łuk)
Wzór mówi, że długość łuku jest wprost proporcjonalna zarówno do promienia, jak i do kąta — podwojenie którejkolwiek z tych wartości podwaja długość łuku. Jeśli kąt masz podany w stopniach lub gradach, trzeba go najpierw przeliczyć na radiany, ponieważ \(1\) radian definiuje się jako kąt, któremu odpowiada łuk o długości równej promieniowi.
Długość łuku – przykład obliczenia
Przykład: promień okręgu wynosi 5 m, a szukasz długości łuku wyznaczonego przez kąt środkowy 60°.
\[ \theta = 60 \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{\pi}{3} \approx 1.0472 \text{ rad} \]
\[ s = r \cdot \theta = 5 \times 1.0472 = 5.236 \text{ m} \]
Wynik: długość łuku wynosi około 5,236 m (dokładnie \(\frac{5\pi}{3}\) m, czyli około 17,5% całego obwodu \(2\pi r \approx 31.416\) m).
Jak korzystać z kalkulatora długości łuku
- Wpisz Promień (r) — odległość od środka okręgu do łuku — i wybierz jego jednostkę (m, cm, mm, cal lub stopę).
- Wpisz Kąt środkowy (θ) między dwoma promieniami wyznaczającymi łuk i wybierz jego jednostkę:
deg,radlubgrad. - Odczytaj Długość łuku w panelu wyników — jest podana w tej samej jednostce co promień.
- Zajrzyj do wiersza Obliczenie, aby zobaczyć przeliczenie kąta na radiany i mnożenie \(s = r\theta\) wykonane krok po kroku.
Czym jest długość łuku?
Łuk to część okręgu między dwoma punktami. Długość łuku to droga, którą byś przebył, idąc po okręgu od jednego końca łuku do drugiego — a nie odległość w linii prostej między tymi punktami (to byłaby cięciwa).
O rozmiarze łuku decydują tylko dwie wielkości: promień okręgu i wyznaczający go kąt środkowy. Kąt środkowy to kąt o wierzchołku w środku okręgu, utworzony przez dwa promienie poprowadzone do końców łuku. Ponieważ pełny okrąg odpowiada \(2\pi\) radianom, łuk obejmujący cały okrąg ma długość \(2\pi r\) — to znany wzór na obwód okręgu — a każdy mniejszy kąt odpowiada proporcjonalnej części tej wartości.
Właśnie dlatego we wzorze \(s = r\theta\) kąt musi być wyrażony w radianach. Radian to dokładnie taki kąt, którego łuk ma długość równą promieniowi, więc \(\theta\) radianów znaczy dosłownie „\(\theta\) długości promienia po krzywej”. W stopniach ta sama zależność wymaga dodatkowego czynnika \(\pi/180\), którym kalkulator zajmuje się automatycznie: wpisz kąt w dowolnej z trzech obsługiwanych jednostek, a przeliczenie wykona się samo.
Długość łuku pojawia się wszędzie tam, gdzie mierzy się zakrzywione drogi: droga przebyta na okrągłym torze, długość zgiętej rury lub wygiętej blachy, kabel nawinięty na szpulę czy droga końca wskazówki zegara w danym czasie. To również podstawa ruchu krzywoliniowego w fizyce i całek krzywoliniowych w rachunku różniczkowym.
Najczęstsze kąty środkowe i ich łuki
| Kąt środkowy | Ułamek okręgu | Długość łuku |
|---|---|---|
| 30° | 1/12 | \(\frac{\pi r}{6} \approx 0.524\,r\) |
| 45° | 1/8 | \(\frac{\pi r}{4} \approx 0.785\,r\) |
| 60° | 1/6 | \(\frac{\pi r}{3} \approx 1.047\,r\) |
| 90° | 1/4 | \(\frac{\pi r}{2} \approx 1.571\,r\) |
| 180° | 1/2 | \(\pi r \approx 3.142\,r\) |
| 360° | 1 | \(2\pi r \approx 6.283\,r\) |
Zauważ, że przy kątach do 90° łuk jest tylko nieznacznie dłuższy od promienia — geometria radianów sprawia, że te liczby pozostają bardzo intuicyjne.
Założenia, ograniczenia i wskazówki
- Tylko okrąg. Wzór \(s = r\theta\) dotyczy łuków okręgu. Dla elips i dowolnych krzywych długość łuku trzeba wyznaczyć metodami rachunku różniczkowego (przez całkowanie), nie tym narzędziem.
- Kąty większe niż pełny obrót. Jeśli wpiszesz więcej niż 360° (albo \(2\pi\) rad), kalkulator nadal zwróci \(r\theta\); łuk po prostu okrąża okrąg więcej niż raz — panel obliczeń zaznaczy ci tę sytuację.
- Ta sama jednostka na wejściu i wyjściu. Wynik zawsze jest podawany w jednostce, którą wybrałeś dla promienia. Jeśli potrzebujesz odpowiedzi w innej jednostce, przelicz ją wcześniej.
- Wycinek koła a łuk. To narzędzie mierzy tylko zakrzywioną krawędź. Jeśli potrzebujesz pola wycinka koła ograniczonego łukiem i dwoma promieniami, użyj wzoru \(A = \tfrac{1}{2}r^2\theta\).
- Kąty ujemne. Kąt ujemny traktowany jest jako kierunek (zgodny z ruchem wskazówek zegara), a długość łuku wychodzi ujemna; jeśli interesuje cię tylko wartość liczbową, wpisz wartość bezwzględną.
Pojęcia pokrewne
Długość łuku to klasyczny przykład proporcjonalności prostej: \(s\) jest wprost proporcjonalne zarówno do \(r\), jak i do \(\theta\), więc zależność daje prostą proporcję. Końcowe mnożenie \(r \times \theta_{\text{rad}}\) wykonane ręcznie możesz sprawdzić kalkulatorem mnożenia, a przeliczenie stopni na radiany to zwykłe dzielenie przez \(180/\pi\).
Najczęściej zadawane pytania
Jak obliczyć długość łuku ręcznie, bez kalkulatora?
Pomnóż promień przez kąt w radianach: \( s = r\theta \). Jeśli kąt masz podany w stopniach, najpierw przelicz go wzorem \( \theta_{\text{rad}} = \theta_{\text{deg}} \cdot \frac{\pi}{180} \). Na przykład dla \( r = 10 \) cm i \( \theta = 45° \): \( 45 \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{\pi}{4} \approx 0.7854 \) rad, więc \( s = 10 \times 0.7854 = 7.854 \) cm. Przybliżenie \( \pi \approx 3.1416 \) wystarcza do większości ręcznych obliczeń.
Czym różni się łuk od cięciwy?
Łuk to zakrzywiona droga wzdłuż okręgu między dwoma punktami, a cięciwa to odległość między nimi w linii prostej. Dla kąta środkowego \( \theta \) długość cięciwy wynosi \( c = 2r\sin(\theta/2) \) i jest zawsze mniejsza od łuku \( s = r\theta \). Przy małych kątach obie wartości są niemal równe; przy kącie 90° i promieniu 1 łuk ma długość 1,571, a cięciwa tylko 1,414. Ten kalkulator zwraca łuk, nie cięciwę.
Czy mogę obliczyć promień albo kąt, jeśli znam już długość łuku?
Tak, wystarczy przekształcić \( s = r\theta \). Promień to \( r = s / \theta \), a kąt w radianach to \( \theta = s / r \). Aby otrzymać kąt w stopniach, pomnóż wynik w radianach przez \( 180/\pi \). Na przykład jeśli \( s = 12 \) cm i \( r = 9 \) cm, to \( \theta = 12/9 \approx 1.333 \) rad \( \approx 76.4° \).
Jaka jest długość łuku półkola albo ćwiartki koła?
Półkole (180°) ma długość łuku \( \pi r \), czyli dokładnie połowę obwodu \( 2\pi r \). Ćwiartka koła (90°) ma długość łuku \( \frac{\pi r}{2} \). Półkole o promieniu 4 m ma więc długość \( 4\pi \approx 12.566 \) m, a ćwiartka koła o tym samym promieniu — około 6,283 m. Te ułamki wynikają wprost z proporcji \( s = \frac{\theta}{360} \cdot 2\pi r \), gdy \( \theta \) wyrażone jest w stopniach.
Czy mogę wpisać średnicę zamiast promienia?
Nie bezpośrednio — wzór \( s = r\theta \) wymaga promienia. Jeśli znasz średnicę \( d \), najpierw podziel ją na pół: \( r = d/2 \), a potem oblicz \( s = \frac{d}{2}\theta \). Na przykład średnica 20 cm przy kącie 30° daje \( r = 10 \) cm oraz \( s = 10 \cdot \frac{\pi}{6} \approx 5.236 \) cm. Zapominanie o podzieleniu średnicy na pół to jeden z najczęstszych błędów — podwaja on rzeczywisty wynik.
Dlaczego wynik jest błędny, gdy wpisuję kąt w stopniach?
Wzór \( s = r\theta \) działa tylko wtedy, gdy \( \theta \) jest w radianach. Jeśli pomnożysz promień bezpośrednio przez wartość w stopniach, wynik będzie znacznie za duży: 60 stopni zamiast \( \pi/3 \approx 1.047 \) radiana zawyża długość łuku około 57 razy. Zawsze sprawdź, czy wybrana jednostka kąta zgadza się z tym, co wpisujesz. Przy obliczeniach ręcznych przelicz stopnie wzorem \( \theta \cdot \pi/180 \) przed mnożeniem.
Jak przelicza się grady na radiany?
Pełny obrót to 400 gradów, więc jeden grad to \( \frac{\pi}{200} \) radiana, a przeliczenie wygląda tak: \( \theta_{\text{rad}} = \theta_{\text{grad}} \cdot \frac{\pi}{200} \). Na przykład 100 gradów (kąt prosty) to \( \pi/2 \approx 1.5708 \) rad, co daje łuk \( \frac{\pi r}{2} \). Grady spotyka się głównie w geodezji i niektórych europejskich zastosowaniach inżynierskich; w codziennych zadaniach używa się zwykle stopni albo radianów.