Calculateur d'inverse multiplicatif modulo

Q: Comment trouver un inverse modulaire à la main, sans calculateur ?

Utilisez l'algorithme d'Euclide étendu. Déroulez l'algorithme d'Euclide ordinaire sur a et n, puis remontez les substitutions de chaque reste jusqu'à exprimer 1 sous la forme a · x + n · y. Le coefficient x, ramené dans l'intervalle de 0 à n-1, est l'inverse. Pour vérifier, multipliez a par x et confirmez que le reste de la division par n est exactement 1.

Q: Y a-t-il un raccourci quand le module est premier ?

Oui. Si n est premier, tout a de 1 à n-1 est premier avec n, donc l'inverse existe toujours. D'après le petit théorème de Fermat, on peut le calculer comme a^n-2 bmod n. Par exemple, l'inverse de 3 modulo 7 est 3^5 = 243 equiv 5 ±od7, et en effet 3 × 5 = 15 equiv 1. Pour les modules composés, le théorème d'Euler donne a^varphi(n)-1 à la place.

Q: Pourquoi l'inverse n'existe-t-il pas pour certains nombres ?

Un inverse n'existe que si gcd(a, n) = 1. Si a et n partagent un facteur d > 1, alors tout multiple de a est également divisible par d, donc il ne peut jamais laisser un reste de 1 lors de la division par n. Par exemple, 4 n'a pas d'inverse modulo 6 car tous deux sont divisibles par 2. Tester d'abord la primalité entre les deux nombres est le moyen le plus rapide de savoir si une réponse existe.

Q: Comment trouver l'inverse d'un nombre négatif ou d'un nombre plus grand que le module ?

Réduisez d'abord le nombre modulo n, puis cherchez l'inverse de ce reste. Pour un nombre négatif, ajoutez n jusqu'à ce qu'il soit positif : l'inverse de -3 modulo 11 est égal à l'inverse de 8, qui est 7. Pour un nombre plus grand que n, prenez le reste de la division par n. Le calculateur attend une entrée positive, donc cette étape de réduction vous revient.

Q: Comment utilise-t-on l'inverse modulaire pour résoudre des équations comme 3x ≡ 5 (mod 7) ?

La « division » modulaire est une multiplication par l'inverse. Trouvez l'inverse du coefficient — pour 3 modulo 7, c'est 5, car 3 × 5 = 15 equiv 1 — puis multipliez les deux membres : x equiv 5 · 5 equiv 25 equiv 4 ±od7. Vérifiez par substitution : 3 × 4 = 12 equiv 5 ±od7. Cela ne fonctionne que si le coefficient est premier avec le module.

Q: Quelle est la différence entre un inverse modulaire et un inverse ordinaire ?

L'inverse ordinaire est une fraction : l'inverse de 3 en arithmétique usuelle est 1/3. L'arithmétique modulaire ne travaille qu'avec des entiers, donc l'inverse de a modulo n est défini comme un entier x tel que a · x equiv 1 ±odn. Les deux notions partagent le même but — annuler une multiplication — mais un inverse modulaire existe toujours comme nombre entier (lorsque la condition de PGCD est remplie), alors que l'inverse ordinaire, lui, n'est pas un entier.

Mis à jour : 03.10.2026

Trouvez l'inverse multiplicatif modulaire d'un nombre : entrez une valeur a et un module n, et le calculateur résout a·x ≡ 1 (mod n) grâce à l'algorithme d'Euclide étendu, avec une vérification du résultat.

Trouver l'inverse multiplicatif modulaire d'un nombre

Formule de l'inverse modulaire

Formule

\[ a \cdot x \equiv 1 \pmod{n}, \qquad a \cdot x + n \cdot y = \gcd(a, n) = 1 \]

Où :

\(a\) — le nombre dont on cherche l'inverse
\(x\) — l'inverse multiplicatif modulaire de \(a\)
\(n\) — le module (il doit être supérieur à 1)
\(y\) — un entier auxiliaire issu de l'algorithme d'Euclide étendu
\(\gcd(a, n)\) — le plus grand commun diviseur de \(a\) et \(n\)

L'inverse \(x\) existe si et seulement si \(\gcd(a, n) = 1\), c'est-à-dire lorsque \(a\) et \(n\) sont premiers entre eux. L'algorithme d'Euclide étendu trouve les coefficients \(x\) et \(y\) qui satisfont la seconde équation, et \(x\) pris modulo \(n\) est la réponse.

Inverse modulaire – Exemple de calcul

Exemple : trouver l'inverse multiplicatif de 3 modulo 11 (les valeurs par défaut du calculateur).

Appliquer l'algorithme d'Euclide étendu à \(a = 3\) et \(n = 11\) :

\[ 11 = 3 \cdot 3 + 2 \]
\[ 3 = 1 \cdot 2 + 1 \]

Remonter les substitutions :

\[ 1 = 3 - 2 = 3 - (11 - 3 \cdot 3) = 4 \cdot 3 - 1 \cdot 11 \]

Donc \(3 \cdot 4 + 11 \cdot (-1) = 1\), ce qui signifie \(3 \cdot 4 \equiv 1 \pmod{11}\).

Résultat : l'inverse multiplicatif de 3 modulo 11 est 4, et la vérification confirme \(3 \times 4 \equiv 1 \pmod{11}\).

Comment utiliser le calculateur

Entrez le nombre \(a\) dans le champ Nombre (a) — la valeur dont vous voulez l'inverse.
Entrez le module dans le champ Modulo (n). Il doit être supérieur à 1.
Lisez le résultat Inverse multiplicatif — la valeur \(x\) telle que \(a \cdot x \equiv 1 \pmod{n}\).
Consultez la ligne Vérification, qui montre le contrôle \(a \times x \equiv 1 \bmod n\).

Si \(a\) et \(n\) ont un facteur commun supérieur à 1, le calculateur signale que l'inverse n'existe pas, car aucun multiple de \(a\) ne peut être congru à 1 modulo \(n\).

Qu'est-ce qu'un inverse multiplicatif modulaire ?

En arithmétique ordinaire, l'inverse d'un nombre est une fraction : l'inverse de 3 est \(1/3\), car \(3 \cdot 1/3 = 1\). L'arithmétique modulaire n'a pas de fractions, donc l'inverse multiplicatif y est défini différemment. L'inverse de \(a\) modulo \(n\) est un entier \(x\) tel que

\[ a \cdot x \equiv 1 \pmod{n} \]

Autrement dit, quand on multiplie \(a\) par \(x\) et qu'on divise par \(n\), le reste est exactement 1. Par exemple, \(3 \times 4 = 12\), et 12 laisse un reste de 1 lorsqu'on le divise par 11, donc 4 est l'inverse de 3 modulo 11. Tout nombre premier avec le module possède exactement un inverse dans l'intervalle de \(0\) à \(n-1\).

Ce concept est important car la « division » modulaire est en réalité une multiplication par l'inverse. Pour résoudre \(a \cdot x \equiv b \pmod{n}\), on multiplie les deux membres par l'inverse de \(a\) — le même geste que de diviser les deux membres d'une équation ordinaire, mais d'une manière qui reste dans les entiers.

Les inverses modulaires sont également centraux en cryptographie. La génération de clés RSA calcule l'exposant privé comme l'inverse de l'exposant public modulo \(\varphi(n)\) ; Diffie–Hellman et les schémas à courbes elliptiques reposent sur les inverses dans les corps finis. Au-delà de la cryptographie, les inverses apparaissent dans les codes correcteurs d'erreurs, le hachage et les problèmes de théorie des nombres résolus avec des outils comme le théorème des restes chinois.

Quand l'inverse existe (et quand il n'existe pas)

Un inverse de \(a\) modulo \(n\) existe si et seulement si \(\gcd(a, n) = 1\). Deux nombres dont le PGCD vaut 1 sont dits premiers entre eux ou étrangers. La raison est visible dans l'identité d'Euclide étendu : elle ne peut produire \(a \cdot x + n \cdot y = 1\) que si 1 est une combinaison de \(a\) et \(n\), ce qui se produit exactement lorsque leur PGCD vaut 1.

Par exemple, 6 n'a pas d'inverse modulo 9, car \(\gcd(6, 9) = 3\) : tout multiple de 6 est divisible par 3, donc il ne peut jamais laisser un reste de 1. Mais 6 a bien un inverse modulo 11, puisque \(\gcd(6, 11) = 1\).

Un raccourci utile : lorsque le module \(n\) est premier, tout \(a\) de 1 à \(n-1\) possède un inverse, car aucun nombre plus petit qu'un nombre premier ne partage de facteur avec lui. Dans ce cas particulier, l'inverse peut aussi se calculer avec le petit théorème de Fermat comme \(a^{n-2} \bmod n\) ; pour les modules composés, le théorème d'Euler donne le résultat analogue \(a^{\varphi(n)-1}\)

Limites et remarques pratiques

Le calculateur exige \(n > 1\) ; modulo 1, tout nombre est congru à 0 et un inverse n'a pas de sens.
Entrez un \(a\) positif. Si vous avez besoin de l'inverse d'un nombre négatif, réduisez-le d'abord : l'inverse de \(-a\) est égal à l'inverse de \(n - a\).
Le résultat est toujours renvoyé dans l'intervalle \(0 \le x < n\), qui est le représentant standard de la solution.
Pour les très grands nombres (des centaines de chiffres, comme dans la cryptographie réelle), le calcul dans le navigateur atteint ses limites ; ce calculateur est destiné à un usage courant et pédagogique.
L'algorithme d'Euclide étendu s'exécute en temps logarithmique, donc même de grandes entrées à échelle humaine sont traitées instantanément — inutile de tester les valeurs candidates une par une.

Questions fréquentes

Comment trouver un inverse modulaire à la main, sans calculateur ?

Utilisez l'algorithme d'Euclide étendu. Déroulez l'algorithme d'Euclide ordinaire sur \(a\) et \(n\), puis remontez les substitutions de chaque reste jusqu'à exprimer 1 sous la forme \(a \cdot x + n \cdot y\). Le coefficient \(x\), ramené dans l'intervalle de \(0\) à \(n-1\), est l'inverse. Pour vérifier, multipliez \(a\) par \(x\) et confirmez que le reste de la division par \(n\) est exactement 1.

Y a-t-il un raccourci quand le module est premier ?

Oui. Si \(n\) est premier, tout \(a\) de 1 à \(n-1\) est premier avec \(n\), donc l'inverse existe toujours. D'après le petit théorème de Fermat, on peut le calculer comme \(a^{n-2} \bmod n\). Par exemple, l'inverse de 3 modulo 7 est \(3^5 = 243 \equiv 5 \pmod{7}\), et en effet \(3 \times 5 = 15 \equiv 1\). Pour les modules composés, le théorème d'Euler donne \(a^{\varphi(n)-1}\) à la place.

Pourquoi l'inverse n'existe-t-il pas pour certains nombres ?

Un inverse n'existe que si \(\gcd(a, n) = 1\). Si \(a\) et \(n\) partagent un facteur \(d > 1\), alors tout multiple de \(a\) est également divisible par \(d\), donc il ne peut jamais laisser un reste de 1 lors de la division par \(n\). Par exemple, 4 n'a pas d'inverse modulo 6 car tous deux sont divisibles par 2. Tester d'abord la primalité entre les deux nombres est le moyen le plus rapide de savoir si une réponse existe.

L'inverse modulaire est-il unique ? Peut-il être négatif ?

Il existe une infinité d'entiers satisfaisant la congruence, mais il en existe exactement un dans l'intervalle standard \(0 \le x < n\), et c'est la valeur donnée ici. Si un calcul manuel produit un résultat négatif ou trop grand, ajoutez ou soustrayez des multiples de \(n\) : si \(x = -2\) modulo 11, le représentant est \(11 - 2 = 9\). \(-2\) et \(9\) sont tous deux des réponses correctes, simplement écrites différemment.

Comment trouver l'inverse d'un nombre négatif ou d'un nombre plus grand que le module ?

Réduisez d'abord le nombre modulo \(n\), puis cherchez l'inverse de ce reste. Pour un nombre négatif, ajoutez \(n\) jusqu'à ce qu'il soit positif : l'inverse de \(-3\) modulo 11 est égal à l'inverse de \(8\), qui est 7. Pour un nombre plus grand que \(n\), prenez le reste de la division par \(n\). Le calculateur attend une entrée positive, donc cette étape de réduction vous revient.

Comment utilise-t-on l'inverse modulaire pour résoudre des équations comme 3x ≡ 5 (mod 7) ?

La « division » modulaire est une multiplication par l'inverse. Trouvez l'inverse du coefficient — pour 3 modulo 7, c'est 5, car \(3 \times 5 = 15 \equiv 1\) — puis multipliez les deux membres : \(x \equiv 5 \cdot 5 \equiv 25 \equiv 4 \pmod{7}\). Vérifiez par substitution : \(3 \times 4 = 12 \equiv 5 \pmod{7}\). Cela ne fonctionne que si le coefficient est premier avec le module.

Quelle est la différence entre un inverse modulaire et un inverse ordinaire ?

L'inverse ordinaire est une fraction : l'inverse de 3 en arithmétique usuelle est \(1/3\). L'arithmétique modulaire ne travaille qu'avec des entiers, donc l'inverse de \(a\) modulo \(n\) est défini comme un entier \(x\) tel que \(a \cdot x \equiv 1 \pmod{n}\). Les deux notions partagent le même but — annuler une multiplication — mais un inverse modulaire existe toujours comme nombre entier (lorsque la condition de PGCD est remplie), alors que l'inverse ordinaire, lui, n'est pas un entier.