Calculateur de diviseurs – Tous les diviseurs d’un nombre

Q: Comment trouver tous les diviseurs d’un nombre à la main ?

Testez chaque entier de 1 à √(n) en divisant n par celui-ci. Chaque division sans reste vous donne deux diviseurs à la fois : le nombre testé d et son partenaire n ÷ d. Avec 60, par exemple, les tests jusqu’à √(60) ≈ 7.7 donnent les paires 1 × 60, 2 × 30, 3 × 20, 4 × 15, 5 × 12 et 6 × 10. Rassemblez tous les nombres de ces paires et classez-les pour obtenir la liste complète.

Q: Pourquoi les carrés parfaits ont-ils un nombre impair de diviseurs ?

Les diviseurs vont généralement par paires d × (n ÷ d) : leur nombre total est donc pair. Pour un carré parfait comme 36, le diviseur du milieu est √(36) = 6. Il forme une paire avec lui-même — 6 × 6 = 36 — et n’est donc compté qu’une fois. C’est ce qui rend le nombre total de diviseurs impair. Réciproquement, tout nombre ayant un nombre impair de diviseurs est un carré parfait.

Q: Quelle est la différence entre un diviseur et un multiple ?

Ces deux notions sont réciproques. Un diviseur de n le divise sans reste : il ne peut donc pas être supérieur à n. Un multiple de n s’obtient par multiplication : il ne peut donc pas être inférieur à n. Par exemple, 3 est un diviseur de 12 et 12 est un multiple de 3. Attention au sens de la relation : 12 n’est pas un diviseur de 3, mais 3 est aussi un multiple de 3. Tout nombre est à la fois diviseur et multiple de lui-même.

Q: Les nombres négatifs comptent-ils parmi les diviseurs ?

Oui, si l’on considère tous les entiers : lorsque d divise n, -d le divise aussi. Ainsi, −2 et 2 sont tous deux des diviseurs de 10, ce qui double leur nombre. Dans les exercices scolaires et la plupart des manuels, « les diviseurs de n » désignent toutefois uniquement les diviseurs positifs, que le calculateur affiche par défaut. Si vous saisissez un nombre négatif, il affiche les diviseurs de |n| et signale séparément leurs équivalents négatifs.

Mis à jour : 02.11.2026

Saisissez un entier jusqu’à 10¹² pour obtenir instantanément tous ses diviseurs, leur nombre et leur somme, sa décomposition en facteurs premiers, ses paires de diviseurs et savoir s’il est premier, parfait, abondant ou déficient. Vous pouvez aussi comparer 2 à 5 nombres pour trouver leurs diviseurs communs et leur PGCD.

Trouvez tous les diviseurs, les paires de diviseurs et la décomposition en facteurs premiers

Formules des diviseurs

Formule

\[ d \text{ est un diviseur de } n \iff n = d \cdot k \text{ pour un entier } k \] \[ n = p_1^{e_1} \cdot p_2^{e_2} \cdots p_r^{e_r} \;\Rightarrow\; \tau(n) = \prod_{i=1}^{r} (e_i + 1), \qquad \sigma(n) = \prod_{i=1}^{r} \frac{p_i^{e_i + 1} - 1}{p_i - 1} \]

Avec :

\(d\) — un diviseur de \(n\)
\(n\) — le nombre dont on cherche les diviseurs
\(p_i\), \(e_i\) — les facteurs premiers distincts de \(n\) et leurs exposants dans la décomposition en facteurs premiers
\(\tau(n)\) — le nombre total de diviseurs de \(n\)
\(\sigma(n)\) — la somme de tous les diviseurs de \(n\)

La première ligne définit un diviseur : \(d\) divise \(n\) sans reste. La seconde montre comment la décomposition en facteurs premiers permet de calculer le nombre de diviseurs et leur somme.

Diviseurs – Exemple de calcul

Exemple : cherchons tous les diviseurs de \(n = 360\), la valeur affichée par défaut dans le calculateur.

\[ 360 = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5 \]

\[ \tau(360) = (3+1)(2+1)(1+1) = 24 \]

\[ \sigma(360) = \frac{2^4 - 1}{2 - 1} \cdot \frac{3^3 - 1}{3 - 1} \cdot \frac{5^2 - 1}{5 - 1} = 15 \cdot 13 \cdot 6 = 1170 \]

Résultat : 360 possède 24 diviseurs : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 45, 60, 72, 90, 120, 180 et 360. Leur somme est 1 170. Comme la somme de ses diviseurs propres est \(1170 - 360 = 810 > 360\), 360 est un nombre abondant. Ses diviseurs forment 12 paires, de \(1 \times 360\) à \(18 \times 20\).

Comment utiliser le calculateur de diviseurs

Choisissez le mode : Tous les diviseurs d’un nombre ou Diviseurs communs de 2 à 5 nombres.
En mode Tous les diviseurs, saisissez un entier de 1 à 10¹² dans le champ Nombre (n). Vous pouvez saisir un nombre négatif : le calculateur affiche les diviseurs de \(|n|\) et signale leurs équivalents négatifs.
Consultez les résultats : tous les diviseurs par ordre croissant, le nombre de diviseurs \(\tau(n)\), la somme des diviseurs \(\sigma(n)\), la décomposition en facteurs premiers, un tableau des paires de diviseurs et la classification du nombre comme premier, parfait, abondant ou déficient.
En mode Diviseurs communs, saisissez 2 à 5 entiers non nuls dans le champ Nombres, séparés par des virgules, des espaces, des points-virgules ou des retours à la ligne (par exemple 12, 18, 30). Le résultat affiche tous leurs diviseurs communs et met en évidence le plus grand commun diviseur.

Que sont les diviseurs et à quoi servent-ils ?

Un diviseur d’un nombre \(n\) est un entier qui divise \(n\) sans reste. Par exemple, 12 est divisible par 1, 2, 3, 4, 6 et 12 : ce sont tous ses diviseurs. À chaque diviseur \(d\) de \(n\) correspond un autre diviseur : puisque \(n = d \times k\), il s’agit de \(k = n \div d\). Les diviseurs se regroupent donc naturellement en paires de diviseurs. Un carré parfait, comme 36 avec la paire \(6 \times 6\), possède un nombre impair de diviseurs, car \(\sqrt{n}\) forme une paire avec lui-même.

Pour trouver rapidement tous les diviseurs d’un grand nombre, on utilise sa décomposition en facteurs premiers. Si \(n = p_1^{e_1} \cdot p_2^{e_2} \cdots p_r^{e_r}\), chaque diviseur est un produit de ces mêmes nombres premiers, élevés à des puissances qui ne dépassent pas \(e_i\). On en déduit directement leur nombre : \(\tau(n) = (e_1+1)(e_2+1)\cdots(e_r+1)\). Pour décomposer un nombre en facteurs premiers étape par étape, consultez le calculateur de décomposition en facteurs premiers ; pour vérifier un seul nombre, le test de primalité est plus rapide.

La somme des diviseurs \(\sigma(n)\) permet aussi de classer un nombre. Si la somme de ses diviseurs propres (tous ses diviseurs sauf \(n\) lui-même) est égale à \(n\), le nombre est parfait, comme 6 ou 28. Si cette somme est supérieure à \(n\), il est abondant ; si elle est inférieure, il est déficient. Les nombres premiers sont toujours déficients, car leur seul diviseur propre est 1.

Les diviseurs communs sont les diviseurs partagés par deux nombres ou plus. Ce sont exactement les diviseurs du plus grand commun diviseur (PGCD) : le calculateur commence donc par trouver le PGCD, puis affiche ses diviseurs. Les diviseurs communs servent notamment à simplifier les fractions. Pour la notion complémentaire de plus petit commun multiple, consultez le calculateur de PPCM.

Conditions, limites et conseils

Entiers uniquement. Les fractions et les nombres décimaux ne sont pas acceptés. Zéro est exclu, car tout entier non nul le divise, ce qui donnerait une liste infinie.
Limite de taille. La valeur absolue de chaque nombre ne doit pas dépasser 10¹² (1 000 000 000 000 000). Pour les très grands nombres qui possèdent des milliers de diviseurs, l’affichage est limité aux 2 000 premiers diviseurs et à 500 paires ; les autres restent comptabilisés.
Nombres négatifs. Si vous saisissez un nombre négatif, le calculateur affiche les diviseurs positifs de \(|n|\) et précise que chacun possède un équivalent négatif \(-d\). Le nombre total de diviseurs entiers est donc doublé.
Conseil. Pour vérifier rapidement si un nombre divise \(n\) sans afficher toute la liste, divisez \(n\) par ce nombre : si le quotient est entier, c’est un diviseur. Il suffit de tester les nombres jusqu’à \(\sqrt{n}\), car tout diviseur plus grand que \(\sqrt{n}\) forme une paire avec un diviseur plus petit déjà trouvé.
Conseil. Les paires de diviseurs sont utiles pour simplifier les expressions contenant des racines et factoriser les trinômes du second degré : si \(a \times b = n\) et que leur somme ou leur différence convient, vous avez trouvé une décomposition utile de \(n\).

Questions fréquentes

Comment trouver tous les diviseurs d’un nombre à la main ?

Testez chaque entier de 1 à \(\sqrt{n}\) en divisant \(n\) par celui-ci. Chaque division sans reste vous donne deux diviseurs à la fois : le nombre testé \(d\) et son partenaire \(n \div d\). Avec 60, par exemple, les tests jusqu’à \(\sqrt{60} \approx 7.7\) donnent les paires \(1 \times 60\), \(2 \times 30\), \(3 \times 20\), \(4 \times 15\), \(5 \times 12\) et \(6 \times 10\). Rassemblez tous les nombres de ces paires et classez-les pour obtenir la liste complète.

Pourquoi les carrés parfaits ont-ils un nombre impair de diviseurs ?

Les diviseurs vont généralement par paires \(d \times (n \div d)\) : leur nombre total est donc pair. Pour un carré parfait comme 36, le diviseur du milieu est \(\sqrt{36} = 6\). Il forme une paire avec lui-même — \(6 \times 6 = 36\) — et n’est donc compté qu’une fois. C’est ce qui rend le nombre total de diviseurs impair. Réciproquement, tout nombre ayant un nombre impair de diviseurs est un carré parfait.

Quelle est la différence entre un diviseur et un multiple ?

Ces deux notions sont réciproques. Un diviseur de \(n\) le divise sans reste : il ne peut donc pas être supérieur à \(n\). Un multiple de \(n\) s’obtient par multiplication : il ne peut donc pas être inférieur à \(n\). Par exemple, 3 est un diviseur de 12 et 12 est un multiple de 3. Attention au sens de la relation : 12 n’est pas un diviseur de 3, mais 3 est aussi un multiple de 3. Tout nombre est à la fois diviseur et multiple de lui-même.

1 est-il un diviseur de tous les nombres ? Est-il premier ?

Oui, 1 divise sans reste tous les entiers : c’est donc toujours un diviseur de \(n\), auquel \(n\) lui-même est associé dans la liste des diviseurs. En revanche, 1 n’est pas premier : un nombre premier possède exactement deux diviseurs, 1 et lui-même, alors que 1 n’en possède qu’un seul. C’est aussi pourquoi 1 n’est classé ni parmi les nombres composés, ni parmi les nombres parfaits, abondants ou déficients.

Quel est le nombre maximal de diviseurs qu’un nombre peut avoir ?

Il n’existe pas de limite fixe : certains nombres ont beaucoup plus de diviseurs que d’autres nombres de taille comparable. On les appelle des nombres hautement composés. Par exemple, 720 720 possède 240 diviseurs et 963 761 198 400 (inférieur à 10¹²) en possède 6 720. Le nombre de diviseurs augmente avec le nombre de facteurs premiers distincts et leurs exposants : \(\tau(n) = (e_1+1)(e_2+1)\cdots(e_r+1)\). Ajouter un nouveau facteur premier multiplie donc toujours ce nombre.

Les nombres négatifs comptent-ils parmi les diviseurs ?

Oui, si l’on considère tous les entiers : lorsque \(d\) divise \(n\), \(-d\) le divise aussi. Ainsi, −2 et 2 sont tous deux des diviseurs de 10, ce qui double leur nombre. Dans les exercices scolaires et la plupart des manuels, « les diviseurs de n » désignent toutefois uniquement les diviseurs positifs, que le calculateur affiche par défaut. Si vous saisissez un nombre négatif, il affiche les diviseurs de \(|n|\) et signale séparément leurs équivalents négatifs.

Quels sont les premiers nombres parfaits et pourquoi sont-ils rares ?

Un nombre parfait est égal à la somme de ses diviseurs propres. Les plus petits sont 6 (1 + 2 + 3), 28 (1 + 2 + 4 + 7 + 14), 496 et 8 128. Tous les nombres parfaits pairs connus sont de la forme d’Euclide-Euler \(2^{p-1}(2^p - 1)\), où \(2^p - 1\) doit être un nombre premier de Mersenne. Cela explique leur rareté : on n’en connaît que 52, et l’existence d’un seul nombre parfait impair n’a toujours pas été démontrée.