Vérificateur de nombre premier

Q: Comment vérifier à la main si un nombre est premier ?

Testez si l'un des entiers de 2 à √(n) divise votre nombre sans reste. Si aucun ne le divise, le nombre est premier. Pour 137, √(137) ≈ 11.7 : il suffit donc de vérifier 2, 3, 5, 7 et 11 — aucun ne le divise, 137 est donc premier. Pour gagner du temps, sautez les candidats pairs après avoir vérifié 2, et rappelez-vous qu'il n'est jamais nécessaire de tester au-delà de la racine carrée.

Q: Pourquoi 1 n'est-il pas un nombre premier ?

Un nombre premier doit avoir exactement deux diviseurs positifs : 1 et lui-même. Or 1 n'en a qu'un seul, il ne répond donc pas à la définition. Cette convention garantit aussi la validité du théorème fondamental de l'arithmétique — si 1 comptait comme premier, chaque nombre supérieur à 1 aurait une infinité de décompositions, du type 6 = 2 × 3 = 2 × 3 × 1. 1 n'est donc ni premier ni composé.

Q: Quels sont les critères de divisibilité les plus rapides avant de tester ?

Regardez le dernier chiffre : les nombres se terminant par 0, 2, 4, 5, 6 ou 8 sont divisibles par 2 ou 5. Additionnez les chiffres — si la somme est divisible par 3, le nombre l'est aussi (pour 87 : 8 + 7 = 15, divisible par 3, donc 87 est composé). Pour 11, additionnez et soustrayez alternativement les chiffres ; si le résultat est divisible par 11, le nombre l'est aussi. Ces règles éliminent instantanément la plupart des nombres composés.

Q: Quelle est la différence entre nombres premiers et nombres premiers entre eux ?

La primalité est une propriété d'un nombre seul : il possède exactement deux diviseurs. Être premiers entre eux est une propriété d'un couple : deux nombres sont premiers entre eux lorsque leur plus grand commun diviseur vaut 1. Par exemple, 8 et 15 sont tous deux composés, mais ils sont premiers entre eux car gcd(8, 15) = 1. Notez que 2 et 3 sont premiers entre eux, mais 4 et 9 aussi — aucun des deux nombres n'a besoin d'être premier lui-même.

Q: Quels sont les nombres qui semblent premiers mais ne le sont pas ?

Parmi les fameux « pseudopremiers » figurent 91 (= 7 × 13), 57 (= 3 × 19), 51 (= 3 × 17), 87 (= 3 × 29) et 119 (= 7 × 17). Ils échappent à la vigilance car ils ne sont divisibles ni par 2, ni par 5, ni par un carré évident. Lors d'une vérification à la main, testez toujours soigneusement 3 (somme des chiffres), 7 et 11 — ces tests suffisent pour la plupart des cas pièges en dessous de 150.

Q: Comment trouver pas à pas la décomposition en facteurs premiers d'un nombre ?

Divisez-le sans cesse par le plus petit nombre premier possible. Pour 360 : divisez par 2 pour obtenir 180, par 2 pour obtenir 90, par 2 pour obtenir 45 ; 45 est impair, on divise donc par 3 pour obtenir 15, puis par 3 pour obtenir 5. On obtient 360 = 2^3 × 3^2 × 5. Continuez jusqu'à ce que le quotient soit lui-même un nombre premier. Chaque étape de division fonctionne nécessairement avec un certain nombre premier grâce au théorème fondamental de l'arithmétique.

Q: Existe-t-il une infinité de nombres premiers ?

Oui — Euclide l'a démontré vers 300 av. J.-C. Supposons qu'il existe un plus grand nombre premier ; multipliez tous les nombres premiers connus entre eux et ajoutez 1 : le résultat n'est divisible par aucun d'eux et doit donc avoir un nouveau facteur premier. Il y a 78 498 nombres premiers inférieurs à un million et environ π(10^12) ≈ 37.6 milliards inférieurs à mille milliards. Les écarts entre nombres premiers augmentent en moyenne, mais de nouveaux nombres premiers records sont régulièrement découverts — plus de 24 millions de chiffres pour les plus récents.

Mis à jour : 15.10.2026

Saisissez n'importe quel nombre entier jusqu'à mille milliards et découvrez immédiatement s'il est premier ou composé. Le calculateur affiche également le plus petit facteur premier ainsi que la décomposition complète en facteurs premiers, avec explication à l'appui.

Ce nombre est-il premier ?

Formule du vérificateur de nombre premier

Formule

\[ n \text{ est premier} \;\iff\; n > 1 \text{ et aucun entier } d \text{ tel que } 1 < d \le \sqrt{n} \text{ ne divise } n \]

Où :

\(n\) — le nombre entier à tester
\(d\) — un diviseur candidat
\(\sqrt{n}\) — la racine carrée de \(n\), arrondie à l'entier inférieur

Cette formule traduit le test de division par essais successifs : il suffit de chercher des diviseurs jusqu'à \(\sqrt{n}\), car si \(n = a \times b\) avec les deux facteurs supérieurs à 1, l'un des deux au moins ne dépasse pas \(\sqrt{n}\). C'est pourquoi le calculateur ne teste les candidats que jusqu'à la racine carrée, en sautant les multiples de 2 et de 3 (il vérifie 2, 3, puis les nombres de la forme \(6k \pm 1\)).

Vérificateur de nombre premier — exemple de calcul

Exemple : 91 est-il un nombre premier ? On teste les diviseurs candidats jusqu'à \(\sqrt{91} \approx 9.54\), soit seulement 2, 3, 5 et 7.

\[ 91 \div 2 = 45.5 \quad (\text{ce n'est pas un diviseur}) \]

\[ 91 \div 3 = 30.\overline{3} \quad (\text{ce n'est pas un diviseur}) \]

\[ 91 \div 5 = 18.2 \quad (\text{ce n'est pas un diviseur}) \]

\[ 91 \div 7 = 13 \quad (\text{division exacte — 7 est un diviseur !}) \]

Résultat : 91 est un nombre composé. Son plus petit facteur premier est 7, puisque \(91 = 7 \times 13\), et la décomposition complète en facteurs premiers est \(91 = 7 \times 13\).

Comment utiliser le vérificateur de nombre premier

Saisissez le nombre entier à tester dans le champ Nombre à vérifier (n). Tout entier de 0 à 1 000 000 000 000 (10¹²) est accepté.
Consultez la ligne Résultat — premier ou composé pour connaître le verdict. Les nombres inférieurs à 2 sont signalés comme n'étant ni premiers ni composés.
Si le nombre est composé, regardez Un facteur premier (affiché si composé) : il s'agit du plus petit nombre premier qui divise votre nombre, accompagné de son cofacteur.
Lisez la section Décomposition complète en facteurs premiers et explication, qui décompose le nombre en facteurs premiers et explique comment la réponse a été vérifiée.

Qu'est-ce qu'un nombre premier ?

Un nombre premier est un entier supérieur à 1 qui possède exactement deux diviseurs positifs : 1 et lui-même. Les premiers nombres premiers sont 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29. Tout autre entier supérieur à 1 est composé, c'est-à-dire qu'il peut s'écrire comme le produit de deux entiers plus petits, tous deux supérieurs à 1.

Le nombre 2 mérite une mention particulière : c'est le seul nombre premier pair, puisque tout autre nombre pair est divisible par 2. Les nombres 0 et 1 ne sont ni premiers ni composés — 1 n'a qu'un seul diviseur, et 0 est divisible par tous les entiers positifs ; aucun des deux ne satisfait donc la définition d'« exactement deux diviseurs ».

Les nombres premiers sont les briques élémentaires de l'arithmétique. Le théorème fondamental de l'arithmétique affirme que tout entier supérieur à 1 se décompose en facteurs premiers d'une manière unique (à l'ordre des facteurs près). Voilà pourquoi le calculateur affiche la décomposition complète dès que le nombre est composé : elle indique précisément quels blocs premiers composent votre nombre, et combien de fois chacun y figure.

L'interprétation du résultat est simple. Si le verdict est premier, le nombre ne peut pas être décomposé davantage. S'il est composé, le plus petit facteur premier affiché est la preuve la plus directe : en divisant votre nombre par ce facteur, on obtient un entier, ce qui exclut immédiatement la primalité.

Hypothèses, limites et astuces

Plage de valeurs : le calculateur accepte les entiers de 0 à 10¹². Les nombres plus grands exigent des méthodes plus avancées.
Méthode : il utilise la division par essais successifs avec l'optimisation \(6k \pm 1\), rapide et donnant une réponse mathématiquement certaine pour les nombres de la plage prise en charge. Les tests probabilistes comme le petit théorème de Fermat sont utilisés à la place pour les nombres astronomiquement grands, car la division par essais successifs devient trop lente, bien qu'elle soit exacte.
Décimaux et négatifs : la primalité n'est définie que pour les entiers supérieurs à 1 ; les nombres décimaux, les nombres négatifs, ainsi que 0 et 1 donnent donc lieu à une explication plutôt qu'à un verdict.
Vérifications rapides de tête : avant d'utiliser le calculateur, on peut souvent écarter la primalité mentalement — un nombre se terminant par 0, 2, 4, 5, 6 ou 8 est divisible par 2 ou 5, et un nombre dont la somme des chiffres est un multiple de 3 est divisible par 3 (pour 91, 9 + 1 = 10 ; vérification : 10 n'est pas divisible par 3, ce raccourci ne fonctionne donc pas ici). Le test de la somme des chiffres est lié à la racine numérique.
Pourquoi la décomposition compte : les décompositions en facteurs premiers sont à la base de nombreux outils de théorie des nombres, de l'inverse multiplicatif modulo n utilisé en cryptographie à la résolution des systèmes de congruences grâce au théorème des restes chinois.

Questions fréquentes

Comment vérifier à la main si un nombre est premier ?

Testez si l'un des entiers de 2 à \(\sqrt{n}\) divise votre nombre sans reste. Si aucun ne le divise, le nombre est premier. Pour 137, \(\sqrt{137} \approx 11.7\) : il suffit donc de vérifier 2, 3, 5, 7 et 11 — aucun ne le divise, 137 est donc premier. Pour gagner du temps, sautez les candidats pairs après avoir vérifié 2, et rappelez-vous qu'il n'est jamais nécessaire de tester au-delà de la racine carrée.

Pourquoi 1 n'est-il pas un nombre premier ?

Un nombre premier doit avoir exactement deux diviseurs positifs : 1 et lui-même. Or 1 n'en a qu'un seul, il ne répond donc pas à la définition. Cette convention garantit aussi la validité du théorème fondamental de l'arithmétique — si 1 comptait comme premier, chaque nombre supérieur à 1 aurait une infinité de décompositions, du type \(6 = 2 \times 3 = 2 \times 3 \times 1\). 1 n'est donc ni premier ni composé.

Quels sont les critères de divisibilité les plus rapides avant de tester ?

Regardez le dernier chiffre : les nombres se terminant par 0, 2, 4, 5, 6 ou 8 sont divisibles par 2 ou 5. Additionnez les chiffres — si la somme est divisible par 3, le nombre l'est aussi (pour 87 : \(8 + 7 = 15\), divisible par 3, donc 87 est composé). Pour 11, additionnez et soustrayez alternativement les chiffres ; si le résultat est divisible par 11, le nombre l'est aussi. Ces règles éliminent instantanément la plupart des nombres composés.

Quelle est la différence entre nombres premiers et nombres premiers entre eux ?

La primalité est une propriété d'un nombre seul : il possède exactement deux diviseurs. Être premiers entre eux est une propriété d'un couple : deux nombres sont premiers entre eux lorsque leur plus grand commun diviseur vaut 1. Par exemple, 8 et 15 sont tous deux composés, mais ils sont premiers entre eux car \(\gcd(8, 15) = 1\). Notez que 2 et 3 sont premiers entre eux, mais 4 et 9 aussi — aucun des deux nombres n'a besoin d'être premier lui-même.

Quels sont les nombres qui semblent premiers mais ne le sont pas ?

Parmi les fameux « pseudopremiers » figurent 91 (\(= 7 \times 13\)), 57 (\(= 3 \times 19\)), 51 (\(= 3 \times 17\)), 87 (\(= 3 \times 29\)) et 119 (\(= 7 \times 17\)). Ils échappent à la vigilance car ils ne sont divisibles ni par 2, ni par 5, ni par un carré évident. Lors d'une vérification à la main, testez toujours soigneusement 3 (somme des chiffres), 7 et 11 — ces tests suffisent pour la plupart des cas pièges en dessous de 150.

Comment trouver pas à pas la décomposition en facteurs premiers d'un nombre ?

Divisez-le sans cesse par le plus petit nombre premier possible. Pour 360 : divisez par 2 pour obtenir 180, par 2 pour obtenir 90, par 2 pour obtenir 45 ; 45 est impair, on divise donc par 3 pour obtenir 15, puis par 3 pour obtenir 5. On obtient \(360 = 2^3 \times 3^2 \times 5\). Continuez jusqu'à ce que le quotient soit lui-même un nombre premier. Chaque étape de division fonctionne nécessairement avec un certain nombre premier grâce au théorème fondamental de l'arithmétique.

Existe-t-il une infinité de nombres premiers ?

Oui — Euclide l'a démontré vers 300 av. J.-C. Supposons qu'il existe un plus grand nombre premier ; multipliez tous les nombres premiers connus entre eux et ajoutez 1 : le résultat n'est divisible par aucun d'eux et doit donc avoir un nouveau facteur premier. Il y a 78 498 nombres premiers inférieurs à un million et environ \(\pi(10^{12}) \approx 37.6\) milliards inférieurs à mille milliards. Les écarts entre nombres premiers augmentent en moyenne, mais de nouveaux nombres premiers records sont régulièrement découverts — plus de 24 millions de chiffres pour les plus récents.