Calculateur de transfert de Hohmann
Calculez les deux allumages, le delta-v total et la durée d'un transfert de Hohmann entre deux orbites circulaires coplanaires. Saisissez le paramètre gravitationnel et les rayons des deux orbites.
Calculez le Δv et le temps de transfert entre deux orbites circulaires
Formule du transfert de Hohmann
Où :
- \(\mu\) — paramètre gravitationnel du corps central, \(\mu = GM\) (km³/s²)
- \(r_1\) — rayon de l'orbite circulaire initiale, mesuré depuis le centre du corps (km)
- \(r_2\) — rayon de l'orbite circulaire visée (km)
- \(\Delta v_1, \Delta v_2\) — variations de vitesse du premier et du deuxième allumage (km/s)
- \(a\) — demi-grand axe de l'ellipse de transfert (km)
- \(t\) — durée du transfert, c'est-à-dire la moitié de la période orbitale de l'ellipse de transfert (s)
La première expression donne l'allumage nécessaire à \(r_1\) pour s'insérer sur une ellipse tangente aux deux orbites circulaires ; la seconde donne l'allumage effectué une demi-révolution plus tard à \(r_2\) pour circulariser. Le delta-v total est la somme des deux valeurs absolues : \(\Delta v = |\Delta v_1| + |\Delta v_2|\).
Transfert de Hohmann – Exemple de calcul
Exemple : un engin spatial se trouvant en orbite terrestre basse à 300 km d'altitude (rayon \(r_1 = 6678\) km) est transféré vers l'orbite géostationnaire (rayon \(r_2 = 42{,}164\) km). Pour la Terre, \(\mu = 398{,}600.44\) km³/s².
\[ \Delta v_1 = \sqrt{\frac{398600.44}{6678}} \left( \sqrt{\frac{2 \times 42164}{6678 + 42164}} - 1 \right) = 7.726 \times 0.3140 = 2.426 \text{ km/s} \]
\[ \Delta v_2 = \sqrt{\frac{398600.44}{42164}} \left( 1 - \sqrt{\frac{2 \times 6678}{48842}} \right) = 3.075 \times 0.4771 = 1.467 \text{ km/s} \]
\[ \Delta v = 2.426 + 1.467 = 3.893 \text{ km/s} \]
\[ t = \pi \sqrt{\frac{24421^3}{398600.44}} \approx 18{,}986 \text{ s} \approx 5.27 \text{ h} \]
Résultat : l'engin spatial consomme 2,426 km/s pour s'insérer sur l'ellipse de transfert, puis 1,467 km/s supplémentaires pour circulariser à l'altitude géostationnaire — soit 3,893 km/s au total — et le transfert lui-même dure environ 5,27 heures (la moitié de la période de 10,55 heures de l'ellipse de transfert).
Comment utiliser le calculateur
- Saisissez le Paramètre gravitationnel (μ) du corps central et choisissez l'unité (km³/s² ou m³/s²). Pour la Terre, utilisez 398 600,44 km³/s² ; les descriptions des champs indiquent les valeurs pour la Lune, le Soleil et Mars.
- Saisissez le Rayon de l'orbite initiale (r₁). Il s'agit de la distance depuis le centre du corps, et non de l'altitude. Si vous ne connaissez que l'altitude, ajoutez d'abord le rayon du corps (environ 6 371 km pour la Terre).
- Saisissez de la même manière le Rayon de l'orbite visée (r₂), puis choisissez km, m ou miles pour les deux rayons.
- Lisez les résultats : Première variation de vitesse (Δv₁), Deuxième variation de vitesse (Δv₂), Delta-v total, Durée du transfert, ainsi qu'un tableau détaillé avec les vitesses des orbites circulaires et de l'orbite de transfert, le demi-grand axe de l'ellipse de transfert et les périodes des deux orbites.
Qu'est-ce qu'un transfert de Hohmann ?
Un transfert de Hohmann déplace un engin spatial entre deux orbites circulaires situées dans le même plan, à l'aide de deux allumages seulement. L'engin allume d'abord son moteur dans le sens du mouvement (ou en sens inverse, lorsqu'il rejoint une orbite plus basse), ce qui élève — ou abaisse — le point opposé de son orbite de façon à former une ellipse tangente aux deux cercles. À l'extrémité de cette ellipse, une demi-révolution plus tard, un second allumage ajuste la vitesse pour l'adapter à l'orbite circulaire visée. Comme l'ellipse ne touche chaque orbite qu'une seule fois, la géométrie est parfaitement symétrique et les allumages sont aussi réduits que la géométrie le permet.
Walter Hohmann a décrit cette manœuvre en 1925, et l'on a démontré depuis qu'il s'agit du transfert le plus économe en ergols entre orbites circulaires coplanaires utilisant seulement deux allumages. Cette efficacité explique pourquoi il est devenu la référence pour les changements d'orbite : les satellites de communication rejoignant l'orbite géostationnaire, comme les sondes interplanétaires voyageant entre les orbites des planètes autour du Soleil, suivent tous des trajectoires de type Hohmann. Le transfert classique Terre–Mars, par exemple, est une ellipse de Hohmann autour du Soleil qui dure environ 8,5 mois.
Le delta-v total représente le véritable « coût en carburant » de la manœuvre. Combiné à l'équation de Tsiolkovski, il détermine la quantité d'ergols que l'engin doit emporter ; c'est pourquoi les planificateurs de mission comparent les transferts presque exclusivement en km/s. La durée du transfert — la moitié de la période de l'ellipse — est le prix à payer pour cette efficacité : un transfert de Hohmann est la voie à deux allumages la plus lente qui soit raisonnable. Des transferts plus rapides existent, mais ils exigent des allumages plus importants et une trajectoire de forme différente.
Attention au sens de la manœuvre lors de l'interprétation des résultats. Vers l'extérieur (élévation de l'orbite), les deux allumages sont des accélérations. Vers l'intérieur, ce sont des freinages — le calculateur affiche leurs valeurs absolues, car un freinage consomme tout de même la même quantité d'ergols.
Hypothèses, limites et conseils pratiques
- Orbites circulaires coplanaires. Si les orbites sont inclinées l'une par rapport à l'autre, des allumages de changement de plan s'ajoutent aux valeurs affichées ici, et la répartition optimale des allumages change.
- Allumages impulsionnels. Les moteurs réels fonctionnent pendant plusieurs minutes, et non de façon instantanée, ce qui entraîne de petites pertes gravitationnelles ; la propulsion à faible poussée (électrique) emprunte une trajectoire entièrement différente, en spirale.
- Corps ponctuel, sans perturbations. Le frottement atmosphérique en orbite très basse, l'aplatissement du corps et l'attraction des corps tiers sont ignorés. En orbite terrestre basse, la traînée atmosphérique abaisse l'orbite en continu et doit être compensée séparément.
- Des rayons, pas des altitudes. L'erreur de saisie la plus fréquente consiste à saisir l'altitude. Rayon = altitude + rayon du corps ; l'exemple par défaut (300 km d'altitude → 6 678 km de rayon) montre la conversion pour la Terre.
- Rapports de rayons très élevés. Lorsque \(r_2/r_1\) dépasse environ 11,9, un transfert bi-elliptique (trois allumages passant par une orbite intermédiaire très haute) peut battre le transfert de Hohmann en delta-v total, au prix d'une durée de vol bien plus longue.
- Transferts interplanétaires. Utilisez le \(\mu\) du Soleil (1,32712 × 10¹¹ km³/s²) et les rayons orbitaux des deux planètes, et n'oubliez pas que les planètes doivent être correctement en phase au départ.
Pour mémoire, les paramètres gravitationnels usuels : Terre 398 600,44 km³/s², Lune 4 902,8 km³/s², Mars 42 828,4 km³/s² et Soleil 1,32712 × 10¹¹ km³/s². Rayons utiles autour de la Terre : LEO ≈ 6 678 km, GPS ≈ 26 560 km, GEO = 42 164 km, et l'orbite de la Lune ≈ 384 400 km — tous mesurés depuis le centre de la Terre.
Questions fréquentes
Pourquoi mon calcul à la main diffère-t-il du résultat du calculateur ?
La cause la plus fréquente est une erreur d'unités. Si vous avez saisi \(\mu\) en m³/s² alors que les rayons sont en km, les vitesses sortent fausses d'un facteur \(\sqrt{10^9} \approx 31{,}623\). Associez toujours km³/s² avec km, ou m³/s² avec m. La seconde cause est l'utilisation de l'altitude au lieu du rayon : rappelez-vous que \(r = \text{altitude} + R_{corps}\), de sorte que 300 km au-dessus de la Terre correspondent à \(r = 6{,}671 + 300 \approx 6{,}678\) km.
Quels sont les delta-v typiques des transferts de Hohmann courants ?
Quelques ordres de grandeur : LEO vers GEO coûte environ 3,9 km/s, LEO vers l'orbite de la Lune environ 3,1 km/s, et le transfert de Hohmann héliocentrique Terre–Mars exige environ 5,6 km/s d'allumages cumulés au départ et à l'arrivée. Les petites élévations d'orbite au sein de la LEO, par exemple de 400 km à 800 km, ne coûtent que quelques dizaines de m/s. Si votre résultat s'écarte nettement de ces ordres de grandeur, vérifiez si vous avez utilisé des rayons ou des altitudes.
Le calculateur tient-il compte des changements de plan ou des différences d'inclinaison ?
Non. Un transfert de Hohmann pur suppose que les deux orbites se trouvent dans le même plan. Si l'orbite visée est inclinée, il faut un allumage supplémentaire de changement de plan coûtant \(\Delta v = 2v\sin(\Delta i/2)\), où \(v\) est la vitesse orbitale au point de la manœuvre. Les changements de plan sont moins coûteux à haute altitude, où la vitesse est faible ; les concepteurs de mission les combinent donc souvent avec l'allumage de circularisation à l'apogée plutôt que de les effectuer séparément.
Comment trouver la bonne fenêtre de tir pour un transfert de Hohmann interplanétaire ?
La durée du transfert de l'engin doit correspondre au déplacement de la planète visée. Calculez la durée de transfert \(t\) avec ce calculateur, puis déterminez la distance parcourue par la planète visée pendant ce temps : \(\theta = 360° \cdot t/T_{cible}\), où \(T_{cible}\) est la période orbitale de la planète visée. L'angle de phase requis entre les deux planètes au départ est \(180° - \theta\). Pour Terre–Mars, cela donne environ 44°, d'où le retour des fenêtres de tir vers Mars tous les 26 mois environ.
Puis-je utiliser ce calculateur avec des orbites de départ elliptiques ou excentriques ?
Non, les formules ne sont valables qu'entre orbites circulaires. Si votre orbite de départ est elliptique, l'ampleur des allumages dépend de l'endroit de l'ellipse où vous les déclenchez, et un simple transfert tangentiel à deux impulsions ne s'applique généralement pas. Pour des orbites excentriques, il faut passer par une méthode plus générale de type résolution de Lambert, qui trouve une trajectoire reliant deux points arbitraires de l'espace. Cela dit, les orbites faiblement excentriques (e < 0,01, comme la plupart des orbites opérationnelles) donnent des résultats proches du cas circulaire.
Comment convertir le delta-v total en quantité d'ergols nécessaire ?
Utilisez l'équation de Tsiolkovski \(\Delta v = v_e \ln(m_0/m_f)\), où \(v_e\) est la vitesse d'éjection et \(m_0\), \(m_f\) les masses initiale et finale. Après réarrangement : \(m_0 = m_f \cdot e^{\Delta v / v_e}\). La fraction d'ergols croît très vite avec le delta-v, d'où l'acharnement des planificateurs de mission pour gagner chaque m/s. Par exemple, 3,9 km/s de transfert LEO–GEO avec un moteur chimique (\(v_e \approx 3\) km/s) signifie que plus de 70 % de la masse au départ est constituée d'ergols.
Le transfert de Hohmann est-il toujours le meilleur choix ?
Pas toujours. C'est le transfert à deux allumages le plus efficace entre orbites circulaires coplanaires, mais pas forcément le meilleur dans l'absolu. Quand le rapport des rayons \(r_2/r_1\) dépasse environ 11,9, un transfert bi-elliptique à trois allumages peut être moins coûteux. Si le temps compte, des transferts plus rapides avec des allumages plus importants existent. Et les engins à propulsion électrique utilisent des spirales à faible poussée continue qui élèvent l'orbite progressivement : elles coûtent un peu plus de delta-v, mais bien moins d'ergols grâce à leur vitesse d'éjection élevée.