Calculateur d'équation de Rydberg

Q: Comment calculer à la main une longueur d'onde de l'hydrogène avec la formule de Rydberg ?

Prenez les inverses des carrés des nombres quantiques, soustrayez-les, puis multipliez par la constante de Rydberg : 1/λ = R_H · |1/n_f^2 - 1/n_i^2|. Inversez ensuite le résultat pour obtenir la longueur d'onde en mètres. Par exemple, pour n_i = 4, n_f = 2 : 1/λ = 1.0967758×10^7 × 3/16 = 2.056×10^6\ m^-1, d'où λ ≈ 486 nm — la raie cyan Hβ.

Q: Est-il important de saisir d'abord le niveau initial ou le niveau final ?

Non : la longueur d'onde, la fréquence et l'énergie du photon sont identiques dans les deux cas, car la formule utilise une valeur absolue. Seule l'interprétation change : saisir d'abord le niveau le plus élevé décrit une émission (l'électron retombe et libère un photon), tandis que saisir d'abord le niveau le plus bas décrit l'absorption d'un photon de même longueur d'onde. Le seul cas à éviter est de saisir deux fois le même nombre : des niveaux égaux ne produisent aucun photon.

Q: Pourquoi le calculateur refuse-t-il ma saisie quand les deux nombres quantiques sont identiques ?

Quand n_i = n_f, le terme 1/n_f^2 - 1/n_i^2 est nul : le nombre d'onde vaut donc zéro et la longueur d'onde serait infinie — physiquement, il n'y a ni transition ni photon, puisque l'énergie de l'électron ne change pas. Choisissez deux nombres entiers différents, chacun au moins égal à 1. Notez d'ailleurs que n doit être un entier : des valeurs comme 1,5 ne correspondent pas à des niveaux d'énergie valides.

Q: Dans quelle gamme de longueurs d'onde se situent les raies de l'hydrogène ?

La raie la plus courte possible est la limite de Lyman, vers 91,2 nm (ultraviolet lointain), qui correspond à l'énergie d'ionisation totale de 13,6 eV à partir de l'état fondamental. Plus le niveau supérieur est élevé, plus la longueur d'onde est grande et plus les raies se resserrent à l'approche de chaque limite de série. Les transitions aboutissant à n = 2 se situent entre 410 nm et 656 nm — les seules raies de l'hydrogène visibles à l'œil nu ; tout ce qui aboutit à n = 1 est ultraviolet et tout ce qui aboutit à n ≥ 3 est infrarouge.

Q: Puis-je utiliser ce calculateur pour He⁺, Li²⁺ ou d'autres ions hydrogénoïdes ?

Pas directement, mais la correction est simple. Pour un ion à un seul électron de charge nucléaire Z, multipliez le nombre d'onde par Z^2 : 1/λ = R_H Z^2 |1/n_f^2 - 1/n_i^2|. Prenez la longueur d'onde donnée par ce calculateur, puis divisez-la par Z^2. Pour He⁺ (Z = 2), chaque raie est quatre fois plus courte que la raie correspondante de l'hydrogène. La formule ne fonctionne ni pour l'hélium neutre, ni pour aucun atome polyélectronique.

Q: Pourquoi ma longueur d'onde mesurée pour Hα diffère-t-elle légèrement des 656,47 nm calculés ?

Deux raisons fréquentes. D'abord, le calculateur renvoie des longueurs d'onde dans le vide ; dans l'air, la raie se décale d'environ 0,1 à 0,3 nm (Hα s'observe à 656,28 nm dans l'air standard). Ensuite, les instruments à haute résolution séparent la structure fine, le décalage de Lamb et les dédoublements isotopiques, que ce modèle simple ignore. En astronomie, le mouvement du gaz décale également les raies par effet Doppler — une raie Hα décalée vers le rouge ou vers le bleu est tout à fait normale et sert d'ailleurs à mesurer les vitesses.

Q: Quelle est la différence entre R_H et la constante de Rydberg R∞ que je vois dans les manuels ?

R_∞ = 1.0973732×10^7\ m^-1 suppose un noyau de masse infinie, tandis que R_H = 1.0967758×10^7\ m^-1 tient compte de la masse réduite finie du système électron–proton dans l'hydrogène réel. L'écart est d'environ 0,05 %, ce qui décale Hα d'à peu près un tiers de nanomètre. Ce calculateur utilise R_H : ses résultats correspondent donc mieux aux raies de l'hydrogène observées ; réservez R_∞ aux cas où le noyau est considéré comme fixe.

Mis à jour : 15.10.2026

Saisissez les nombres quantiques principaux initial et final d'une transition de l'électron d'un atome d'hydrogène et obtenez la longueur d'onde, la fréquence et l'énergie du photon de la raie spectrale, ainsi que sa série (Lyman, Balmer, Paschen…).

Calculer la longueur d'onde d'une raie de l'hydrogène à partir des nombres quantiques

Formule de l'équation de Rydberg

Formule

\[ \frac{1}{\lambda} = R_H \left| \frac{1}{n_f^2} - \frac{1}{n_i^2} \right| \]

Où :

\(\lambda\) — longueur d'onde du photon émis ou absorbé (m)
\(R_H = 1.0967758 \times 10^7\ \text{m}^{-1}\) — constante de Rydberg de l'hydrogène (corrigée de la masse réduite de l'atome)
\(n_i\) — nombre quantique principal initial de l'électron
\(n_f\) — nombre quantique principal final de l'électron

La formule donne l'inverse de la longueur d'onde (le nombre d'onde) du photon produit lorsqu'un électron d'un atome d'hydrogène passe d'un niveau d'énergie à un autre. Les relations complémentaires \(\nu = c/\lambda\) et \(E = h\nu = hc/\lambda\) permettent de convertir cette longueur d'onde en fréquence et en énergie du photon.

Équation de Rydberg – Exemple de calcul

Exemple : un électron d'un atome d'hydrogène descend du niveau \(n_i = 3\) au niveau \(n_f = 2\) (la transition qui produit la célèbre raie rouge Hα).

\[ \frac{1}{\lambda} = 1.0967758 \times 10^7 \times \left| \frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2} \right| = 1.0967758 \times 10^7 \times \frac{5}{36} = 1.5233 \times 10^6\ \text{m}^{-1} \]

\[ \lambda = \frac{1}{1.5233 \times 10^6} \approx 6.5647 \times 10^{-7}\ \text{m} = 656.47\ \text{nm} \]

\[ \nu = \frac{c}{\lambda} = \frac{2.9979 \times 10^8}{6.5647 \times 10^{-7}} \approx 4.568 \times 10^{14}\ \text{Hz} \]

Résultat : \(\lambda \approx 656.47\) nm, \(\nu \approx 456.81\) THz, énergie du photon \(E \approx 1.89\) eV \((3.03 \times 10^{-19}\) J) — la raie rouge Hα de la série de Balmer.

Comment utiliser le calculateur d'équation de Rydberg

Saisissez le niveau initial (n_i) — le nombre quantique principal d'où part l'électron. Pour une raie d'émission, c'est le niveau le plus élevé (par exemple 3).
Saisissez le niveau final (n_f) — le niveau auquel l'électron aboutit. Pour une raie d'émission, c'est le niveau le plus bas (par exemple 2).
Les deux nombres doivent être des entiers compris entre 1 et 100 et être différents : des niveaux identiques ne produisent aucun photon.
Lisez les résultats : la longueur d'onde en nanomètres, la fréquence en térahertz et l'énergie du photon en eV comme en joules, accompagnées du type de transition, de la série spectrale et du domaine de longueurs d'onde.

Si \(n_i > n_f\), le calculateur décrit une raie d'émission (l'électron retombe et libère un photon) ; si \(n_i < n_f\), il décrit une raie d'absorption (l'électron est porté à un niveau supérieur en absorbant un photon d'exactement la même longueur d'onde).

Qu'est-ce que l'équation de Rydberg ?

L'équation de Rydberg, formulée par Johannes Rydberg en 1888, prédit les longueurs d'onde de toutes les raies spectrales de l'hydrogène atomique. Elle a généralisé la formule empirique de Balmer, valable pour les raies visibles, en une expression unique couvrant tout le spectre. En 1913, Niels Bohr a expliqué pourquoi elle fonctionne : l'électron d'un atome d'hydrogène ne peut occuper que les niveaux discrets \(n = 1, 2, 3, \ldots\), et un photon est émis ou absorbé lorsque l'électron passe de l'un à l'autre, emportant exactement la différence d'énergie entre les deux niveaux.

Chaque niveau ayant une énergie fixe, chaque paire de niveaux correspond à une longueur d'onde bien précise. C'est pourquoi le spectre de l'hydrogène n'est pas un arc-en-ciel continu, mais un ensemble de raies fines — et pourquoi ces raies servent d'empreinte digitale à l'hydrogène, aussi bien en analyse de laboratoire qu'en astronomie.

Les raies se regroupent en séries nommées d'après leur niveau inférieur : la série de Lyman (vers \(n = 1\), ultraviolet), la série de Balmer (vers \(n = 2\), les raies visibles Hα 656 nm, Hβ 486 nm, Hγ 434 nm et Hδ 410 nm), les séries de Paschen (vers \(n = 3\)), de Brackett (vers \(n = 4\)) et de Pfund (vers \(n = 5\)), toutes dans l'infrarouge. À mesure que le niveau supérieur augmente, les raies se resserrent et convergent vers la limite de la série, au-delà de laquelle l'atome est ionisé. Le calculateur identifie automatiquement la série et reconnaît plusieurs raies célèbres comme Hα et Lyman α.

L'énergie du photon se prête à une lecture physique : \(E \approx 1.89\) eV pour Hα correspond à l'écart entre les niveaux \(n = 2\) et \(n = 3\), et 13,6 eV — la limite de la série de Lyman — est l'énergie d'ionisation de l'hydrogène à partir de l'état fondamental.

Hypothèses et limites

La formule ne s'applique qu'à l'atome d'hydrogène (\(Z = 1\)) en phase gazeuse. Pour les ions hydrogénoïdes comme He⁺ ou Li²⁺, multipliez le membre de droite par \(Z^2\).
Les longueurs d'onde sont des valeurs dans le vide, calculées avec la constante de masse réduite \(R_H = 1.0967758 \times 10^7\ \text{m}^{-1}\). Dans l'air, les raies se décalent d'environ 0,1 à 0,3 nm (Hα apparaît à 656,28 nm au lieu de 656,47 nm).
La structure fine, le décalage de Lamb et les effets isotopiques (deutérium, tritium) sont négligés ; ils provoquent des dédoublements inférieurs au nanomètre, qui ne comptent qu'en spectroscopie à haute résolution.
Le modèle décrit un seul électron autour d'un seul noyau — il ne s'applique ni aux atomes polyélectroniques, ni aux molécules, ni aux solides.

Si vous analysez d'autres types de spectres ou d'autres conversions d'énergie, vous trouverez peut-être utile notre calculateur de la loi de Bragg pour l'analyse des longueurs d'onde par diffraction, ou le calculateur de potentiel standard d'une pile pour les calculs d'énergie électrochimique. Pour le comportement cinétique des atomes en phase gazeuse, consultez le calculateur de vitesse moléculaire d'un gaz.

Questions fréquentes

Comment calculer à la main une longueur d'onde de l'hydrogène avec la formule de Rydberg ?

Prenez les inverses des carrés des nombres quantiques, soustrayez-les, puis multipliez par la constante de Rydberg : \(1/\lambda = R_H \cdot |1/n_f^2 - 1/n_i^2|\). Inversez ensuite le résultat pour obtenir la longueur d'onde en mètres. Par exemple, pour \(n_i = 4, n_f = 2\) : \(1/\lambda = 1.0967758\times10^7 \times 3/16 = 2.056\times10^6\ \text{m}^{-1}\), d'où \(\lambda \approx 486\) nm — la raie cyan Hβ.

Est-il important de saisir d'abord le niveau initial ou le niveau final ?

Non : la longueur d'onde, la fréquence et l'énergie du photon sont identiques dans les deux cas, car la formule utilise une valeur absolue. Seule l'interprétation change : saisir d'abord le niveau le plus élevé décrit une émission (l'électron retombe et libère un photon), tandis que saisir d'abord le niveau le plus bas décrit l'absorption d'un photon de même longueur d'onde. Le seul cas à éviter est de saisir deux fois le même nombre : des niveaux égaux ne produisent aucun photon.

Pourquoi le calculateur refuse-t-il ma saisie quand les deux nombres quantiques sont identiques ?

Quand \(n_i = n_f\), le terme \(1/n_f^2 - 1/n_i^2\) est nul : le nombre d'onde vaut donc zéro et la longueur d'onde serait infinie — physiquement, il n'y a ni transition ni photon, puisque l'énergie de l'électron ne change pas. Choisissez deux nombres entiers différents, chacun au moins égal à 1. Notez d'ailleurs que n doit être un entier : des valeurs comme 1,5 ne correspondent pas à des niveaux d'énergie valides.

Dans quelle gamme de longueurs d'onde se situent les raies de l'hydrogène ?

La raie la plus courte possible est la limite de Lyman, vers 91,2 nm (ultraviolet lointain), qui correspond à l'énergie d'ionisation totale de 13,6 eV à partir de l'état fondamental. Plus le niveau supérieur est élevé, plus la longueur d'onde est grande et plus les raies se resserrent à l'approche de chaque limite de série. Les transitions aboutissant à n = 2 se situent entre 410 nm et 656 nm — les seules raies de l'hydrogène visibles à l'œil nu ; tout ce qui aboutit à n = 1 est ultraviolet et tout ce qui aboutit à n ≥ 3 est infrarouge.

Puis-je utiliser ce calculateur pour He⁺, Li²⁺ ou d'autres ions hydrogénoïdes ?

Pas directement, mais la correction est simple. Pour un ion à un seul électron de charge nucléaire Z, multipliez le nombre d'onde par \(Z^2\) : \(1/\lambda = R_H Z^2 |1/n_f^2 - 1/n_i^2|\). Prenez la longueur d'onde donnée par ce calculateur, puis divisez-la par \(Z^2\). Pour He⁺ (Z = 2), chaque raie est quatre fois plus courte que la raie correspondante de l'hydrogène. La formule ne fonctionne ni pour l'hélium neutre, ni pour aucun atome polyélectronique.

Pourquoi ma longueur d'onde mesurée pour Hα diffère-t-elle légèrement des 656,47 nm calculés ?

Deux raisons fréquentes. D'abord, le calculateur renvoie des longueurs d'onde dans le vide ; dans l'air, la raie se décale d'environ 0,1 à 0,3 nm (Hα s'observe à 656,28 nm dans l'air standard). Ensuite, les instruments à haute résolution séparent la structure fine, le décalage de Lamb et les dédoublements isotopiques, que ce modèle simple ignore. En astronomie, le mouvement du gaz décale également les raies par effet Doppler — une raie Hα décalée vers le rouge ou vers le bleu est tout à fait normale et sert d'ailleurs à mesurer les vitesses.

Quelle est la différence entre R_H et la constante de Rydberg R∞ que je vois dans les manuels ?

\(R_\infty = 1.0973732\times10^7\ \text{m}^{-1}\) suppose un noyau de masse infinie, tandis que \(R_H = 1.0967758\times10^7\ \text{m}^{-1}\) tient compte de la masse réduite finie du système électron–proton dans l'hydrogène réel. L'écart est d'environ 0,05 %, ce qui décale Hα d'à peu près un tiers de nanomètre. Ce calculateur utilise \(R_H\) : ses résultats correspondent donc mieux aux raies de l'hydrogène observées ; réservez \(R_\infty\) aux cas où le noyau est considéré comme fixe.