Approximation de la factorielle de Stirling
Estimez instantanément la factorielle d'un grand nombre grâce à l'approximation de Stirling : entrez n et obtenez n! ≈ √(2πn)(n/e)ⁿ en notation scientifique. Idéal pour les statistiques, les probabilités et la combinatoire.
Calculateur d'approximation de Stirling
Formule de l'approximation de Stirling
Où :
- \(n\) — le nombre dont on approxime la factorielle (\(n \ge 1\))
- \(\pi\) — la constante mathématique pi (≈ 3,14159)
- \(e\) — le nombre d'Euler (≈ 2,71828)
La formule remplace le produit \(1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots n\) par une expression explicite faisant intervenir une racine carrée et un terme exponentiel, évaluable en temps constant quelle que soit la taille de \(n\).
Approximation de Stirling – Exemple de calcul
Exemple : approximer la factorielle de 5.
\[n! \approx \sqrt{2\pi \cdot 5}\left(\frac{5}{e}\right)^{5}\]
\[\sqrt{10\pi} \approx 5.60499, \qquad \left(\frac{5}{e}\right)^{5} = \frac{3125}{e^{5}} \approx 21.05609\]
\[5! \approx 5.60499 \times 21.05609 \approx 118.019\]
Résultat : \(5! \approx 1.180190 \times 10^{2}\). La valeur exacte est \(5! = 120\) : l'approximation la sous-estime donc d'environ 1,65 %.
Comment utiliser le calculateur
- Entrez un entier positif dans le champ Nombre d'éléments (n). La valeur par défaut est 5.
- Le champ de résultat intitulé n! ≈ affiche immédiatement la factorielle approximée en notation scientifique (par exemple,
1.180190e+2). - Pour estimer une autre factorielle, saisissez simplement une nouvelle valeur de \(n\) ; le résultat se met à jour automatiquement.
Qu'est-ce que l'approximation de Stirling ?
Une factorielle \(n!\) est le produit de tous les entiers de 1 à \(n\). Les factorielles croissent extrêmement vite : \(10!\) vaut déjà 3 628 800, et \(100!\) est un nombre à 158 chiffres. Calculer ces valeurs exactement exige une arithmétique en précision arbitraire, et dans de nombreuses applications, les chiffres exacts ne sont tout simplement pas nécessaires. L'approximation de Stirling, du nom du mathématicien écossais du XVIIIᵉ siècle James Stirling, donne une estimation rapide de \(n!\) à l'aide d'opérations élémentaires seulement.
Cette approximation est remarquablement précise. L'erreur relative vaut environ \(\frac{1}{12n}\), soit environ 0,8 % pour \(n = 10\), 0,1 % pour \(n = 80\), et devient infinitésimale pour les très grands \(n\). C'est pourquoi cette formule est une pierre angulaire de l'analyse asymptotique : elle transforme des produits à croissance factorielle en expressions faisant intervenir \(n^{n}\), \(e^{n}\) et \(\sqrt{n}\), bien plus faciles à manipuler algébriquement.
L'approximation de Stirling apparaît dans toutes les branches des mathématiques et des sciences. Elle est à la base de la dérivation de l'approximation normale de la loi binomiale, de la formule d'entropie en mécanique statistique et en théorie de l'information, ainsi que du comportement asymptotique de la fonction Gamma \(\Gamma(n+1) = n!\). C'est aussi l'outil standard pour estimer les coefficients binomiaux, qui comptent les arrangements dans les structures combinatoires, comme celles générées par le triangle harmonique de Leibniz ou les sommes produites par le triangle de Floyd.
Précision de l'approximation
| \(n\) | \(n!\) exacte | Approximation de Stirling | Erreur relative |
|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 0,9221 | −7,79 % |
| 2 | 2 | 1,9190 | −4,05 % |
| 5 | 120 | 118,019 | −1,65 % |
| 10 | 3 628 800 | 3 598 696 | −0,83 % |
| 20 | 2,4329×1018 | 2,4228×1018 | −0,42 % |
On remarque que l'approximation sous-estime toujours la valeur exacte et que l'erreur diminue régulièrement à mesure que \(n\) augmente. Pour la plupart des usages pratiques, l'estimation est déjà excellente dès \(n = 20\).
Limites et conseils pratiques
- Petits n : la formule est conçue pour les grands \(n\). Pour \(n < 10\), l'erreur peut être perceptible ; utilisez la factorielle exacte lorsque chaque chiffre compte.
- Toujours une légère sous-estimation : la version simple utilisée ici omet les facteurs de correction ; une variante plus précise multiplie le résultat par \(e^{1/(12n)}\).
- Résultat en notation scientifique : les résultats sont affichés sous forme exponentielle (par exemple
9.332621e+157pour \(n = 100\)), ce qui est la manière standard de représenter les nombres trop grands pour la notation décimale ordinaire. - Entrée entière uniquement : entrez un entier positif. Pour les arguments non entiers, la généralisation de la factorielle est la fonction Gamma, qui vérifie la même approximation pour les grands arguments.
- Estimations d'ordre de grandeur : lorsqu'on compare des taux de croissance, par exemple une progression arithmétique face à la croissance factorielle, la formule de Stirling montre rapidement que \(n!\) finit par écraser tout polynôme ou toute exponentielle \(c^{n}\).
Questions fréquentes
Comment calculer l'approximation de Stirling à la main ?
Prenez le nombre n, divisez-le par e (≈ 2,71828) et élevez le résultat à la puissance n. Multipliez ensuite par la racine carrée de 2πn. Par exemple, pour n = 10 : \((10/e)^{10} \approx 1,0189\) million, ce qui est trop pénible à calculer à la main ; on travaille donc habituellement avec les logarithmes : \(\ln(n!) \approx n\ln n - n + \frac{1}{2}\ln(2\pi n)\), ce qui garde toutes les quantités gérables même pour n de l'ordre du million.
Pourquoi l'approximation de Stirling sous-estime-t-elle toujours la factorielle exacte ?
La formule de base \(\sqrt{2\pi n}(n/e)^{n}\) est le premier terme d'une série asymptotique infinie. Le facteur de correction suivant est \(e^{1/(12n)}\), légèrement supérieur à 1 ; la valeur exacte est donc toujours un peu plus grande que l'estimation. Multiplier le résultat du calculateur par \(e^{1/(12n)}\) élimine l'essentiel de l'erreur restante ; la correction descend sous 1 % dès que n dépasse environ 9.
Quelle est la précision de l'approximation de Stirling selon les valeurs de n ?
L'erreur relative vaut approximativement \(\frac{1}{12n}\). Cela représente environ 8 % d'erreur pour n = 1, 0,8 % pour n = 10, 0,1 % pour n = 80 et moins de 0,01 % au-delà de n = 850. Si vous avez besoin de la valeur entière exacte de n! (par exemple dans des preuves de combinatoire), calculez la factorielle directement pour les petits n ; pour les estimations statistiques et les comparaisons d'ordre de grandeur, la formule de Stirling est pratiquement toujours suffisante.
Quelles unités possède une factorielle ?
Une factorielle est un simple dénombrement d'arrangements ordonnés : elle est donc sans dimension — il n'y a aucune unité à convertir. Le résultat n'est qu'un très grand nombre, d'où son affichage en notation scientifique (par exemple 9,33e+157). Si vous voyez l'exposant écrit 1e+157, cela signifie 10 élevé à la puissance 157, et non « 157 factorielle » ni un préfixe d'unité.
Peut-on utiliser la formule de Stirling pour des nombres non entiers ou négatifs ?
Pas directement. La factorielle n'est définie que pour les entiers naturels, et ce calculateur exige un entier positif. Pour des valeurs fractionnaires comme 4,5 ou 7,3, l'outil approprié est la fonction Gamma, où \(\Gamma(n+1) = n!\) et où la même approximation \(\Gamma(x+1) \approx \sqrt{2\pi x}(x/e)^{x}\) est valable pour les grands x. Pour les nombres négatifs non entiers, la fonction Gamma est définie, mais l'approximation de Stirling exige un traitement prudent avec des nombres complexes.
Que se passe-t-il si j'entre un n très grand, comme 10 000 ou 1 milliard ?
La formule s'évalue en temps constant : les entrées énormes ne posent donc aucun problème — c'est son principal avantage sur la multiplication de tous les entiers jusqu'à n. Cependant, l'arithmétique standard en double précision sature autour de \(1.8 \times 10^{308}\), ce qui correspond à environ n = 170. Au-delà, le calculateur renvoie Infinity ; pour traiter des n plus grands, utilisez plutôt la forme logarithmique \(n\ln n - n + \frac{1}{2}\ln(2\pi n)\).
Où l'approximation de Stirling est-elle utilisée en pratique ?
Elle est centrale partout où des factorielles apparaissent dans les formules. En probabilités, elle justifie l'approximation normale de la loi binomiale ; en mécanique statistique, elle transforme les factorielles des formules d'entropie en \(n\ln n - n\), donnant les célèbres expressions de l'entropie de Boltzmann et de Shannon ; et en analyse d'algorithmes, elle estime le coût des algorithmes qui engendrent des permutations. Elle fournit aussi des estimations rapides des coefficients binomiaux via \(\binom{n}{k} \approx \frac{n!}{k!(n-k)!}\).