Calculateur de l’inégalité de Bernoulli

Q: Comment vérifier l’inégalité de Bernoulli à la main, sans calculateur ?

Calculez séparément les deux membres, puis comparez-les. Commencez par calculer (1+x)^r : si r est entier, utilisez la formule du binôme ou effectuez les multiplications étape par étape. Calculez ensuite l’estimation linéaire 1 + rx. Soustrayez : la différence (1+x)^r - (1+rx) doit être nulle ou positive. Par exemple, avec x = 2 et r = 4 : 3^4 = 81 contre 1 + 8 = 9, et 81 - 9 = 72 ≥ 0. L’inégalité est donc vérifiée avec une grande marge.

Q: Pourquoi l’inégalité exige-t-elle x ≥ −1 ?

La condition x ≥ -1 garantit que 1 + x ≥ 0. C’est important, car la démonstration classique multiplie les deux membres de l’inégalité par 1 + x, et multiplier une inégalité par un nombre négatif en inverse le sens. Si x < -1, la base devient négative et l’inégalité peut ne plus être vérifiée — parfois de manière spectaculaire, car une base négative élevée à une puissance paire ou impaire se comporte très différemment. C’est pourquoi le champ de saisie de la page bloque les valeurs inférieures à -1.

Q: L’inégalité de Bernoulli est-elle valable pour des exposants fractionnaires comme r = 1,5 ?

Oui. Bien que la démonstration classique par récurrence ne porte que sur les entiers, l’inégalité (1+x)^r ≥ 1+rx est valable pour tout réel r ≥ 1, tant que x ≥ -1. Cela découle de l’analyse : la fonction f(x) = (1+x)^r - 1 - rx vérifie f(0) = 0 et sa dérivée est non négative pour x ≥ 0 lorsque r ≥ 1. Les exposants fractionnaires compris entre 1 et 2 conviennent donc ; le calculateur les prend en charge.

Q: Que se passe-t-il si r est compris entre 0 et 1 ?

Pour 0 ≤ r ≤ 1, le sens de l’inégalité s’inverse : on obtient (1+x)^r ≤ 1 + rx. Intuitivement, prendre une racine de faible degré d’un nombre abaisse les grandes valeurs et relève les petites ; l’expression linéaire se trouve donc désormais au-dessus de la courbe plutôt qu’en dessous. Un exemple rapide : (1+3)^0.5 = √(4) = 2, tandis que 1 + 0.5 × 3 = 2.5, et en effet 2 ≤ 2.5. Les deux sens se rejoignent pour r = 1, lorsque les deux membres sont égaux.

Q: Quel est le lien entre l’inégalité de Bernoulli et les intérêts composés ?

En finance, 1 + rx représente les intérêts simples sur un capital après r périodes au taux x, tandis que (1+x)^r représente les intérêts composés sur les mêmes périodes. L’inégalité de Bernoulli exprime mathématiquement le fait que la capitalisation ne rapporte jamais moins que les intérêts simples — lorsque le taux est non négatif. C’est pourquoi la croissance composée dépasse la croissance linéaire dans les projections à long terme et pourquoi cette inégalité apparaît souvent dans les démonstrations concernant les progressions géométriques et les modèles de croissance exponentielle.

Q: Quelles sont les erreurs courantes dans l’utilisation de l’inégalité de Bernoulli ?

Les erreurs les plus fréquentes sont les suivantes : l’appliquer avec x < -1, cas dans lequel le résultat n’est plus valable ; supposer qu’elle fonctionne pour tous les exposants — elle n’est pas valable dans le sens habituel pour 0 < r < 1 ; et confondre les formes stricte et non stricte. Il y a égalité uniquement lorsque x = 0 ou r = 1 (ou, trivialement, lorsque x = 0 pour n’importe quel r) ; sinon, le membre de gauche est strictement supérieur. Évitez également d’arrondir les deux membres trop tôt lorsque les valeurs sont proches : comparez des nombres exacts ou arrondis avec une précision suffisante.

Q: Comment démontrer l’inégalité de Bernoulli par récurrence ?

Initialisation pour r = 1 : les deux membres valent 1 + x. Hérédité : supposons que (1+x)^r ≥ 1 + rx. Multiplions les deux membres par 1 + x, ce qui est permis puisque x ≥ -1 rend ce facteur non négatif : (1+x)^r+1 ≥ (1+rx)(1+x) = 1 + (r+1)x + rx^2. Comme rx^2 ≥ 0, cette expression est au moins égale à 1 + (r+1)x, ce qui achève l’étape. Le terme supplémentaire rx^2 explique précisément pourquoi l’écart entre les deux membres se creuse lorsque r augmente.

Mis à jour : 03.10.2026

Vérifiez instantanément l’inégalité de Bernoulli : saisissez une valeur de x (x ≥ −1) et un exposant r. Le calculateur compare (1 + x)^r à 1 + rx et indique quel membre est le plus grand.

Vérifier l’inégalité de Bernoulli

Formule de l’inégalité de Bernoulli

Formule

\[ (1 + x)^r \geq 1 + rx \quad \text{pour } x \geq -1, \; r \geq 1 \]

Où :

\(x\) — un nombre réel tel que \(x \geq -1\)
\(r\) — l’exposant, un entier \(r \geq 1\) (l’inégalité est également valable pour tout réel \(r \geq 1\))
\((1 + x)^r\) — le membre de gauche, la puissance calculée
\(1 + rx\) — le membre de droite, l’approximation linéaire de cette puissance

L’inégalité affirme que la puissance de \(1 + x\) n’est jamais inférieure à la simple expression linéaire \(1 + rx\), tant que \(x \geq -1\) et \(r \geq 1\). Il y a égalité uniquement lorsque \(x = 0\) ou \(r = 1\).

Inégalité de Bernoulli – exemple de calcul

Exemple : vérifions l’inégalité pour \(x = 0.5\) et \(r = 3\).

\[ (1 + 0.5)^3 = 1.5^3 = 3.375 \]

\[ 1 + 3 \times 0.5 = 1 + 1.5 = 2.5 \]

Comparons les deux membres : \(3.375 \geq 2.5\), donc l’inégalité est vérifiée.

Résultat : \((1 + 0.5)^3 = 3.375 \geq 1 + 3 \times 0.5 = 2.5\) — l’inégalité de Bernoulli est vérifiée.

Comment utiliser le calculateur

Saisissez la valeur de x dans le premier champ. Tout nombre supérieur ou égal à \(-1\) est valide ; la valeur par défaut est 0,5.
Saisissez l’exposant r dans le deuxième champ. Utilisez une valeur d’au moins 1 ; la valeur par défaut est 3.
Le champ Résultat de la comparaison affiche les deux membres de l’inégalité avec le signe de comparaison approprié (≥ ou <). Vous pouvez ainsi voir d’un coup d’œil si l’inégalité de Bernoulli est vérifiée pour les valeurs saisies.

Qu’est-ce que l’inégalité de Bernoulli ?

L’inégalité de Bernoulli est un résultat classique d’algèbre et d’analyse mathématique, nommé d’après Jacob Bernoulli. Elle fournit une borne inférieure garantie pour la puissance \((1 + x)^r\) : quelle que soit la grandeur de l’exposant, la valeur réelle de la puissance n’est jamais inférieure à l’estimation linéaire \(1 + rx\). Autrement dit, \(1 + rx\) est la meilleure approximation linéaire de \((1 + x)^r\) qui ne la dépasse jamais.

L’inégalité se vérifie facilement dans les cas simples. Pour \(r = 2\), le développement donne \((1 + x)^2 = 1 + 2x + x^2 \geq 1 + 2x\), car le terme supplémentaire \(x^2\) n’est jamais négatif. Chaque facteur supplémentaire \((1 + x)\) ajoute d’autres termes non négatifs. C’est pourquoi l’inégalité se renforce lorsque \(r\) augmente : l’écart entre les deux membres se creuse.

Ce résultat intervient chaque fois qu’il faut estimer rapidement des puissances : pour démontrer des limites en analyse, majorer les termes d’erreur dans des approximations, analyser la convergence de suites telles que les progressions géométriques et modéliser la croissance composée en finance. C’est également un outil courant dans les démonstrations par récurrence, puisque le passage de \(r\) à \(r + 1\) découle directement de la multiplication des deux membres par le nombre non négatif \(1 + x\).

Interpréter le résultat

Lorsque le calculateur affiche \(\geq\), l’inégalité est vérifiée pour les valeurs saisies, comme attendu dès lors que \(x \geq -1\) et \(r \geq 1\). S’il affiche <, au moins une des conditions n’est pas respectée — généralement \(x < -1\), qui se situe hors de l’intervalle de validité. Notez que, pour \(0 \leq r \leq 1\), le sens de l’inégalité s’inverse : \((1 + x)^r \leq 1 + rx\).

L’égalité est un cas particulier : elle se produit exactement lorsque \(x = 0\) (les deux membres valent 1) ou lorsque \(r = 1\) (les deux membres valent \(1 + x\)). Pour toutes les autres valeurs valides, le membre de gauche est strictement supérieur au membre de droite.

Hypothèses et limites

Valeurs de \(x\) : l’inégalité exige \(x \geq -1\). Le champ de saisie du calculateur impose une valeur minimale de \(-1\).
Valeurs de \(r\) : la forme classique exige \(r \geq 1\). La démonstration classique par récurrence porte sur les exposants entiers, mais le résultat s’étend à tous les réels \(r \geq 1\).
Arrondi : le calculateur compare les deux membres arrondis à trois décimales. Les valeurs extrêmement proches sont donc comparées après arrondi, et non de manière exacte.
Outils associés : pour explorer les termes qui expliquent cette inégalité, essayez le calculateur de coefficients binomiaux ou entraînez-vous à développer des produits avec le calculateur de la méthode FOIL. Pour résoudre des inégalités plutôt que comparer des expressions linéaires, consultez le calculateur d’inégalités linéaires. Pour les problèmes de croissance, le calculateur de progression géométrique est un complément naturel.

Questions fréquentes

Comment vérifier l’inégalité de Bernoulli à la main, sans calculateur ?

Calculez séparément les deux membres, puis comparez-les. Commencez par calculer \((1+x)^r\) : si \(r\) est entier, utilisez la formule du binôme ou effectuez les multiplications étape par étape. Calculez ensuite l’estimation linéaire \(1 + rx\). Soustrayez : la différence \((1+x)^r - (1+rx)\) doit être nulle ou positive. Par exemple, avec \(x = 2\) et \(r = 4\) : \(3^4 = 81\) contre \(1 + 8 = 9\), et \(81 - 9 = 72 \geq 0\). L’inégalité est donc vérifiée avec une grande marge.

Pourquoi l’inégalité exige-t-elle x ≥ −1 ?

La condition \(x \geq -1\) garantit que \(1 + x \geq 0\). C’est important, car la démonstration classique multiplie les deux membres de l’inégalité par \(1 + x\), et multiplier une inégalité par un nombre négatif en inverse le sens. Si \(x < -1\), la base devient négative et l’inégalité peut ne plus être vérifiée — parfois de manière spectaculaire, car une base négative élevée à une puissance paire ou impaire se comporte très différemment. C’est pourquoi le champ de saisie de la page bloque les valeurs inférieures à \(-1\).

L’inégalité de Bernoulli est-elle valable pour des exposants fractionnaires comme r = 1,5 ?

Oui. Bien que la démonstration classique par récurrence ne porte que sur les entiers, l’inégalité \((1+x)^r \geq 1+rx\) est valable pour tout réel \(r \geq 1\), tant que \(x \geq -1\). Cela découle de l’analyse : la fonction \(f(x) = (1+x)^r - 1 - rx\) vérifie \(f(0) = 0\) et sa dérivée est non négative pour \(x \geq 0\) lorsque \(r \geq 1\). Les exposants fractionnaires compris entre 1 et 2 conviennent donc ; le calculateur les prend en charge.

Que se passe-t-il si r est compris entre 0 et 1 ?

Pour \(0 \leq r \leq 1\), le sens de l’inégalité s’inverse : on obtient \((1+x)^r \leq 1 + rx\). Intuitivement, prendre une racine de faible degré d’un nombre abaisse les grandes valeurs et relève les petites ; l’expression linéaire se trouve donc désormais au-dessus de la courbe plutôt qu’en dessous. Un exemple rapide : \((1+3)^{0.5} = \sqrt{4} = 2\), tandis que \(1 + 0.5 \times 3 = 2.5\), et en effet \(2 \leq 2.5\). Les deux sens se rejoignent pour \(r = 1\), lorsque les deux membres sont égaux.

Quel est le lien entre l’inégalité de Bernoulli et les intérêts composés ?

En finance, \(1 + rx\) représente les intérêts simples sur un capital après \(r\) périodes au taux \(x\), tandis que \((1+x)^r\) représente les intérêts composés sur les mêmes périodes. L’inégalité de Bernoulli exprime mathématiquement le fait que la capitalisation ne rapporte jamais moins que les intérêts simples — lorsque le taux est non négatif. C’est pourquoi la croissance composée dépasse la croissance linéaire dans les projections à long terme et pourquoi cette inégalité apparaît souvent dans les démonstrations concernant les progressions géométriques et les modèles de croissance exponentielle.

Quelles sont les erreurs courantes dans l’utilisation de l’inégalité de Bernoulli ?

Les erreurs les plus fréquentes sont les suivantes : l’appliquer avec \(x < -1\), cas dans lequel le résultat n’est plus valable ; supposer qu’elle fonctionne pour tous les exposants — elle n’est pas valable dans le sens habituel pour \(0 < r < 1\) ; et confondre les formes stricte et non stricte. Il y a égalité uniquement lorsque \(x = 0\) ou \(r = 1\) (ou, trivialement, lorsque \(x = 0\) pour n’importe quel \(r\)) ; sinon, le membre de gauche est strictement supérieur. Évitez également d’arrondir les deux membres trop tôt lorsque les valeurs sont proches : comparez des nombres exacts ou arrondis avec une précision suffisante.

Comment démontrer l’inégalité de Bernoulli par récurrence ?

Initialisation pour \(r = 1\) : les deux membres valent \(1 + x\). Hérédité : supposons que \((1+x)^r \geq 1 + rx\). Multiplions les deux membres par \(1 + x\), ce qui est permis puisque \(x \geq -1\) rend ce facteur non négatif : \((1+x)^{r+1} \geq (1+rx)(1+x) = 1 + (r+1)x + rx^2\). Comme \(rx^2 \geq 0\), cette expression est au moins égale à \(1 + (r+1)x\), ce qui achève l’étape. Le terme supplémentaire \(rx^2\) explique précisément pourquoi l’écart entre les deux membres se creuse lorsque \(r\) augmente.