Calculateur de racines d’un nombre complexe

Q: Comment trouver à la main les racines n-ièmes d’un nombre complexe ?

Commencez par convertir z = a + bi en forme trigonométrique : calculez le module r = √(a^2 + b^2) et l’argument θ. Chaque racine est alors donnée par z_k = r^1/n[cos((θ + 2π k)/n) + isin((θ + 2π k)/n)] , pour k = 0, 1, ldots, n-1. Enfin, calculez le cosinus et le sinus pour revenir à la forme algébrique. Une calculatrice ou une table trigonométrique facilite cette dernière étape.

Q: Combien de racines n-ièmes un nombre complexe possède-t-il ?

Tout nombre complexe non nul possède exactement n racines n-ièmes distinctes. Par exemple, une racine carrée a 2 solutions, une racine cubique en a 3 et une racine quatrième en a 4. Géométriquement, les n racines se trouvent sur un cercle de rayon r^1/n centré sur l’origine et forment les sommets d’un polygone régulier à n côtés. La seule exception est zéro, dont l’unique racine n-ième est 0.

Q: Quelles sont les racines cubiques de 1 et pourquoi 1 n’est-il pas la seule ?

Dans les nombres complexes, 1 possède trois racines cubiques : 1, -0.5 + 0.866i et -0.5 - 0.866i. Leurs formes exactes sont 1, e^2π i/3 et e^4π i/3. Les deux racines complexes sont appelées racines cubiques primitives de l’unité et interviennent fréquemment en algèbre et en traitement du signal. Saisissez a = 1, b = 0, n = 3 pour les voir.

Q: Ce calculateur peut-il traiter les nombres réels négatifs, comme pour la racine carrée de -1 ?

Oui. Saisissez a = -1, b = 0, n = 2 et vous obtenez les deux racines i et -i. De même, les racines cubiques de -8 comprennent la racine réelle -2 et deux racines complexes. Les nombres négatifs ne posent aucun problème, car le calculateur utilise l’arc tangente à deux arguments (atan2), qui place correctement l’angle dans le bon quadrant même lorsque a est négatif ou nul.

Q: Quelle est la différence entre la forme algébrique et la forme trigonométrique, et laquelle le calculateur utilise-t-il ?

La forme algébrique est a + bi (les coordonnées x et y d’un point) ; la forme trigonométrique est r(cosθ + isinθ) (une distance et un angle). Vous saisissez le nombre sous forme algébrique, et le résultat est également affiché sous forme algébrique, arrondi à 4 décimales. Le calcul lui-même s’effectue en interne sous forme trigonométrique, car la formule de Moivre facilite le calcul des racines dans cette forme. Pour conserver des résultats symboliques exacts comme 2^1/4cos(π/8), gardez la forme trigonométrique.

Mis à jour : 03.10.2026

Trouvez les n racines de tout nombre complexe a + bi. Saisissez la partie réelle, la partie imaginaire et le degré de la racine : le calculateur affiche chaque racine n-ième sous forme algébrique (a + bi) grâce à la formule de Moivre.

Calculer les racines n-ièmes d’un nombre complexe

Formule des racines complexes (formule de Moivre)

Formule

\[ z_k = r^{1/n} \left[ \cos\!\left( \frac{\theta + 2\pi k}{n} \right) + i \sin\!\left( \frac{\theta + 2\pi k}{n} \right) \right], \quad k = 0, 1, \ldots, n-1 \]

Où :

\(z = a + bi\) — le nombre complexe dont vous cherchez les racines
\(r = \sqrt{a^2 + b^2}\) — le module (valeur absolue) de \(z\)
\(\theta = \arctan(b/a)\) — l’argument (angle) de \(z\)
\(n\) — le degré de la racine
\(k\) — un entier de \(0\) à \(n-1\) qui permet d’indexer les \(n\) racines distinctes

Tout nombre complexe (sauf 0) possède exactement \(n\) racines n-ièmes distinctes. Elles ont toutes le même module \(r^{1/n}\) et sont réparties régulièrement autour de l’origine, avec un écart angulaire de \(2\pi/n\) radians. C’est une conséquence directe de la formule de Moivre.

Racines d’un nombre complexe – exemple de calcul

Exemple : cherchons les racines carrées de \(z = 1 + i\), avec \(a = 1\), \(b = 1\) et \(n = 2\).

Étape 1 — calcul du module et de l’argument :
\[ r = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}, \qquad \theta = \arctan\!\left(\tfrac{1}{1}\right) = \tfrac{\pi}{4} \]

Étape 2 — application de la formule pour \(k = 0\) et \(k = 1\), avec \(r^{1/2} = \sqrt{2}^{\,1/2} = 2^{1/4} \approx 1.1892\) :
\[ z_0 = 2^{1/4}\left[ \cos\!\left(\tfrac{\pi}{8}\right) + i \sin\!\left(\tfrac{\pi}{8}\right) \right] \approx 1.0987 + 0.4551i \]
\[ z_1 = 2^{1/4}\left[ \cos\!\left(\tfrac{\pi}{8} + \pi\right) + i \sin\!\left(\tfrac{\pi}{8} + \pi\right) \right] \approx -1.0987 - 0.4551i \]

Résultat : les deux racines carrées de \(1 + i\) sont approximativement \(1.0987 + 0.4551i\) et \(-1.0987 - 0.4551i\). Vous pouvez le vérifier en élevant chaque racine au carré : vous retrouverez \(1 + i\) dans les deux cas.

Comment utiliser le calculateur de racines d’un nombre complexe

Saisissez la partie réelle (a) de votre nombre complexe — pour \(z = 1 + i\), elle vaut 1.
Saisissez la partie imaginaire (b) — pour \(z = 1 + i\), elle vaut 1 (le \(i\) est ajouté automatiquement).
Saisissez le degré de la racine (n) — n’importe quel entier positif : 2 pour les racines carrées, 3 pour les racines cubiques, 4 pour les racines quatrièmes, et ainsi de suite.
Consultez le résultat : le calculateur affiche les \(n\) racines sous forme algébrique \(a + bi\), arrondies à 4 décimales.

Que sont les racines d’un nombre complexe et pourquoi sont-elles importantes ?

Un nombre complexe est un nombre de la forme \(z = a + bi\), où \(i = \sqrt{-1}\). Extraire la racine n-ième d’un nombre complexe consiste à trouver toutes les valeurs \(w\) telles que \(w^n = z\). Contrairement aux nombres réels, qui ont au plus deux racines carrées, un nombre complexe non nul possède toujours exactement \(n\) racines n-ièmes distinctes : une racine carrée a 2 solutions, une racine cubique en a 3, une racine quatrième en a 4, et ainsi de suite.

La raison est géométrique. Lorsqu’un nombre complexe est écrit sous forme trigonométrique, la multiplication de deux nombres additionne leurs angles : \((r_1, \theta_1) \times (r_2, \theta_2) = (r_1 r_2, \theta_1 + \theta_2)\). Une racine n-ième doit donc avoir pour module \(r^{1/n}\) et pour angle l’une des \(n\) valeurs \((\theta + 2\pi k)/n\). Dans le plan complexe, les n racines forment les sommets d’un polygone régulier à n côtés centré sur l’origine. Ce calculateur vous permet d’explorer cette belle représentation géométrique en calculant les racines carrées, cubiques ou de degré supérieur de n’importe quel nombre.

Les racines complexes interviennent partout en mathématiques et en ingénierie. Elles sont essentielles pour résoudre les équations polynomiales (le théorème fondamental de l’algèbre garantit qu’un polynôme de degré n possède exactement n racines complexes), analyser les circuits en courant alternatif et traiter les signaux (phaseurs), étudier les oscillations et la stabilité des systèmes de commande, ainsi que les fractales obtenues par itération de fonctions complexes. Si vous travaillez sur les équations du second degré, le calculateur d’équations du second degré et le calculateur de discriminant traitent également le cas des solutions réelles et complexes.

Pour vérifier ou convertir vous-même les données saisies, essayez le convertisseur de nombre complexe en forme trigonométrique, le calculateur du module d’un nombre complexe ou le calculateur de conjugué complexe pour effectuer des opérations connexes sur \(a + bi\).

Hypothèses, limites et conseils

Les racines sont arrondies à 4 décimales. Des valeurs comme \(\cos(\pi/8)\) sont irrationnelles : le résultat affiché est donc une approximation. Pour obtenir une valeur exacte, conservez la forme trigonométrique \(2^{1/4}[\cos(\pi/8) + i\sin(\pi/8)]\).
Le degré de la racine doit être un entier positif (supérieur ou égal à 1). Les exposants fractionnaires et les degrés négatifs ne sont pas pris en charge ; le degré 1 renvoie simplement le nombre lui-même.
Cas particulier z = 0 : la seule racine n-ième de zéro est 0, quel que soit le degré. Le calculateur traite correctement ce cas, mais les racines ne forment alors aucun polygone régulier.
Conseil de vérification : élevez n’importe quelle racine affichée à la puissance n (multipliez-la n fois par elle-même) : vous devriez retrouver le nombre initial, aux erreurs d’arrondi près. Pour \(n = 2\), les deux racines sont toujours opposées ; pour \(n = 3\) et au-delà, vérifiez que toutes les racines ont le même module.
Les nombres réels négatifs fonctionnent aussi. Saisissez \(a = -1\), \(b = 0\), \(n = 2\) et vous obtenez \(\pm i\) — le résultat classique \(\sqrt{-1} = \pm i\) dans les nombres complexes.

Questions fréquentes

Comment trouver à la main les racines n-ièmes d’un nombre complexe ?

Commencez par convertir \(z = a + bi\) en forme trigonométrique : calculez le module \(r = \sqrt{a^2 + b^2}\) et l’argument \(\theta\). Chaque racine est alors donnée par \( z_k = r^{1/n}[\cos((\theta + 2\pi k)/n) + i\sin((\theta + 2\pi k)/n)] \), pour \(k = 0, 1, \ldots, n-1\). Enfin, calculez le cosinus et le sinus pour revenir à la forme algébrique. Une calculatrice ou une table trigonométrique facilite cette dernière étape.

Combien de racines n-ièmes un nombre complexe possède-t-il ?

Tout nombre complexe non nul possède exactement \(n\) racines n-ièmes distinctes. Par exemple, une racine carrée a 2 solutions, une racine cubique en a 3 et une racine quatrième en a 4. Géométriquement, les \(n\) racines se trouvent sur un cercle de rayon \(r^{1/n}\) centré sur l’origine et forment les sommets d’un polygone régulier à n côtés. La seule exception est zéro, dont l’unique racine n-ième est 0.

Quelles sont les racines cubiques de 1 et pourquoi 1 n’est-il pas la seule ?

Dans les nombres complexes, \(1\) possède trois racines cubiques : \(1\), \(-0.5 + 0.866i\) et \(-0.5 - 0.866i\). Leurs formes exactes sont \(1\), \(e^{2\pi i/3}\) et \(e^{4\pi i/3}\). Les deux racines complexes sont appelées racines cubiques primitives de l’unité et interviennent fréquemment en algèbre et en traitement du signal. Saisissez \(a = 1\), \(b = 0\), \(n = 3\) pour les voir.

Pourquoi la racine carrée d’un nombre complexe donne-t-elle deux réponses ?

Parce que le carré de chacune des deux réponses redonne le nombre initial. Si \(w\) est une racine carrée de \(z\), alors \((-w)^2 = w^2 = z\) également. Les deux racines carrées sont toujours opposées et se trouvent aux extrémités d’un diamètre d’un cercle de rayon \(\sqrt{r}\). Cela diffère de la convention habituelle pour les nombres réels, selon laquelle \(\sqrt{x}\) désigne uniquement la racine positive : dans le plan complexe, il n’existe pas de choix « positif » naturel.

Ce calculateur peut-il traiter les nombres réels négatifs, comme pour la racine carrée de -1 ?

Oui. Saisissez \(a = -1\), \(b = 0\), \(n = 2\) et vous obtenez les deux racines \(i\) et \(-i\). De même, les racines cubiques de \(-8\) comprennent la racine réelle \(-2\) et deux racines complexes. Les nombres négatifs ne posent aucun problème, car le calculateur utilise l’arc tangente à deux arguments (atan2), qui place correctement l’angle dans le bon quadrant même lorsque \(a\) est négatif ou nul.

Quelle est la différence entre la forme algébrique et la forme trigonométrique, et laquelle le calculateur utilise-t-il ?

La forme algébrique est \(a + bi\) (les coordonnées x et y d’un point) ; la forme trigonométrique est \(r(\cos\theta + i\sin\theta)\) (une distance et un angle). Vous saisissez le nombre sous forme algébrique, et le résultat est également affiché sous forme algébrique, arrondi à 4 décimales. Le calcul lui-même s’effectue en interne sous forme trigonométrique, car la formule de Moivre facilite le calcul des racines dans cette forme. Pour conserver des résultats symboliques exacts comme \(2^{1/4}\cos(\pi/8)\), gardez la forme trigonométrique.

Je ne retrouve pas le nombre initial en élevant le résultat à la puissance n : que s’est-il passé ?

Il s’agit très probablement d’un effet de l’arrondi. Le calculateur arrondit à 4 décimales et, lorsque vous multipliez une racine arrondie \(n\) fois par elle-même, de petites erreurs s’accumulent — surtout si \(n\) est grand ou si le module des racines est élevé. Pour vérifier à la main, utilisez des valeurs intermédiaires avec toute leur précision. Vérifiez aussi que vous avez saisi le bon degré et que vous élevez la racine exactement à la puissance \(n\), et non à la puissance \(n-1\).