Calculatrice de systèmes par élimination
Résolvez un système de deux équations linéaires par élimination. Saisissez les six coefficients a1, b1, c1, a2, b2 et c2 pour obtenir les valeurs de x et de y, ou un message si le système n’a pas de solution unique.
Résoudre des systèmes linéaires par élimination
Méthode par élimination
Avec :
- \(a_1, b_1, c_1\) — les coefficients et la constante de la première équation
- \(a_2, b_2, c_2\) — les coefficients et la constante de la deuxième équation
- \(D = a_1b_2 - a_2b_1\) — le déterminant du système
Ces deux formules résument la méthode par élimination : après avoir multiplié, puis additionné ou soustrait les équations pour éliminer une variable, chaque inconnue s’obtient sous la forme d’un rapport de déterminants (règle de Cramer).
Méthode par élimination – Exemple de calcul
Exemple : résolvons le système \(2x + 3y = 8\) et \(x - y = -1\) (les valeurs par défaut de la calculatrice).
Étape 1 : éliminons \(y\). Multiplions la deuxième équation par 3 :
\[ 3(x - y) = 3(-1) \;\Rightarrow\; 3x - 3y = -3 \]
Étape 2 : additionnons les équations : les termes en \(y\) s’annulent :
\[ (2x + 3y) + (3x - 3y) = 8 + (-3) \;\Rightarrow\; 5x = 5 \;\Rightarrow\; x = 1 \]
Étape 3 : remplaçons \(x\) par \(1\) dans la deuxième équation :
\[ 1 - y = -1 \;\Rightarrow\; y = 2 \]
Résultat : \(x = 1\), \(y = 2\). Vérification : \(2(1) + 3(2) = 8\) et \(1 - 2 = -1\).
Comment utiliser la calculatrice
- Écrivez votre système sous la forme standard \(a_1x + b_1y = c_1\) et \(a_2x + b_2y = c_2\), en plaçant toutes les constantes à droite.
- Saisissez les trois nombres de la première équation dans les champs Coefficient a₁, Coefficient b₁ et Constante c₁.
- Saisissez les trois nombres de la deuxième équation dans les champs Coefficient a₂, Coefficient b₂ et Constante c₂. Utilisez le signe moins pour les coefficients négatifs.
- Consultez les résultats : la calculatrice affiche les valeurs de x et de y arrondies à 4 décimales, ou un message indiquant si le système admet une infinité de solutions ou aucune solution.
Qu’est-ce que la méthode par élimination ?
La méthode par élimination (également appelée méthode par addition) permet de résoudre un système de deux équations linéaires en supprimant une variable pour ne garder qu’une seule équation à une inconnue. On multiplie une équation ou les deux par des nombres appropriés pour que les coefficients de \(x\) ou de \(y\) deviennent égaux ou opposés, puis on additionne ou on soustrait les équations. La variable choisie s’élimine, ce qui laisse une équation simple, comme \(5x = 5\), que l’on résout immédiatement. On trouve ensuite la deuxième variable en remplaçant la première par sa valeur dans l’une des équations initiales.
Comme toute la méthode repose sur des opérations arithmétiques définies à partir des six coefficients, elle peut se résumer aux formules à base de déterminants présentées ci-dessus. Le dénominateur \(D = a_1b_2 - a_2b_1\) indique s’il existe une solution unique : si \(D \neq 0\), les deux droites se coupent en un seul point, dont les formules donnent directement les coordonnées. C’est le même principe qui sous-tend la règle de Cramer et, dans les cours ultérieurs, l’élimination de Gauss pour les systèmes plus grands.
Cette méthode est souvent préférée à la substitution lorsque les coefficients sont de petits entiers, car les étapes de multiplication et d’addition restent simples et les erreurs sont faciles à repérer. C’est un sujet classique en algèbre scolaire et une base pour l’algèbre linéaire, la modélisation économique et tout domaine qui utilise des équations simultanées. Après avoir résolu le système, vérifiez toujours le résultat en remplaçant \(x\) et \(y\) dans les deux équations initiales : les deux égalités doivent être vérifiées, pas une seule.
Cas particuliers, hypothèses et conseils
- Droites parallèles (aucune solution) : si \(D = 0\), mais qu’au moins un des numérateurs est non nul, les deux équations décrivent des droites parallèles qui ne se coupent jamais. La calculatrice affiche « Aucune solution ».
- Droites confondues (infinité de solutions) : si \(D = 0\) et que les deux numérateurs sont nuls, les deux équations sont équivalentes : elles décrivent deux fois la même droite. La calculatrice affiche « Une infinité de solutions ».
- Fractions et nombres décimaux : les coefficients peuvent être des nombres décimaux ; les résultats sont arrondis à 4 décimales. Une valeur comme \(0.6667\) signifie donc généralement que la réponse exacte est une fraction telle que \(2/3\).
- Forme standard requise : réorganisez chaque équation pour que le terme en \(x\), le terme en \(y\) et la constante apparaissent dans cet ordre ; sinon, les coefficients ne seront pas placés dans les bons champs.
- Deux équations uniquement : cette calculatrice traite les systèmes comportant exactement deux équations à deux inconnues. Les systèmes plus grands nécessitent des méthodes matricielles, comme l’élimination de Gauss.
Une fois le système linéaire résolu, d’autres outils peuvent vous aider à poursuivre votre travail : la calculatrice d’équations du second degré traite les équations du second degré, la calculatrice d’inéquations linéaires traite les inéquations plutôt que les équations, et la calculatrice de proportions est utile lorsqu’un problème se ramène à un seul rapport.
Questions fréquentes
Comment résoudre un système par élimination à la main ?
Réorganisez les deux équations sous la forme \(a_1x + b_1y = c_1\). Multipliez une équation ou les deux par des nombres qui rendent les coefficients d’une variable égaux ou opposés. Additionnez ou soustrayez les équations pour éliminer cette variable, résolvez l’équation à une inconnue qui reste, puis remplacez cette inconnue par sa valeur pour trouver l’autre. Par exemple, avec \(2x + 3y = 8\) et \(x - y = -1\), multipliez la deuxième équation par 3 et additionnez-les : \(5x = 5\), donc \(x = 1\) et \(y = 2\).
Comment saisir une équation comme 3y - 5 = 2x dans la calculatrice ?
Commencez par la réécrire sous forme standard, avec \(x\), \(y\), puis la constante dans cet ordre. Soustrayez \(2x\) des deux côtés et ajoutez 5 : \(-2x + 3y = 5\). Saisissez ensuite \(a_1 = -2\), \(b_1 = 3\), \(c_1 = 5\). Une erreur courante consiste à saisir les coefficients dans l’ordre où ils apparaissent dans l’équation initiale sans la réorganiser au préalable : les signes et les positions doivent respecter la forme standard.
Puis-je utiliser des fractions comme coefficients au lieu de nombres décimaux ?
Les champs de saisie acceptent les nombres décimaux : convertissez donc d’abord les fractions. \(\tfrac{1}{2}\) devient 0,5 et \(\tfrac{2}{3}\) devient 0,6666667 (utilisez suffisamment de chiffres pour obtenir une bonne précision). Les résultats sont arrondis à 4 décimales : une valeur affichée comme 0,6667 représente donc généralement la fraction exacte \(\tfrac{2}{3}\). Si vous avez besoin de réponses exactes sous forme de fractions, effectuez l’élimination à la main en calculant avec des fractions.
Que signifient les messages « Aucune solution » et « Une infinité de solutions » ?
« Aucune solution » signifie que les deux droites sont parallèles : le déterminant \(D = a_1b_2 - a_2b_1 = 0\), mais les constantes sont incompatibles, si bien qu’aucun couple \((x, y)\) ne satisfait les deux équations. « Une infinité de solutions » signifie que les équations décrivent la même droite — l’une est un multiple de l’autre — et que chaque point de cette droite convient. Ce n’est que lorsque \(D \neq 0\) que les droites se coupent en un seul point, qui constitue la solution unique.
Quand utiliser l’élimination plutôt que la substitution ou une représentation graphique ?
L’élimination est particulièrement adaptée lorsqu’une variable a déjà des coefficients égaux ou opposés, ou lorsqu’une seule multiplication par un petit nombre suffit à les rendre égaux ou opposés : les calculs restent simples et les erreurs de signe sont faciles à repérer. La substitution est préférable lorsqu’une équation isole déjà une variable, par exemple \(y = 3x + 1\). Une représentation graphique aide à voir si les droites se coupent, sont parallèles ou sont confondues, mais elle donne rarement des coordonnées exactes. Utilisez-la donc comme vérification plutôt que comme méthode principale.
Comment vérifier que ma solution est correcte ?
Remplacez \(x\) et \(y\) par leurs valeurs dans les deux équations initiales et vérifiez chaque égalité. Pour \(x = 1\) et \(y = 2\) : la première équation donne \(2(1) + 3(2) = 8\) ✓ et la deuxième donne \(1 - 2 = -1\) ✓. Ne vérifier qu’une seule équation est une erreur courante, car un couple incorrect peut satisfaire une équation par hasard sans satisfaire l’autre.
Cette méthode fonctionne-t-elle pour les systèmes de plus de deux équations ?
Le principe se généralise : l’élimination de Gauss applique la même logique d’élimination et de combinaison à un nombre quelconque d’équations et d’inconnues à l’aide de matrices. Toutefois, cette calculatrice traite exactement deux équations à deux inconnues. Pour trois variables ou plus, utilisez une calculatrice matricielle ou effectuez des opérations sur les lignes de la matrice augmentée, en vérifiant si le déterminant de la matrice des coefficients est nul, comme vous le feriez ici.