Калькулятор визначника матриці
Обчислює точний визначник будь-якої квадратної матриці від 2×2 до 6×6. Введіть елементи як цілі числа, десяткові або звичайні дроби — і отримайте точний результат, десяткове значення, перевірку на виродженість та покрокове розв’язання.
Обчислення визначника квадратної матриці
Формула визначника
Де:
- \(a_{ij}\) — елемент у рядку \(i\) та стовпці \(j\) квадратної матриці \(A\)
- \(M_{1j}\) — мінор: визначник підматриці, що лишається після вилучення першого рядка та \(j\)-го стовпця
- \((-1)^{1+j}M_{1j}\) — алгебраїчне доповнення елемента \(a_{1j}\)
У першому рядку — діагональне правило для матриць 2×2, у другому — розкладання за алгебраїчними доповненнями (розклад Лапласа) за першим рядком для матриць 3×3, а в останньому — загальна формула, яка працює для будь-якої матриці \(n \times n\).
Визначник — приклад обчислення
Приклад: знайдімо визначник матриці 3×3
\[ A = \begin{bmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 1 & 0 & 2 \\ 4 & 1 & 3 \end{bmatrix} \]
\[ M_{11} = 0 \cdot 3 - 2 \cdot 1 = -2, \quad M_{12} = 1 \cdot 3 - 2 \cdot 4 = -5, \quad M_{13} = 1 \cdot 1 - 0 \cdot 4 = 1 \]
\[ \det A = 2(-2) - 1(-5) + 3(1) = -4 + 5 + 3 \]
Результат: \(\det A = 4\). Визначник відмінний від нуля, отже, матриця невироджена. Це легко перевірити: натисніть «Обчислити», залишивши стандартні значення інструменту.
Як користуватися калькулятором визначника
- Відкрийте випадаючий список «Розмір матриці» і оберіть 2 × 2, 3 × 3, 4 × 4, 5 × 5 або 6 × 6. Використовуються лише поля обраного розміру.
- У списку «Заповнити таблицю» оберіть спосіб задання матриці: використати значення, введені нижче, випадкова матриця з цілих чисел (нова генерується щоразу при перемиканні), одинична матриця або очистити (усі нулі).
- Введіть елементи в поля a11, a12, … Підійдуть цілі числа, десяткові дроби, як-от 1,5, і звичайні дроби, як-от 3/4. Порожні клітинки вважаються нулями.
- Зчитайте результат: «Визначник (точний)» — відповідь точним дробом або цілим числом, «Визначник (десятковий)» — у десятковому вигляді, «Чи вироджена матриця?» — чи існує обернена матриця, а «Покрокове розв’язання» містить усі викладки.
Що таке визначник матриці?
Визначник — це одне число, яке узагальнює важливу геометричну та алгебраїчну властивість квадратної матриці. Геометрично модуль визначника матриці \(n \times n\) — це коефіцієнт, у який лінійне перетворення, задане цією матрицею, масштабує об’єм: \(|\det A|\) показує, у скільки разів перетворення збільшує довжини (для 2×2), площі (2×2 і 3×3 у дво- чи тривимірних задачах) або об’єми загалом. Визначник 3 означає, що перетворення потроює об’єм; визначник 0 — що перетворення стискає простір у меншу розмірність і частина інформації втрачається.
З алгебраїчного погляду визначник — це швидка перевірка на невиродженість. Квадратна матриця має обернену тоді й лише тоді, коли \(\det A \neq 0\). Якщо ж \(\det A = 0\), матрицю називають виродженою: її рядки (і стовпці) лінійно залежні, системи \(Ax = b\) не мають єдиного розв’язку, а матриці \(A^{-1}\) не існує. Саме тому визначник трапляється всюди: від розв’язування лінійних систем (правило Крамера) до пошуку власних значень і обчислення векторного добутку.
Як тлумачити це число — залежить від контексту. Точне значення важливе для ручних перевірок і теорії, а десяткове зручне для оцінювання. Знак також несе зміст: від’ємний визначник означає, що перетворення відображає орієнтацію, як дзеркало. Зауважте: визначник існує лише для квадратних матриць — у прямокутної матриці його просто немає.
Як калькулятор обчислює визначник: два методи
Для матриць 2×2 і 3×3 калькулятор виконує розкладання за першим рядком і показує всі мінори та добутки, а для 3×3 додатково робить контрольний перерахунок за правилом Сарруса. Для матриць від 4×4 до 6×6 він переходить до методу Гауса з точною арифметикою раціональних чисел: додавання до одного рядка кратного іншого не змінює визначника, тоді як кожен обмін рядків змінює його знак. Визначник дорівнює добутку опорних елементів отриманої верхньої трикутної матриці, взятому зі знаком \((-1)\) за кожен виконаний обмін. Якщо в якомусь стовпці не вдається знайти опорний елемент, матриця вироджена і визначник точно дорівнює 0.
Оскільки всі обчислення ведуться з цілими числами й дробами (а не з числами з рухомою комою), результат є точним — без похибок заокруглення навіть для «незручних» дробів. Десяткові записи з кількістю знаків до 12 усередині перетворюються на точні дроби, тож 0,1 розглядається як точно 1/10, а не як наближене двійкове значення.
Корисні властивості та обмеження
- \(\det(AB) = \det A \cdot \det B\), а \(\det(A^{-1}) = 1/\det A\) для невиродженої матриці.
- Обмін місцями двох рядків (або стовпців) множить визначник на −1; множення рядка на константу \(k\) множить визначник на \(k\). Матриця з двома однаковими рядками або з нульовим рядом має визначник 0.
- \(\det A = \det A^{T}\), тож міркування про рядки та стовпці взаємозамінні. Саму транспоновану матрицю можна дослідити в калькуляторі транспонування матриці.
- Калькулятор приймає лише розміри від 2×2 до 6×6 і числа з точністю до 12 десяткових знаків. Для більших матриць зручніше застосувати виключення з розкладанням за доповненнями або спеціалізовані програми для великих лінійних систем.
- Користь варто запам’ятати формулу: \(\det(kA) = k^{n} \det A\) для матриці \(n \times n\), адже кожен її рядок множиться на \(k\). Побудувати такі матриці допоможе калькулятор множення матриці на число.
- Оскільки ненульовий визначник гарантує єдиний розв’язок лінійної системи, можливо, вам захочеться розв’язувати системи напряму через калькулятор методу виключення або порівняти споріднені інваріанти, як-от суму діагональних елементів, за допомогою калькулятора сліду матриці.
Часті запитання
Як обчислити визначник матриці 4×4 вручну?
Розкладіть за рядком або стовпцем із багатьма нулями (розклад Лапласа зводить 4×4 до чотирьох визначників 3×3) або зведіть матрицю до верхньотрикутного вигляду елементарними перетвореннями рядків: det A — це добуток діагональних елементів, домножений на −1 за кожен виконаний обмін рядків. Додавання до одного рядка кратного іншого визначника не змінює. У покроковому виводі калькулятора показано саме цей процес виключення.
Чи може визначник бути від’ємним або дробовим?
Так, і те, й інше. Від’ємний визначник означає, що перетворення змінює орієнтацію (як дзеркальне відображення), тож якщо вам потрібен коефіцієнт масштабування об’єму, просто візьміть модуль. Дробові елементи або ділення під час виключення природно дають дробовий визначник — наприклад, визначник матриці 2×2 \(\begin{bmatrix} 1/2 & 0 \\ 0 & 1/3 \end{bmatrix}\) дорівнює 1/6. Інструмент зберігає результат точним дробом, а поруч дає заокруглене десяткове значення.
Що означають позначення det A і |A|?
Це одне й те саме: \(\det A\), \(|A|\) і \(\det(A)\) — усі позначають визначник матриці \(A\). Форму з вертикальними рисками часто вживають у стислих формулах, як-от у правилі Крамера, але не плутайте її з модулем числа: визначник, записаний як \(|A|\), цілком може бути від’ємним. Щоб уникнути двозначності, цей калькулятор завжди підписує результат як det A.
Чи є спосіб обчислити швидше діагональну або трикутну матрицю?
Так. Для будь-якої діагональної або трикутної матриці (верхньої чи нижньої) визначник — це просто добуток діагональних елементів: \(\det A = a_{11} \cdot a_{22} \cdots a_{nn}\). Саме тому калькулятор зводить великі матриці до трикутного вигляду — громіздке розкладання перетворюється на одне множення. Одинична матриця — окремий випадок, коли цей добуток дорівнює 1, тож det \(I\) = 1 для будь-якого розміру.
Я виконав перетворення рядків вручну й отримав іншу відповідь. Де помилка?
Найпоширеніша помилка — забути, що множення рядка на константу \(k\) множить увесь визначник на \(k\), а кожен обмін рядків або стовпців змінює його знак. Не змінює визначник лише операція «додати до одного рядка кратний інший». Також перевірте, чи ви розкладали строго за одним рядком або стовпцем, дотримуючись правильних знаків, що чергуються, при розкладанні за доповненнями.
Чому не можна знайти визначник матриці 3×4 або іншої прямокутної?
Визначник визначений лише для квадратних матриць, бо він показує, наскільки перетворення масштабує \(n\)-вимірний простір у самого себе — прямокутна матриця змінює розмірність, тож єдиного коефіцієнта масштабування не існує. Для прямокутних матриць натомість застосовуються інші інваріанти, як-от ранг \(A\) або визначник квадратної матриці \(A^T A\), який фігурує у формулах методу найменших квадратів.
Як вводити мішані числа або значення на кшталт 1 1/2?
Запишіть мішане число неправильним дробом: 1 1/2 — це 3/2, а −2¾ — це −11/4. Поля приймають лише цілі числа, десяткові дроби (до 12 знаків) і звичайні дроби у вигляді p/q; порожня клітинка вважається нульовою. Десяткові записи всередині перетворюються на точні дроби, тож 0,1 обчислюється як точно 1/10, і жодна похибка заокруглення не потрапить у ваш визначник.