Calculadora de determinante de matriz
Calcule o determinante exato de qualquer matriz quadrada de 2×2 a 6×6. Digite os elementos como inteiros, decimais ou frações e obtenha o resultado exato, o valor decimal, a verificação de singularidade e a solução passo a passo.
Calcule o determinante de uma matriz quadrada
Fórmula do determinante
Onde:
- \(a_{ij}\) — o elemento da linha \(i\) e coluna \(j\) da matriz quadrada \(A\)
- \(M_{1j}\) — o menor complementar: o determinante da submatriz que resta após excluir a linha 1 e a coluna \(j\)
- \((-1)^{1+j}M_{1j}\) — o cofator do elemento \(a_{1j}\)
A primeira linha é a regra das diagonais para matrizes 2×2, a segunda é a expansão em cofatores (Laplace) ao longo da primeira linha para matrizes 3×3, e a última é a expansão geral, que vale para qualquer matriz \(n \times n\).
Determinante – Exemplo de cálculo
Exemplo: encontre o determinante da matriz 3×3
\[ A = \begin{bmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 1 & 0 & 2 \\ 4 & 1 & 3 \end{bmatrix} \]
\[ M_{11} = 0 \cdot 3 - 2 \cdot 1 = -2, \quad M_{12} = 1 \cdot 3 - 2 \cdot 4 = -5, \quad M_{13} = 1 \cdot 1 - 0 \cdot 4 = 1 \]
\[ \det A = 2(-2) - 1(-5) + 3(1) = -4 + 5 + 3 \]
Resultado: \(\det A = 4\). Como o determinante é diferente de zero, a matriz é invertível. Você pode reproduzir esse resultado clicando em Calcular com os valores padrão da ferramenta.
Como usar a calculadora de determinante
- Abra o menu suspenso Tamanho da matriz e escolha 2 × 2, 3 × 3, 4 × 4, 5 × 5 ou 6 × 6. Apenas os campos do tamanho selecionado são usados.
- Use o menu suspenso Preencher a grade com para escolher como informar a matriz: Usar os valores digitados abaixo, Matriz aleatória de inteiros (uma nova matriz é sorteada a cada troca de opção), Matriz identidade ou Limpar (todos os zeros).
- Digite os elementos nos campos a11, a12, … Inteiros, decimais como 1,5 e frações como 3/4 são todos aceitos. Células vazias contam como 0.
- Confira os resultados: Determinante (exato) traz a resposta como uma fração exata ou um número inteiro, Determinante (decimal) mostra a forma decimal, A matriz é singular? indica se a matriz é invertível, e Etapas da solução mostra todo o desenvolvimento.
O que é o determinante de uma matriz?
O determinante é um único número que resume uma importante propriedade geométrica e algébrica de uma matriz quadrada. Geometricamente, o valor absoluto do determinante de uma matriz \(n \times n\) é o fator de escala de volume da transformação linear que a matriz representa: \(|\det A|\) mostra quanto a transformação multiplica comprimentos (2×2), áreas (2×2 e 3×3 em contextos de 2D/3D) ou volumes em geral. Um determinante igual a 3 significa que a transformação triplica o volume; um determinante igual a 0 significa que a transformação colapsa o espaço em uma dimensão inferior e perde informação.
Algebricamente, o determinante é um teste rápido de invertibilidade. Uma matriz quadrada tem inversa se, e somente se, \(\det A \neq 0\). Quando \(\det A = 0\), a matriz é chamada de singular: suas linhas (e colunas) são linearmente dependentes, os sistemas \(Ax = b\) não têm solução única, e \(A^{-1}\) não existe. É por isso que o determinante aparece por toda parte, da resolução de sistemas lineares (regra de Cramer) à obtenção de autovalores e ao cálculo de produtos vetoriais.
A forma de interpretar o número depende do contexto. O valor exato importa para conferir contas à mão e para a teoria; o valor decimal é prático para estimativas. O sinal também carrega significado: um determinante negativo indica que a transformação inverte a orientação, como em um espelhamento. Note que os determinantes são definidos apenas para matrizes quadradas — uma matriz não quadrada simplesmente não tem determinante.
Como a calculadora faz o cálculo: dois métodos
Para matrizes 2×2 e 3×3, a calculadora usa a expansão em cofatores ao longo da primeira linha e mostra todos os menores e produtos, incluindo uma verificação cruzada pela regra de Sarrus para matrizes 3×3. Para matrizes de 4×4 a 6×6, ela passa a usar a eliminação gaussiana com aritmética racional exata: somar a uma linha um múltiplo de outra deixa o determinante inalterado, enquanto cada troca de linhas inverte o seu sinal. O determinante é então o produto dos pivôs da matriz triangular superior resultante, multiplicado por \((-1)\) para cada troca realizada. Se não houver pivô em alguma coluna, a matriz é singular e o determinante é exatamente 0.
Como toda a aritmética é feita com inteiros e frações (e não com decimais de ponto flutuante), o resultado é exato — não há erro de arredondamento, nem mesmo com frações complicadas. Valores decimais com até 12 casas são convertidos internamente em frações exatas, de modo que 0,1 é tratado como exatamente 1/10, e não como um valor binário aproximado.
Propriedades úteis e limitações
- \(\det(AB) = \det A \cdot \det B\), e \(\det(A^{-1}) = 1/\det A\) para uma matriz invertível.
- Trocar duas linhas (ou colunas) multiplica o determinante por −1; multiplicar uma linha por uma constante \(k\) multiplica o determinante por \(k\). Uma matriz com duas linhas iguais, ou com uma linha nula, tem determinante 0.
- \(\det A = \det A^{T}\), de modo que todo argumento válido para as linhas também vale para as colunas. Você pode explorar a própria transposta com a calculadora de transposta de matriz.
- A calculadora aceita apenas tamanhos de 2×2 a 6×6, com elementos de até 12 casas decimais. Para matrizes maiores, use a eliminação combinada com a expansão em cofatores, ou um software feito para grandes sistemas lineares.
- Um atalho que vale a pena memorizar: \(\det(kA) = k^{n} \det A\) para uma matriz \(n \times n\), porque cada linha é multiplicada por \(k\). A calculadora de multiplicação de matriz por escalar permite construir essas matrizes diretamente.
- Como um determinante diferente de zero garante solução única para um sistema linear, talvez você também queira resolver sistemas diretamente com a calculadora de método de eliminação, ou comparar invariantes relacionados, como a soma dos elementos da diagonal, usando a calculadora de traço de matriz.
Perguntas frequentes
Como calcular o determinante de uma matriz 4×4 à mão?
Você pode expandir ao longo de uma linha ou coluna com muitos zeros (a expansão de Laplace reduz uma matriz 4×4 a quatro determinantes 3×3) ou transformar a matriz na forma triangular superior por meio de operações com as linhas: det A é o produto dos elementos da diagonal, multiplicado por −1 para cada troca de linhas que você fizer. Somar a uma linha um múltiplo de outra não altera o determinante. A saída passo a passo da calculadora mostra exatamente esse processo de eliminação.
O determinante pode ser negativo ou uma fração?
Sim para os dois. Um determinante negativo significa que a transformação inverte a orientação (como em um espelhamento); portanto, basta tomar o valor absoluto se você precisar do fator de escala de volume. Elementos fracionários, ou divisões ao longo da eliminação, naturalmente produzem determinantes fracionários — por exemplo, o determinante da matriz 2×2 \(\begin{bmatrix} 1/2 & 0 \\ 0 & 1/3 \end{bmatrix}\) é 1/6. A ferramenta mantém o resultado como uma fração exata, acompanhada do valor decimal arredondado.
O que significam as notações det A e |A|?
Todas significam a mesma coisa: \(\det A\), \(|A|\) e \(\det(A)\) denotam o determinante da matriz \(A\). A forma com barras verticais é comum em fórmulas abreviadas, como na regra de Cramer, mas cuidado para não confundi-la com o valor absoluto — um determinante escrito como \(|A|\) ainda pode ser negativo. Para maior clareza, esta calculadora sempre apresenta o resultado como det A.
Existe um atalho para matrizes diagonais ou triangulares?
Sim. Para qualquer matriz diagonal ou triangular (superior ou inferior), o determinante é simplesmente o produto dos elementos da diagonal: \(\det A = a_{11} \cdot a_{22} \cdots a_{nn}\). É por isso que a calculadora reduz as matrizes maiores à forma triangular — ela transforma uma expansão trabalhosa em uma única multiplicação. A matriz identidade é o caso especial em que esse produto é 1, de modo que det \(I\) = 1 para qualquer tamanho.
Fiz as operações com as linhas à mão e obtive um resultado diferente. O que saiu errado?
O erro mais comum é esquecer que multiplicar uma linha por uma constante \(k\) multiplica o determinante inteiro por \(k\), e que cada troca de linhas ou colunas inverte o sinal. Apenas a operação "somar a uma linha um múltiplo de outra" deixa o determinante inalterado. Verifique também se, ao usar a expansão em cofatores, você expandiu ao longo de uma única linha ou coluna com os sinais alternados corretos.
Por que não consigo calcular o determinante de uma matriz 3×4 ou de outra matriz não quadrada?
Os determinantes são definidos apenas para matrizes quadradas, porque o determinante mede quanto uma transformação escala um espaço de \(n\) dimensões sobre si mesmo — uma matriz não quadrada muda a dimensão, então não existe um único fator de escala. Para matrizes não quadradas, entram no lugar outros invariantes, como o posto de \(A\), ou o determinante da matriz quadrada \(A^T A\), usado nas fórmulas de mínimos quadrados.
Como digitar números mistos ou valores como 1 1/2?
Digite o número misto como uma fração imprópria: 1 1/2 vira 3/2, e −2¾ vira −11/4. Os campos aceitam apenas inteiros, decimais (com até 12 casas) e frações escritas na forma p/q, e toda célula vazia é tratada como 0. Os decimais são convertidos internamente em frações exatas, então 0,1 é calculado como exatamente 1/10 e nenhum erro de arredondamento de ponto flutuante pode aparecer no seu determinante.