Калькулятор p-значения (z, t, хи-квадрат, F)

Найдите p-значение вашего критерия

Статистика критерияСтатистика, которую вы уже вычислили по результатам теста.

Распределение

Критическая область

Число степеней свободы (df)Требуется для распределений t и χ².

Уровень значимости (α)

Рассчитывать автоматическиЕсли включено, результат будет автоматически обновляться при изменении любого значения.

Результаты расчёта P-значения

P-значениеp

Хвостовая вероятность

Подробности и вывод

Формула p-значения

Формула

\[ p = \begin{cases} 2 \cdot \min\big(P(T \le t),\; P(T \ge t)\big) & \text{двусторонний критерий (}\neq\text{)} \\ P(T \ge t) & \text{правосторонний критерий (}>) \\ P(T \le t) & \text{левосторонний критерий (}<\text{)} \end{cases} \] Где:

\(T\) — случайная величина статистики критерия (Z, t, χ² или F) при нулевой гипотезе \(H_0\)
\(t\) — наблюдаемое значение вашей статистики критерия
\(P(T \ge t)\) — вероятность наблюдать значение хотя бы настолько же экстремальное, как \(t\), в правом хвосте

P-значение — это вероятность, вычисленная при нулевой гипотезе, получить статистику критерия хотя бы настолько же экстремальную, как наблюдаемая. Какие именно хвосты считаются «экстремальными», зависит от альтернативной гипотезы.

Для каждого распределения вероятности хвостов берутся из соответствующей функции распределения: стандартной нормальной ФР \(\Phi(z)\) для Z, ФР распределения Стьюдента с \(df\) степенями свободы, ФР распределения хи-квадрат или ФР F-распределения с \(df_1\) и \(df_2\) степенями свободы. Калькулятор вычисляет их численно, поэтому статистические таблицы не нужны.

P-значение — пример расчёта

Пример: двухвыборочный t-критерий дал значение статистики \(t = 2.5\) при \(df = 20\), альтернативная гипотеза двусторонняя (\(\neq\)).

\[ p = 2 \cdot P(T \ge 2.5) = 2 \times 0.0106 = 0.0213 \]

Результат: p-значение равно 0,0213. Поскольку \(0.0213 \le 0.05\), результат статистически значим при \(\alpha = 0.05\) — отвергаем \(H_0\).

Как пользоваться калькулятором

Введите вашу статистику критерия (значение z, t, χ² или F, уже вычисленное по вашим данным).
Выберите распределение, которому статистика следует при \(H_0\): стандартное нормальное (Z), Стьюдента, хи-квадрат (χ²) или F-распределение.
Выберите хвосты, соответствующие вашей альтернативной гипотезе: двусторонний (≠), правосторонний (>) или левосторонний (<).
Если выбрано t или χ², введите число степеней свободы (df). Если выбрано F-распределение, введите степени свободы числителя (df₁) и степени свободы знаменателя (df₂) — эти поля появятся автоматически.
Выберите уровень значимости (α) — 0,05, 0,01 или 0,10 — чтобы калькулятор сформулировал вывод критерия.
Прочитайте P-значение, вероятность хвоста в направлении вашей статистики и подробности и вывод, где приведены вероятности обоих хвостов и решение — отвергнуть или не отвергать \(H_0\) при α.

Что такое p-значение?

P-значение отвечает на один конкретный вопрос: если бы нулевая гипотеза была верна, насколько вероятно получить статистику критерия хотя бы настолько же экстремальную, как наблюдаемая? Это вероятность между 0 и 1, а не вероятность того, что нулевая гипотеза истинна или ложна. Малое p-значение означает, что наблюдаемые данные были бы маловероятны при \(H_0\), что говорит против нулевой гипотезы.

Исследователи сравнивают p-значение с заранее выбранным уровнем значимости \(\alpha\), обычно 0,05. Если \(p \le \alpha\), результат называют статистически значимым и по договорённости отвергают \(H_0\). Если \(p > \alpha\), отвергнуть \(H_0\) не удаётся. Однако «не удалось отвергнуть» — не то же самое, что доказать истинность \(H_0\): это лишь значит, что данные не дают достаточных свидетельств против неё.

Количество хвостов имеет значение. Двусторонний критерий выявляет отклонения в обе стороны, поэтому p-значение включает оба крайних хвоста. Правосторонний критерий используется, когда альтернатива утверждает, что значение больше нулевого (типично для критериев χ² и F, которые по своей природе правосторонние). Левосторонний критерий применяется, когда альтернатива предполагает меньшее значение. Неправильный выбор хвоста может скрыть реальный результат, поэтому хвосты должны соответствовать альтернативной гипотезе, сформулированной до просмотра данных.

Для неформальной оценки силы свидетельств: \(p < 0.001\) — очень сильное, \(p < 0.01\) — сильное, \(p < 0.05\) — умеренное, \(p < 0.10\) — слабое. Значения выше 0,10 дают мало свидетельств против \(H_0\). Это договорённости, а не пороги с магическим смыслом.

Какое распределение выбрать?

Стандартное нормальное (Z) — критерии для средних и долей по большим выборкам, когда дисперсия генеральной совокупности известна или выборка достаточно велика для применения центральной предельной теоремы. Если сначала нужно вычислить саму статистику, воспользуйтесь калькулятором Z-оценки.
Стьюдента — критерии для средних с малыми выборками или неизвестной дисперсией генеральной совокупности; требуется одно значение df, обычно \(n - 1\) или \(n_1 + n_2 - 2\).
Хи-квадрат (χ²) — критерии согласия и критерии независимости для таблиц сопряжённости; df зависит от числа категорий или ячеек. Эти критерии почти всегда правосторонние.
F-распределение — дисперсионный анализ (ANOVA) и сравнение дисперсий; требуются степени свободы числителя \(df_1\) и знаменателя \(df_2\). Также почти всегда правостороннее.

Если вы ещё не дошли до этапа проверки гипотез, наши калькулятор нормального распределения и калькулятор доверительного интервала покрывают смежные задачи теории вероятностей и оценивания.

Допущения, ограничения и практические советы

Калькулятору нужна уже вычисленная статистика. Он не вычисляет z, t, χ² или F по «сырым» данным — вы должны подать статистику из вашего критерия. Проверьте значение в статистической программе или конспекте курса.
Статистика должна следовать выбранному распределению при \(H_0\). Для этого должны выполняться допущения самого критерия: случайная выборка, приблизительная нормальность или большие выборки для Z/t, ожидаемые частоты в ячейках не менее 5 для χ² и однородность дисперсий для классического дисперсионного анализа.
Задайте α до проведения критерия. Выбор уровня значимости после просмотра p-значения завышает долю ложноположительных результатов. Если вашего уровня значимости нет в списке, сравните выведенное p-значение с вашим α вручную.
Для χ² и F используйте правосторонние критерии. Эти статистики неотрицательны, и соответствующие критерии по соглашению односторонние; опция двустороннего критерия в калькуляторе удваивает меньший хвост, что редко соответствует реальной гипотезе для этих распределений.
Статистическая значимость — не практическая важность. При достаточно большой выборке значимыми становятся ничтожные, бессмысленные различия. Сообщайте размер эффекта и доверительный интервал вместе с p-значением и убедитесь, что объём выборки был разумно спланирован — см. калькулятор объёма выборки.
Очень малые p-значения выводятся в экспоненциальной записи (например, 2.1e−05, то есть \(2.1 \times 10^{-5}\)).

Часто задаваемые вопросы

Как вычислить p-значение вручную, без калькулятора?

Для z-критерия используйте функцию стандартного нормального распределения: для правостороннего критерия \(p = 1 - \Phi(z)\), для левостороннего — \(p = \Phi(z)\). Значения \(\Phi(z)\) берутся из таблицы нормального распределения: найдите своё значение z (округлённое до двух знаков), возьмите вероятность из таблицы и дополните её до единицы для правого хвоста. Для критериев t, χ² и F потребовались бы соответствующие статистические таблицы — именно их и заменяет этот калькулятор, вычисляя функцию распределения численно.

Какое p-значение считается хорошим или нормальным?

Объективно «хорошего» значения не существует — p-значение зависит от ваших данных и объёма выборки. По договорённости результаты с \(p \le 0.05\) называют статистически значимыми, а \(p \le 0.01\) — высоко значимыми. Однако эти пороги — условность, а не доказательство. Малое p-значение указывает на сильные свидетельства против нулевой гипотезы, а не на то, что ваш результат велик или важен. Всегда сообщайте размер эффекта и доверительный интервал вместе с p-значением.

Является ли p-значение вероятностью того, что нулевая гипотеза истинна?

Нет — это самое распространённое заблуждение. P-значение — это вероятность наблюдать статистику критерия хотя бы настолько же экстремальную, как ваша, при условии, что нулевая гипотеза истинна. P-значение 0,03 не означает, что вероятность истинности нулевой гипотезы равна 3%. Оно также не может сообщить вероятность истинности вашей альтернативной гипотезы — для этого понадобился бы байесовский подход.

Почему моё p-значение отличается от того, что выдают SPSS, R или Excel?

Сначала проверьте число хвостов: программа может по умолчанию выводить двустороннее p-значение, которое примерно вдвое больше одностороннего. Затем проверьте степени свободы: например, t-критерий Уэлча использует другое df, чем стандартный вариант со сведённой дисперсией. Наконец, округление статистики критерия или поправки на непрерывность в критериях χ² могут слегка сдвинуть p-значение. Небольшие расхождения в третьем или четвёртом десятичном знаке — обычно просто округление.

Можно ли преобразовать двустороннее p-значение в одностороннее (или наоборот)?

Если статистика критерия направлена в сторону вашей односторонней альтернативы, одностороннее p-значение равно половине двустороннего: \(p_{one} = p_{two}/2\). Если она направлена в противоположную сторону, одностороннее p-значение превышает 0,5 и результат не может быть значимым. Важно определить число хвостов до проведения критерия — переключение задним числом ради достижения значимости завышает долю ложноположительных результатов и считается p-хакингом.

Что делать, если статистика критерия отрицательная?

Отрицательные значения для статистик z и t совершенно нормальны — они просто означают, что выборочное среднее меньше гипотетического значения. Введите отрицательное число как есть; калькулятор автоматически использует левый хвост. Однако статистики χ² и F не могут быть отрицательными, поскольку строятся из квадратов величин. Если ваше значение χ² или F отрицательно, где-то выше по цепочке расчётов допущена ошибка — перепроверьте формулы.

Может ли p-значение быть равно 0 или больше 1?

P-значение всегда строго между 0 и 1, поскольку это вероятность. Оно может быть крайне малым (например, \(2.1 \times 10^{-5}\), отображается как 2.1e-05), но никогда не равно нулю в точности — программы, выводящие «0.000», просто округляют. Если получилось значение больше 1 или отрицательное число, допущена ошибка ввода: например, введена вероятность вместо статистики критерия или неверно прочитано поле вывода.