Калькулятор точного критерия Фишера
Введите четыре значения таблицы сопряжённости 2×2 и получите точное значение p для точного критерия Фишера (двустороннее и одностороннее), а также выборочное отношение шансов и интерпретацию на уровне значимости 0,05.
Проверка связи в таблице 2×2
Формула точного критерия Фишера
Где:
- \(a, b, c, d\) — четыре значения ячеек таблицы 2×2 (\(a\) и \(b\) — первая строка, \(c\) и \(d\) — вторая);
- \(r_1 = a+b\) — итог первой строки; \(r_2 = c+d\), \(c_1 = a+c\), \(c_2 = b+d\) — остальные маргинальные итоги;
- \(n = r_1+r_2\) — общее число наблюдений;
- \(X\) — значение ячейки \(a\) в случайной таблице с теми же фиксированными итогами; оно подчиняется гипергеометрическому распределению.
При зафиксированных наблюдённых итогах по строкам и столбцам вероятность каждой возможной таблицы точно задаётся гипергеометрической формулой — никакая аппроксимация для больших выборок не используется. Двустороннее значение p суммирует вероятности всех таблиц, вероятность которых не превышает вероятность фактически наблюдаемой таблицы (именно такое соглашение принято в функции fisher.test в R). Односторонние значения: \(p_- = P(X \le a)\) при отношении шансов < 1 и \(p_+ = P(X \ge a)\) при отношении шансов > 1. Выборочное отношение шансов: \(OR = (a\,d)/(b\,c)\).
Точный критерий Фишера — пример расчёта
Пример: исследование сравнивает две группы по 10 человек. В 1-й группе исход 1 наблюдается у 8 человек, исход 2 — у 2; во 2-й группе исход 1 — у 1 человека, исход 2 — у 9. Итак, \(a=8\), \(b=2\), \(c=1\), \(d=9\), итоги \(r_1=r_2=10\), \(c_1=9\), \(c_2=11\), \(n=20\).
\[ P(X=8)=\frac{\binom{9}{8}\binom{11}{2}}{\binom{20}{10}}=\frac{9\cdot 55}{184\,756}=\frac{495}{184\,756}\approx 0.002679 \]
Таблицы, вероятность которых не больше, чем у наблюдаемой: \(x=0,1,8,9\) с вероятностями \(0.0000595,\ 0.002679,\ 0.002679,\ 0.0000595\). Складываем их:
\[ p_{\text{двуст}}=2\,(0.0000595+0.002679)\approx 0.005477 \]
\[ OR=\frac{a\,d}{b\,c}=\frac{8\cdot 9}{2\cdot 1}=36 \]
Результат: точное двустороннее значение p ≈ 0,00548, одностороннее p (OR > 1) ≈ 0,00274, одностороннее p (OR < 1) ≈ 0,99994, выборочное отношение шансов = 36. Связь статистически значима на уровне 0,05.
Как пользоваться калькулятором
- Введите количество наблюдений первой группы с первым исходом в поле Исход 1 под Группа 1 (строка 1) — это ячейка \(a\).
- Введите количество наблюдений первой группы со вторым исходом в поле Исход 2 под Группа 1 (строка 1) — ячейка \(b\).
- Заполните поля Исход 1 и Исход 2 под Группа 2 (строка 2) — ячейки \(c\) и \(d\).
- Выберите альтернативную гипотезу: двустороннюю для выявления любой связи (стандартный вариант) или одностороннюю, если направление эффекта было определено до сбора данных.
- Ознакомьтесь с результатами: точное двустороннее значение p, оба односторонних значения p, выборочное отношение шансов и блок интерпретации, в котором также указана наименьшая ожидаемая частота и можно ли было бы обойтись аппроксимацией хи-квадрат.
Что такое точный критерий Фишера
Точный критерий Фишера проверяет, связаны ли две категориальные переменные — как правило, группирующая (лечение и контроль, подвергшиеся и не подвергшиеся воздействию) и бинарный исход, — на основе значений таблицы сопряжённости 2×2. Он отвечает на вопрос: если итоги по строкам и столбцам фиксированы, а переменные на самом деле независимы, какова вероятность получить таблицу хотя бы настолько же выраженную, как наблюдаемая?
Слово «точный» — ключевое отличие от критерия хи-квадрат. Критерий хи-квадрат опирается на аппроксимацию для больших выборок, которая становится ненадёжной при малых ожидаемых частотах в ячейках (классическое правило предостерегает при значениях ниже 5). Критерий Фишера, напротив, вычисляет вероятности напрямую из гипергеометрического распределения, поэтому значение p корректно при любом объёме выборки, включая таблицы с очень малыми частотами или нулевыми ячейками.
Значение p — это вероятность при нулевой гипотезе об отсутствии связи получить таблицу не менее выраженную, чем наблюдаемая. Малое значение p (по соглашению ≤ 0,05) означает, что столь неравномерная таблица редко возникает случайно, то есть данные свидетельствуют о наличии связи. Большое значение p означает, что данные согласуются с отсутствием связи, а вовсе не то, что нулевая гипотеза доказана. Чтобы оценить не только статистическую значимость, но и силу связи, смотрите на отношение шансов — калькулятор выводит его вместе со значениями p; более подробный разбор см. в калькуляторе отношения шансов и относительного риска.
Выбор альтернативы имеет значение. Двусторонний критерий выявляет связь в любом направлении и используется по умолчанию в большинстве программ. Односторонний критерий мощнее для обнаружения эффекта в конкретном направлении, но это направление должно быть выбрано до просмотра данных — переход к одностороннему критерию после того, как результат уже виден, завышает вероятность ложноположительного вывода.
Допущения, ограничения и практические советы
- Частоты, а не проценты. В ячейках должны стоять исходные частоты независимых наблюдений. Ни в коем случае не вводите доли, пропорции или проценты — критерий будет некорректным.
- Независимость наблюдений. Каждый объект должен попадать ровно в одну ячейку. Связанные или парные данные (например, измерения «до и после» у одних и тех же людей) нарушают это условие; в таких случаях подходит критерий Мак-Немара.
- Фиксированные итоги. Точное значение p вычисляется при условии, что наблюдённые итоги по строкам и столбцам фиксированы. Это классическая формулировка, и именно её выводят R и большинство программ.
- Нулевые ячейки. Критерий без проблем работает с нулевыми ячейками. Однако выборочное отношение шансов обращается в 0 или бесконечность при \(b\,c = 0\); в этом случае калькулятор дополнительно выводит скорректированную оценку \((a+0.5)(d+0.5)/((b+0.5)(c+0.5))\) с поправкой 0,5.
- Значимость — не размер эффекта. Крошечное значение p при большой выборке может соответствовать слабой связи. Всегда интерпретируйте значение p вместе с отношением шансов, а при представлении результатов подумайте о доверительном интервале для размера эффекта.
- Когда достаточно критерия хи-квадрат. Если все ожидаемые частоты не меньше 5, оба критерия дают похожие результаты, и распространённой альтернативой является хи-квадрат с поправкой Йейтса на непрерывность. Блок интерпретации в калькуляторе показывает наименьшую ожидаемую частоту, так что вы сразу сможете это оценить.
- Размер таблицы. Этот калькулятор работает только с таблицами 2×2. Для больших таблиц нужен обобщённый критерий Фишера–Фримена–Халтона или точная процедура хи-квадрат в статистических программах.
Краткая справка: четыре значения p, которые вы можете увидеть
| Величина | Определение | Когда использовать |
|---|---|---|
| Двустороннее p | Сумма вероятностей всех таблиц, вероятность которых не выше, чем у наблюдаемой | Вариант по умолчанию; любое направление связи |
| Одностороннее p (OR > 1) | \(P(X \ge a)\) | Направление (выше шансы в группе 1) задано заранее |
| Одностороннее p (OR < 1) | \(P(X \le a)\) | Направление (ниже шансы в группе 1) задано заранее |
| Отношение шансов | \((a\,d)/(b\,c)\) | Размер эффекта, а не значение p; интерпретируется вместе с критерием |
Часто задаваемые вопросы
Когда следует использовать точный критерий Фишера вместо критерия хи-квадрат?
Используйте точный критерий Фишера, когда хотя бы одна ожидаемая частота в ячейке опускается ниже примерно 5, когда общая выборка мала или когда в ячейке стоит ноль — то есть в ситуациях, где аппроксимация хи-квадрат перестаёт работать. При больших выборках и всех ожидаемых частотах от 5 и выше оба критерия дают очень похожие результаты, и можно применять любой из них. Калькулятор показывает наименьшую ожидаемую частоту, так что вы сразу определите, в какой ситуации находитесь.
Почему разные программы дают разные двусторонние значения p для одной и той же таблицы?
Существует несколько соглашений для двустороннего критерия. Этот калькулятор использует самое распространённое, совпадающее с fisher.test в R: суммируются вероятности всех таблиц, вероятность которых не выше, чем у наблюдаемой. Среди альтернатив — удвоение меньшего одностороннего значения p или суммирование таблиц, отношение шансов которых отстоит от 1 не меньше, чем у наблюдаемой. Небольшие численные расхождения — нормальное явление, и на уровне 0,05 они редко меняют вывод.
Как вычислить точный критерий Фишера вручную?
Сначала вычислите вероятность наблюдаемой таблицы по гипергеометрическому распределению: \(P = \binom{a+c}{a}\binom{b+d}{b} / \binom{n}{a+b}\), используя факториалы для биномиальных коэффициентов. Затем переберите все возможные таблицы с теми же итогами по строкам и столбцам, вычислите вероятность каждой тем же способом и сложите вероятности всех таблиц, вероятность которых не выше вашей, — эта сумма и есть двустороннее значение p. При очень малых итогах это реально сделать вручную; в остальных случаях гораздо надёжнее воспользоваться программой.
Какое значение p считается хорошим или нормальным?
«Нормального» значения p не существует — всё зависит от ваших данных. По соглашению p ≤ 0,05 называют статистически значимым свидетельством связи, p ≤ 0,01 — более сильным, а p > 0,05 означает, что данные согласуются с отсутствием связи. Незначимый результат не доказывает отсутствие эффекта, особенно при малых выборках. Всегда рассматривайте значение p вместе с отношением шансов, чтобы оценить силу связи.
Можно ли использовать этот критерий при нулевых ячейках или очень малых выборках?
Да — именно в таких ситуациях точный критерий раскрывается лучше всего. Нулевые ячейки не создают проблем для значения p, поскольку гипергеометрическая формула остаётся корректной. Затрагивается только выборочное отношение шансов: если ноль попадает в произведение в знаменателе \(b\,c\), оно обращается в 0 или бесконечность, и тогда используется скорректированная оценка с поправкой 0,5. Даже таблица с общим числом наблюдений, равным 4, даёт корректное точное значение p.
Какие ошибки чаще всего допускают при работе с этим калькулятором?
Самая серьёзная — ввод процентов, долей или частостей вместо исходных частот: критерий корректен только для целочисленных частот независимых наблюдений. Другие частые ошибки — применение к парным данным типа «до и после» на одних и тех же объектах (там нужен критерий Мак-Немара) и переход к одностороннему критерию после просмотра результата, что завышает вероятность ложноположительного вывода. Также не стоит переставлять строки и столбцы задним числом, чтобы уменьшить значение p.
Точный критерий Фишера консервативен, и имеет ли это значение?
Он может быть слегка консервативным, поскольку значение p вычисляется в предположении, что фиксированы и итоги по строкам, и итоги по столбцам, тогда как в реальных исследованиях по-настоящему фиксированы обычно только итоги по строкам (размеры групп). Из-за этого критерий несколько чаще пропускает реальный эффект, чем можно ожидать от номинальной 5%-ной вероятности ошибки. Этот эффект обычно невелик, и критерий остаётся общепризнанным; альтернативы вроде точных критериев Босло или Барнарда менее консервативны, но менее распространены.