Калькулятор критерия Фридмана
Введите данные — по одной строке на каждого испытуемого со значением для каждого условия, — и калькулятор критерия Фридмана вернёт статистику хи-квадрат с поправкой на связанные ранги, число степеней свободы, p-значение, коэффициент конкордации Кендалла W и вывод при выбранном вами уровне значимости.
Сравнение трёх и более связанных условий по их рангам
Критерий Фридмана
Где:
- \(n\) — число испытуемых (блоков);
- \(k\) — число связанных условий (\(k \ge 3\));
- \(R_j\) — сумма рангов условия \(j\); значения каждого испытуемого ранжируются от 1 (наименьшее) до \(k\), а связанным значениям присваивается средний ранг;
- \(t\) — размер каждой группы одинаковых (связанных) значений у одного испытуемого;
- \(W\) — коэффициент конкордации Кендалла, мера величины эффекта.
Статистика сравнивает наблюдаемые суммы рангов со значением, ожидаемым при равенстве всех условий, \(nk(k+1)/4\cdot 2\); чем больше расхождение, тем больше \(\chi^2\). Поправка на связанные ранги при их наличии увеличивает статистику, а p-значение получают из распределения \(\chi^2\) с \(k-1\) степенями свободы.
Критерий Фридмана — пример расчёта
Пример: восемь испытуемых оценивают по шкале три продукта (эти данные подгружены в калькулятор по умолчанию). Внутри каждого испытуемого три оценки ранжируются от 1 до 3; суммы рангов получаются равными \(R_1 = 21.5\), \(R_2 = 14.5\), \(R_3 = 12\).
\[ \chi_F^2 = \frac{12}{8 \cdot 3 \cdot 4}\left(21.5^2 + 14.5^2 + 12^2\right) - 3 \cdot 8 \cdot 4 = 6.0625 \]
Один испытуемый поставил две одинаковые оценки, поэтому одна группа связанных значений размера \(t=2\) вносит в поправку вклад \(t^3 - t = 6\):
\[ C = 1 - \frac{6}{8(27 - 4 + -3)} = 1 - \frac{6}{192} = 0.96875, \qquad \chi^2 = \frac{6.0625}{0.96875} = 6.2581 \]
При \(df = k - 1 = 2\) аппроксимация \(\chi^2\) даёт \(p = 0.0438\), а W Кендалла равна \(W = 6.2581 / (8 \cdot 2) = 0.3911\).
Результат: \(\chi^2 = 6.2581\), \(df = 2\), \(p = 0.0438\). При \(\alpha = 0.05\) нулевая гипотеза \(H_0\) отклоняется: три продукта значимо различаются по уровню, согласие между испытуемыми умеренное (\(W \approx 0.39\)).
Как пользоваться калькулятором
- Вставьте или введите данные в поле «Измерения (одна строка на испытуемого)». В каждой строке должны стоять значения одного испытуемого — по одному на каждое условие, разделённые пробелами или точками с запятой, например
7 6 5или7; 6; 5. Во всех строках должно быть одинаковое число значений, минимум три. - Если в ваших числах десятичным разделителем служит запятая (например,
7,5), вводите их как есть — калькулятор преобразует их автоматически. - Выберите уровень значимости (0,10, 0,05, 0,025, 0,01 или 0,001) — это порог \(\alpha\), по которому принимается решение об отклонении или неотклонении гипотезы.
- Ознакомьтесь с результатами: статистика Фридмана с поправкой на связанные ранги \(\chi^2\), число степеней свободы, p-значение, W Кендалла, вывод при заданном \(\alpha\), таблица сумм рангов по каждому условию и краткое текстовое пояснение.
Что такое критерий Фридмана
Критерий Фридмана — непараметрическая альтернатива однофакторному дисперсионному анализу с повторными измерениями. Он сравнивает три и более связанных условий — как правило, одни и те же испытуемые, измеренные в каждом из условий, либо план со случайными блоками, где каждый блок получает все варианты обработки, — и проверяет, различаются ли условия по расположению, то есть не оказываются ли оценки при одних условиях систематически выше, чем при других.
Критерий работает исключительно с рангами. Значения каждого испытуемого ранжируются внутри него самого, что полностью убирает различия между испытуемыми: тот, кто всё оценивает высоко, даёт ту же картину рангов, что и тот, кто всё оценивает низко. Если условия не различаются, ранги в каждом условии представляют собой случайную перестановку \(1, \dots, k\), поэтому ожидаемая сумма рангов каждого условия равна \(n \cdot k(k+1)/2\). Статистика Фридмана измеряет, насколько наблюдаемые суммы рангов отклоняются от этого ожидания: если одно условие стабильно получает самые высокие ранги, его сумма рангов велика, а чья-то другая — мала, и \(\chi^2\) растёт.
p-значение получают, сравнивая статистику с распределением \(\chi^2_{k-1}\). Если \(p \le \alpha\), нулевая гипотеза отклоняется и делается вывод, что хотя бы одно условие систематически ранжируется выше или ниже остальных — но какое именно, неизвестно. Коэффициент \(W = \chi^2 / (n(k-1))\) Кендалла показывает, насколько согласованы упорядочения у испытуемых: 0 означает полное отсутствие согласия, 1 — что все испытуемые ранжируют условия в одном и том же порядке, а значения около 0,3–0,5 обычно характеризуют как умеренное согласие.
Значимый результат — лишь первый шаг. Чтобы выяснить, какие именно условия различаются, проводят попарные сравнения: критерий Неменьи (критическая разность \(q_\alpha\sqrt{k(k+1)/(6n)}\) для средних рангов) либо критерий знаковых рангов Уилкоксона с поправкой уровня значимости по Бонферрони. Если же ваши группы независимы, а не связаны, критерий Фридмана не подходит — используйте критерий Краскела — Уоллиса.
Условия применения и практические советы
- Связанные данные: у каждого испытуемого (блока) должно быть значение по каждому условию. Пропуски не поддерживаются — либо исключите такого испытуемого, либо восстановите пропущенное значение до ввода данных.
- Независимость испытуемых: испытуемые и блоки не должны влиять друг на друга, тогда как повторные измерения внутри одного испытуемого, разумеется, зависимы — в этом и состоит смысл критерия.
- Порядковая шкала или выше: достаточно, чтобы значения можно было ранжировать внутри каждого испытуемого, поэтому подходят оценки по шкале Лайкерта, ранги и баллы.
- p-значение — приближение. Опорное распределение \(\chi^2\) становится точным при больших \(nk\), но на малых выборках имеет тенденцию несколько «занижать» p-значения — например, при менее чем примерно 13 испытуемых и \(k = 3\). В таких случаях, прежде чем доверять пограничному решению, сверьте статистику с точными критическими значениями критерия Фридмана.
- Связанные ранги учитываются, но при их обилии падает мощность. Калькулятор применяет стандартную поправку \(C\); если у каждого испытуемого значения по всем условиям одинаковы, статистика по построению равна нулю и обнаружить различие невозможно.
- Интерпретируйте W вместе с p. При большом числе испытуемых статистически значимым может стать даже ничтожное и практически несущественное различие сумм рангов; W Кендалла показывает, действительно ли согласие, стоящее за результатом, велико. О согласованности рангов между экспертами можно также судить по калькулятору коэффициента тау Кендалла и калькулятору ранговой корреляции Спирмена.
Направление эффекта определяют по таблице сумм рангов: условие с наибольшим средним рангом, как правило, даёт самые высокие оценки, а с наименьшим — самые низкие. Сравнение среднего ранга каждого условия с ожидаемым при нулевой гипотезе значением \(k(k+1)/2\) показывает, какие именно условия тянут результат на себя.
Часто задаваемые вопросы
Как вычислить критерий Фридмана вручную?
Проранжируйте значения каждого испытуемого внутри него от 1 (наименьшее) до \(k\), связанным значениям присваивайте средний ранг, просуммируйте ранги по каждому условию и получите \(R_j\), затем вычислите \(\chi_F^2 = \frac{12}{nk(k+1)}\sum R_j^2 - 3n(k+1)\). При наличии связанных значений разделите результат на поправку \(C = 1 - \sum(t^3-t)/(n(k^3-k))\). Сравните полученное значение с распределением \(\chi^2\) при \(df = k-1\), чтобы найти p-значение.
Какое значение W Кендалла считается хорошим?
W Кендалла изменяется от 0 (испытуемые не показывают никакого согласованного порядка условий) до 1 (все испытуемые ранжируют условия одинаково). По распространённым правилам большого пальца значения около 0,1 считаются слабыми, 0,3–0,5 — умеренными, а выше 0,7 — сильным согласием. Статистически значимый результат критерия Фридмана при малом W означает, что различие действительно есть, но испытуемые весьма расходятся в порядке условий, поэтому к практической значимости вывода стоит отнестись с осторожностью.
Когда следует применять критерий Фридмана, а когда дисперсионный анализ или критерий Краскела — Уоллиса?
Критерий Фридмана применяют, когда одних и тех же испытуемых (или согласованные блоки) измеряют в трёх и более условиях, а данные порядковые или не подчиняются нормальному распределению. Дисперсионный анализ с повторными измерениями уместен, когда данные удовлетворяют параметрическим предположениям и нужно моделировать взаимодействия. Критерий Краскела — Уоллиса используют, когда группы состоят из разных, независимых испытуемых, — это межсубъектный план, и критерий Фридмана в нём неприменим.
Можно ли применять критерий Фридмана всего с двумя условиями?
Нет, критерий требует как минимум трёх условий. Для двух связанных условий подходящим непараметрическим критерием является критерий знаковых рангов Уилкоксона — к нему критерий Фридмана и сводится при \(k = 2\). Калькулятор не примет данные, если в строке меньше трёх значений. К тому же при двух условиях аппроксимация хи-квадрат ненадёжна, поэтому подход на основе знаковых рангов даёт более точное p-значение.
Точно ли p-значение, которое выдаёт этот калькулятор?
Нет, это асимптотическое приближение, основанное на распределении \(\chi^2\) с \(k-1\) степенями свободы. Оно становится точным по мере роста числа испытуемых, но на малых выборках — например, при менее чем примерно 13 испытуемых с тремя условиями — p-значения могут получаться слегка заниженными. Если решение при малой выборке оказывается пограничным, сверьтесь с таблицами точных критических значений критерия Фридмана или воспользуйтесь статистическим ПО с точным или перестановочным вариантом критерия.
Как правильно сообщать результаты критерия Фридмана?
Типичный отчёт в стиле APA включает статистику, число степеней свободы, p-значение и величину эффекта, например: \(\chi^2(2) = 6.26, p = .044, W = .39\). Укажите, была ли отклонена нулевая гипотеза при выбранном уровне значимости, и отметьте, что сам критерий показывает лишь наличие различий между условиями — чтобы выяснить, какие именно условия различаются, проведите сравнения по Неменьи или попарные сравнения Уилкоксона с поправкой Бонферрони и включите их результаты в отчёт.
Что делать, если у некоторых испытуемых есть пропущенные значения или связанные ранги?
Связанные значения обрабатываются автоматически: им присваиваются средние ранги, а статистика корректируется множителем \(C\), который несколько увеличивает \(\chi^2\). Пропуски же обработать нельзя: критерию нужна полная матрица — значение каждого испытуемого по каждому условию. Либо исключите испытуемых с пропущенными измерениями, либо заранее восстановите пропущенные значения — и непременно укажите в отчёте, какой из подходов вы выбрали.