Перейти к содержанию

Метод наименьших квадратов

Онлайн калькулятор нахождения углового коэффициента, точки пересечение  и уравнения прямой линии по методу наименьших квадратов

Метод наименьших квадратов — математический метод, применяемый для решения различных задач, основанный на минимизации суммы квадратов отклонений некоторых функций от искомых переменных.

Калькулятор расчета элементов прямой по методу наименьших квадратов

Input Fields
n
x
y
x
y
Если включено, результат будет автоматически обновляться при изменении любого значения.

Формула метода наименьших квадратов

Formula
$$m = \frac{n \cdot \sum xy — \sum x \cdot \sum y}{n \cdot \sum x^2 — (\sum x)^2}$$ $$b = \frac{\sum y \cdot \sum x^2 — \sum x \cdot \sum xy}{n \cdot \sum x^2 — (\sum x)^2}$$

Где

  • $$m$$ — угловой коэффициент (наклон прямой)
  • $$b$$ — свободный член (пересечение с осью y)
  • $$n$$ — количество точек
  • $$\sum x$$, $$\sum y$$, $$\sum xy$$, $$\sum x^2$$ — суммы по таблице значений

Пример

Найти регрессию методом наименьших квадратов

Значение X Значение Y
5 6
2 3
1 6
7 9

Получаем,

Значение X Значение Y
5 6
2 3
1 6
7 9

Найдем,
Уравнение линии регрессии методом наименьших квадратов

Решение:

Шаг 1 :

Количество значений x.

N = 4

Шаг 2 :

Найдем XY, X2 для полученных значений. Смотрите таблицу ниже

Значение X Значение Y X*Y X*X
60 3.1 60 * 3.1 = 186 60 * 60 = 3600
61 3.6 61 * 3.6 = 219.6 61 * 61 = 3721
62 3.8 62 * 3.8 = 235.6 62 * 62 = 3844
63 4 63 * 4 = 252 63 * 63 = 3969
65 4.1 65 * 4.1 = 266.5 65 * 65 = 4225

Шаг 3 :

Найдем ΣX, ΣY, ΣXY;, ΣX2 для значений

  • ΣX = 311
  • ΣY = 18.6
  • ΣXY = 1159.7
  • ΣX2 = 19359

Шаг 4 :

Подставим значения в приведенную выше формулу.

Наклон(b) = (NΣXY — (ΣX)(ΣY)) / (NΣX2 — (ΣX)2)

  • = ((5)*(1159.7)-(311)*(18.6))/((5)*(19359)-(311)2)
  • = (5798.5 — 5784.6)/(96795 — 96721)
  • = 13.9/74
  • = 0.19

Шаг 5 :

Подставив значения в формулу

Пересечение (a) = (ΣY — b(ΣX)) / N

  • = (18.6 — 0.19(311))/5
  • = (18.6 — 59.09)/5
  • = -40.49/5
  • = -8.098

Шаг 6 :

Подставим значения в уравнение прямой

Уравнение прямой(y) = a + bx

= -8.098 + 0.19x

Предположим, если мы хотим, узнать приблизительное у значение переменной x = 64, необходимо подставить значение в формулу

Уравнение прямой(y) = a + bx

  • = -8.098 + 0.19(64)
  • = -8.098 + 12.16
  • = 4.06
Предыдущий
Система линейных уравнений

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *