Калькулятор правила знаков Декарта

Анализ положительных и отрицательных действительных корней многочленов

Коэффициенты многочленаВведите коэффициенты многочлена в порядке убывания степеней, разделяя их пробелами. Например: "1 -6 11 -6" соответствует x³ - 6x² + 11x - 6

Рассчитывать автоматическиЕсли включено, результат будет автоматически обновляться при изменении любого значения.

Ваш результат

Ваш многочлен

Кратность нулевого корня

Число положительных корней

Число отрицательных корней

Минимальное число комплексных корней

Формула правила знаков Декарта

Формула

\[ P(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \dots + a_1x + a_0 \\[1em] V(x) = \text{число перемен знака в коэффициентах } P(x) \\[1em] N_{\text{пол}} \le V(x), \quad N_{\text{пол}} \equiv V(x) \pmod{2} \\[1em] N_{\text{отр}} \le V(-x), \quad N_{\text{отр}} \equiv V(-x) \pmod{2} \]

Где:

\(P(x)\) — многочлен, коэффициенты которого записаны в порядке убывания степеней
\(V(x)\) — число перемен знака между соседними ненулевыми коэффициентами \(P(x)\)
\(V(-x)\) — число перемен знака в \(P(-x)\), то есть в многочлене, где знаки всех коэффициентов при нечётных степенях изменены на противоположные
\(N_{\text{пол}}\), \(N_{\text{отр}}\) — число положительных и отрицательных действительных корней с учётом кратности

Правило гласит: число положительных действительных корней равно числу перемен знака в \(P(x)\) или меньше его на чётное число. То же верно для отрицательных корней после подстановки \(-x\) вместо \(x\).

Правило знаков Декарта — пример вычисления

Пример: возьмём многочлен \(f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6\), вводимый как коэффициенты 1 -6 11 -6.

Шаг 1 — положительные корни. Знаки коэффициентов \(f(x)\):

\[ +,\ -,\ +,\ - \quad \Rightarrow \quad 3 \text{ перемен знака} \]

Значит, положительных действительных корней ровно 3 или ровно 1.

Шаг 2 — отрицательные корни. Подставим \(-x\):

\[ f(-x) = -x^3 - 6x^2 - 11x - 6 \]

Знаки: \(-, -, -, -\), перемен знака 0, значит, отрицательных действительных корней нет.

Результат: 3 или 1 положительных корня, 0 отрицательных и минимум \(3 - 3 = 0\) комплексных корней. На самом деле \(f(x) = (x-1)(x-2)(x-3)\), поэтому все три корня (1, 2, 3) положительные.

Как пользоваться калькулятором

В поле Коэффициенты многочлена введите коэффициенты вашего многочлена в порядке убывания степеней, разделяя их пробелами. Например, 1 -6 11 -6 соответствует \(x^3 - 6x^2 + 11x - 6\).
Включайте нулевые коэффициенты там, где какая-то степень отсутствует: 2 0 -5 1 означает \(2x^3 - 5x + 1\). Ведущие и замыкающие нули обрабатываются автоматически.
Нажмите Вычислить.
Прочитайте результаты: калькулятор показывает ваш многочлен в стандартной форме, кратность нуля как корня (если свободный член равен 0), возможные количества положительных действительных корней, возможные количества отрицательных действительных корней и минимальное число комплексных корней.

Что даёт правило знаков Декарта

Правило знаков Декарта, опубликованное Рене Декартом в 1637 году, — это быстрый тест, ограничивающий сверху возможное число положительных и отрицательных действительных корней многочлена, без фактического решения уравнения. Запишите многочлен в стандартной форме и посчитайте, сколько раз соседние ненулевые коэффициенты меняют знак. Это число, уменьшенное на чётное, и есть точное число положительных корней. Повторив подсчёт для \(f(-x)\), получим возможные количества отрицательных корней.

Часть про «различие на чётное число» имеет значение. Если перемен знака 3, у многочлена 3 или 1 положительных корня — 2 или 0 не гарантируется; возможны только 3 или 1. Если перемена знака ровно одна, у многочлена ровно один положительный корень — это один из самых полезных частных случаев правила.

Сочетание двух подсчётов со степенью многочлена также даёт минимальное число комплексных корней. Поскольку многочлен степени \(n\) имеет ровно \(n\) корней в общей сложности (с учётом кратности, по основной теореме алгебры), а комплексные корни всегда появляются сопряжёнными парами, вычитание максимально возможных количеств действительных корней из степени даёт минимальное число комплексных корней. Чтобы исследовать их, см. Калькулятор комплексных корней и Калькулятор комплексно-сопряжённых чисел.

Интерпретация результатов

Каждая строка результата перечисляет все возможности, совместимые с правилом. «3 или 1» для положительных корней означает, что оба исхода согласуются со знаковой картиной; чтобы определить фактическое количество, нужна дополнительная информация (график, проверка рациональных корней или численные методы). Результат «ровно 0» однозначен: если в \(f(-x)\) нет перемен знака, у многочлена нет отрицательных действительных корней, и точка.

Если свободный член равен нулю, \(x = 0\) — корень, и калькулятор сообщает его кратность, подсчитывая замыкающие нулевые коэффициенты. В этом случае примените правило к оставшейся части многочлена после вынесения \(x^k\).

Допущения, ограничения и советы

Коэффициенты должны быть действительными. Правило не применяется к многочленам с комплексными коэффициентами.
Нулевые коэффициенты пропускаются при подсчёте перемен знака. Для \(x^3 + 1\) знаки \(+, +\) — одна перемена знака, поэтому ровно 1 отрицательный корень после проверки также \(f(-x)\).
Правило учитывает кратность. Двойной корень при \(x = 2\) считается двумя положительными корнями.
Оно даёт возможности, а не точные значения. Правило никогда не говорит, каковы корни, а только сколько корней каждого знака может существовать. Используйте его, чтобы сузить поиск перед применением других инструментов.
Нулевые корни дают быструю проверку: если у многочлена нечётной степени нет перемен знака в \(f(x)\), у него должен быть хотя бы один отрицательный корень, поскольку у многочленов нечётной степени всегда есть хотя бы один действительный корень.
Правило особенно хорошо работает в сочетании с решателями уравнений, такими как Калькулятор кубических уравнений и Калькулятор уравнений четвёртой степени, и может подтвердить структуру корней, найденную с помощью Калькулятора квадратных уравнений.

Часто задаваемые вопросы

Как применить правило знаков Декарта вручную?

Запишите многочлен в стандартной форме, расположив члены от высшей степени к низшей, выпишите знаки ненулевых коэффициентов и посчитайте, сколько раз знак меняется между соседними коэффициентами. Это число или это число минус чётное — возможное количество положительных действительных корней. Затем подставьте −x вместо x, упростите, снова посчитайте перемен знака — и получите возможности для отрицательных корней. При подсчёте пропускайте нулевые коэффициенты.

Почему число корней отличается от числа перемен знака на чётное число?

Комплексные корни идут сопряжёнными парами, а корни, переходящие через ноль, меняют знаковую картину парами. Поэтому каждая пара положительных корней, которая «исчезает» (становится комплексной или отрицательной), уменьшает подсчёт ровно на 2. Вот почему 4 перемены знака означают 4, 2 или 0 положительных корней — но никогда 3 или 1. Чётность числа перемен знака всегда совпадает с чётностью фактического числа положительных корней.

Всегда ли одна перемена знака означает ровно один положительный корень?

Да — это самый сильный частный случай правила. Если коэффициенты многочлена имеют ровно одну перемену знака, у него ровно один положительный действительный корень (с учётом кратности). В отличие от общего случая, который лишь перечисляет возможности, одна перемена знака даёт однозначный ответ. Это часто используют, чтобы доказать, что уравнение имеет хотя бы одно положительное решение, например в экономических задачах или задачах оптимизации.

Как нулевые коэффициенты влияют на подсчёт?

Нулевые коэффициенты просто пропускаются — сравниваются только ненулевые. Например, в \(x^3 + 1\) знаки \(+, +\) для членов \(x^3\) и \(1\), перемен знака 0, значит, положительных корней нет. Если свободный член равен нулю, сначала вынесите наибольшую степень \(x\) (калькулятор сообщает её кратность), а затем примените правило к тому, что осталось.

Может ли правило дать точное число действительных корней?

Не всегда. Оно сужает возможности до списка, отличающегося на чётные числа, например «3 или 1 положительных корня». Однако некоторые результаты однозначны: 0 перемен знака означает ровно 0 корней данного знака, а 1 перемена знака — ровно 1. Чтобы разрешить неоднозначные случаи, комбинируйте правило с графиком, проверкой рациональных корней или численными методами.

Как вычисляется минимальное число комплексных корней?

Многочлен степени \(n\) имеет ровно \(n\) корней в общей сложности с учётом кратности. Возьмите максимально возможное число положительных корней (перемены знака в \(f(x)\)) плюс максимально возможное число отрицательных корней (перемены знака в \(f(-x)\)), прибавьте кратность нуля, если она есть, и вычтите из степени. Остаток — минимальное число комплексных корней, всегда чётное, поскольку комплексные корни идут сопряжёнными парами.

Какие ошибки чаще всего совершают при использовании правила?

Самые частые ошибки: забыть записать многочлен в порядке убывания степеней перед подсчётом, включить нулевые коэффициенты в подсчёт (их следует пропускать), забыть, что корни считаются с учётом кратности (двойной корень считается дважды), и неверно вычислить \(f(-x)\) — знак меняют только коэффициенты при нечётных степенях, поэтому \(x^2\) и свободный член остаются прежними. Также помните, что правило требует действительных коэффициентов.