Калькулятор правила знаків Декарта

Q: Чи одна зміна знака завжди означає рівно один додатний корінь?

Так — це найсильніший окремий випадок правила. Якщо коефіцієнти многочлена мають рівно одну зміну знака, він обов’язково має рівно один додатний дійсний корінь (з урахуванням кратності). На відміну від загального випадку, який лише перелічує можливості, одна зміна знака дає остаточну відповідь. Це часто використовують, щоб довести, що рівняння має принаймні один додатний розв’язок, наприклад в економічних задачах або задачах оптимізації.

Q: Як обчислюється мінімальна кількість комплексних коренів?

Многочлен степеня n має рівно n коренів загалом з урахуванням кратності. Візьміть максимально можливу кількість додатних коренів (зміни знака в f(x)) плюс максимально можливу кількість від'ємних коренів (зміни знака в f(-x)), додайте кратність нуля, якщо вона є, і відніміть від степеня. Різниця — це мінімальна кількість недійсних коренів, завжди парна, оскільки комплексні корені йдуть парами спряжених.

Оновлено: 02.10.2026

Оцініть кількість додатних, від’ємних і недійсних коренів многочлена за допомогою правила знаків Декарта. Введіть коефіцієнти в порядку спадання степенів, щоб побачити всі можливі кількості коренів.

Аналіз додатних і від'ємних дійсних коренів многочленів

Коефіцієнти многочленаВведіть коефіцієнти многочлена в порядку спадання степенів, розділені пробілами. Наприклад: «1 -6 11 -6» відповідає многочлену x³ - 6x² + 11x - 6

Рахувати автоматичноЯкщо увімкнено, результат оновлюватиметься автоматично після зміни будь-якого значення.

Ваші результати

Ваш многочлен

Кратність нуля як кореня

Кількість додатних коренів

Кількість від'ємних коренів

Мінімальна кількість недійсних коренів

Формула правила знаків Декарта

Формула

\[ P(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \dots + a_1x + a_0 \\[1em] V(x) = \text{кількість змін знака між коефіцієнтами } P(x) \\[1em] N_{\text{додатні}} \le V(x), \quad N_{\text{додатні}} \equiv V(x) \pmod{2} \\[1em] N_{\text{від’ємні}} \le V(-x), \quad N_{\text{від’ємні}} \equiv V(-x) \pmod{2} \]

Де:

\(P(x)\) — многочлен, коефіцієнти якого записані в порядку спадання степенів
\(V(x)\) — кількість змін знака між сусідніми ненульовими коефіцієнтами \(P(x)\)
\(V(-x)\) — кількість змін знака в \(P(-x)\), тобто в многочлені, де знаки всіх коефіцієнтів при непарних степенях змінено на протилежні
\(N_{\text{додатні}}\), \(N_{\text{від’ємні}}\) — кількість додатних і від’ємних дійсних коренів з урахуванням кратності

Правило стверджує, що кількість додатних дійсних коренів дорівнює кількості змін знака в \(P(x)\) або менша за неї на парне число. Те саме стосується від’ємних коренів після підстановки \(-x\) замість \(x\).

Правило знаків Декарта — приклад обчислення

Приклад: візьмемо многочлен \(f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6\), введений як коефіцієнти 1 -6 11 -6.

Крок 1 — додатні корені. Знаки коефіцієнтів \(f(x)\) такі:

\[ +,\ -,\ +,\ - \quad \Rightarrow \quad 3 \text{ зміни знака} \]

Отже, додатних дійсних коренів рівно 3 або рівно 1.

Крок 2 — від’ємні корені. Підставимо \(-x\):

\[ f(-x) = -x^3 - 6x^2 - 11x - 6 \]

Знаки: \(-, -, -, -\), що дає 0 змін знака, тому від’ємних дійсних коренів немає.

Результат: 3 або 1 додатні корені, 0 від’ємних коренів і щонайменше \(3 - 3 = 0\) недійсних коренів. Насправді \(f(x) = (x-1)(x-2)(x-3)\), тож усі три корені (1, 2, 3) додатні.

Як користуватися калькулятором

У полі Коефіцієнти многочлена введіть коефіцієнти вашого многочлена в порядку спадання степенів, розділені пробілами. Наприклад, 1 -6 11 -6 відповідає \(x^3 - 6x^2 + 11x - 6\).
Вказуйте нульові коефіцієнти там, де степінь відсутній: 2 0 -5 1 означає \(2x^3 - 5x + 1\). Початкові та кінцеві нулі обробляються автоматично.
Натисніть Обчислити.
Прочитайте результати: калькулятор показує ваш многочлен у стандартному вигляді, кратність нуля як кореня (якщо вільний член дорівнює 0), можливі кількості додатних дійсних коренів, можливі кількості від’ємних дійсних коренів та мінімальну кількість недійсних (комплексних) коренів.

Що говорить правило знаків Декарта

Правило знаків Декарта, опубліковане Рене Декартом у 1637 році, — це швидкий тест, який обмежує кількість додатних і від’ємних дійсних коренів многочлена без фактичного розв’язування рівняння. Запишіть многочлен у стандартному вигляді та порахуйте, скільки разів сусідні ненульові коефіцієнти змінюють знак. Ця кількість, зменшена на парне число, дає точну кількість додатних коренів. Повторивши підрахунок для \(f(-x)\), отримаємо можливі кількості від’ємних коренів.

Частина про «різницю на парне число» має значення. Якщо є 3 зміни знака, многочлен має 3 або 1 додатні корені — 2 або 0 не гарантуються; можливі лише 3 або 1. Якщо змін знака рівно 1, многочлен має рівно один додатний корінь — це один із найкорисніших окремих випадків правила.

Поєднання двох підрахунків зі степенем многочлена також дає мінімальну кількість недійсних коренів. Оскільки многочлен степеня \(n\) має рівно \(n\) коренів загалом (з урахуванням кратності, згідно з основною теоремою алгебри), а недійсні корені завжди йдуть парами спряжених, віднімання максимально можливих кількостей дійсних коренів від степеня дає мінімальну кількість комплексних коренів. Щоб дослідити їх, скористайтеся Калькулятором комплексних коренів та Калькулятором комплексно спряжених чисел.

Інтерпретація результатів

Кожен рядок результату перелічує всі можливості, узгоджені з правилом. «3 або 1» для додатних коренів означає, що обидва результати сумісні з розподілом знаків; щоб визначити фактичну кількість, потрібна додаткова інформація (графік, перевірка раціональних коренів або числові методи). Результат «рівно 0» є остаточним: якщо \(f(-x)\) не має змін знака, то многочлен не має від’ємних дійсних коренів — і крапка.

Якщо вільний член дорівнює нулю, \(x = 0\) є коренем, і калькулятор повідомляє його кратність, підраховуючи кінцеві нульові коефіцієнти. У такому випадку застосуйте правило до решти многочлена після винесення \(x^k\) за дужки.

Припущення, обмеження та поради

Коефіцієнти повинні бути дійсними. Правило не застосовується до многочленів з комплексними коефіцієнтами.
Нульові коефіцієнти пропускаються при підрахунку змін знака. Для \(x^3 + 1\) знаки \(+, +\) — одна зміна знака, отже, після перевірки також \(f(-x)\) — рівно 1 від'ємний корінь.
Правило враховує кратність. Подвійний корінь у точці \(x = 2\) рахується як два додатні корені.
Воно дає можливості, а не точні значення. Правило ніколи не говорить, якими саме є корені, а лише скільки коренів кожного знака може існувати. Використовуйте його, щоб звузити пошук перед застосуванням інших інструментів.
Нульові корені дають швидку перевірку: якщо многочлен непарного степеня не має змін знака в \(f(x)\), він обов’язково має принаймні один від’ємний корінь, оскільки многочлени непарного степеня завжди мають принаймні один дійсний корінь.
Правило особливо добре працює разом із розв’язувачами рівнянь, такими як Калькулятор кубічних рівнянь та Калькулятор рівнянь четвертого степеня, і може підтвердити структуру коренів, знайдену за допомогою Калькулятора квадратних рівнянь.

Часті запитання

Як застосувати правило знаків Декарта вручну?

Запишіть многочлен у стандартному вигляді з членами в порядку від найвищого до найнижчого степеня, випишіть знаки ненульових коефіцієнтів і порахуйте, скільки разів знак змінюється між сусідніми коефіцієнтами. Це число, або це число мінус парне число, — можлива кількість додатних дійсних коренів. Потім підставте −x замість x, спростіть, знову порахуйте зміни знака — і ви отримаєте можливі кількості від'ємних коренів. Нульові коефіцієнти при підрахунку пропускайте.

Чому кількість коренів відрізняється від кількості змін знака на парне число?

Недійсні корені йдуть парами спряжених, а корені, що переходять через нуль, змінюють розподіл знаків парами. Тому кожна пара додатних коренів, яка «зникає» (стає комплексною або від’ємною), зменшує кількість рівно на 2. Ось чому 4 зміни знака означають 4, 2 або 0 додатних коренів — ніколи 3 або 1. Парність кількості змін знака завжди збігається з парністю фактичної кількості додатних коренів.

Чи одна зміна знака завжди означає рівно один додатний корінь?

Так — це найсильніший окремий випадок правила. Якщо коефіцієнти многочлена мають рівно одну зміну знака, він обов’язково має рівно один додатний дійсний корінь (з урахуванням кратності). На відміну від загального випадку, який лише перелічує можливості, одна зміна знака дає остаточну відповідь. Це часто використовують, щоб довести, що рівняння має принаймні один додатний розв’язок, наприклад в економічних задачах або задачах оптимізації.

Як нульові коефіцієнти впливають на підрахунок?

Нульові коефіцієнти просто пропускаються — порівнюються лише ненульові. Наприклад, у \(x^3 + 1\) знаки \(+, +\) для членів \(x^3\) та \(1\), що дає 0 змін знака, отже, додатних коренів немає. Якщо вільний член дорівнює нулю, спочатку винесіть за дужки найвищий степінь \(x\) (калькулятор повідомляє його кратність), а потім застосуйте правило до того, що залишилося.

Чи може правило назвати точну кількість дійсних коренів?

Не завжди. Воно звужує можливості до списку значень, що відрізняються на парні числа, наприклад «3 або 1 додатні корені». Проте деякі результати остаточні: 0 змін знака означає рівно 0 коренів цього знака, а 1 зміна знака — рівно 1. Щоб уточнити неоднозначні випадки, поєднуйте правило з графіком, перевіркою раціональних коренів або числовими методами.

Як обчислюється мінімальна кількість комплексних коренів?

Многочлен степеня \(n\) має рівно \(n\) коренів загалом з урахуванням кратності. Візьміть максимально можливу кількість додатних коренів (зміни знака в \(f(x)\)) плюс максимально можливу кількість від'ємних коренів (зміни знака в \(f(-x)\)), додайте кратність нуля, якщо вона є, і відніміть від степеня. Різниця — це мінімальна кількість недійсних коренів, завжди парна, оскільки комплексні корені йдуть парами спряжених.

Які типові помилки при використанні правила?

Найчастіші помилки: забути записати многочлен у порядку спадання степенів перед підрахунком, врахувати нульові коефіцієнти в підрахунку (їх слід пропускати), забути, що корені рахуються з кратністю (подвійний корінь рахується двічі), і неправильно обчислити \(f(-x)\) — знак змінюється лише у коефіцієнтів при непарних степенях, тож \(x^2\) і вільний член залишаються без змін. Також пам'ятайте, що правило вимагає дійсних коефіцієнтів.