Calculadora de transposta de matriz

Q: O que é uma matriz simétrica e como reconhecer uma?

Uma matriz é simétrica quando A^T = A, ou seja, quando ela é idêntica à própria reflexão em relação à diagonal principal — todo par de elementos fora da diagonal satisfaz a_ij = a_ji. Você pode testar isso com a calculadora: digite sua matriz e veja se a saída é igual à entrada. Matrizes simétricas têm autovalores reais e aparecem em matrizes de covariância e em formas quadráticas. Já uma matriz antissimétrica satisfaz A^T = -A e precisa ter zeros na diagonal.

Atualizado: 14 outubro 2026

Informe os elementos de uma matriz 2 × 2 ou 3 × 3 e esta calculadora troca instantaneamente suas linhas e colunas, gerando a matriz transposta Aᵀ, exibida em forma de tabela.

Transponha uma matriz trocando linhas e colunas

Fórmula da transposta de matriz

Fórmula

\[ \begin{aligned} A &= \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{bmatrix}, \quad A^{T} = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{21} & \cdots & a_{n1} \\ a_{12} & a_{22} & \cdots & a_{n2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{1n} & a_{2n} & \cdots & a_{nn} \end{bmatrix} \\[8pt] &\left( A^{T} \right)_{ij} = a_{ji} \end{aligned} \]

Onde:

\(a_{ij}\) — o elemento da matriz \(A\) localizado na linha \(i\) e na coluna \(j\)
\(A^{T}\) — a transposta de \(A\), cujo elemento na linha \(i\), coluna \(j\), é igual ao elemento de \(A\) na linha \(j\), coluna \(i\)
\(n\) — o número de linhas e colunas (2 ou 3, no caso de uma matriz quadrada)

A fórmula mostra que transpor uma matriz equivale a refleti-la em relação à diagonal principal: cada linha de \(A\) se torna uma coluna de \(A^{T}\), e cada coluna se torna uma linha.

Transposta de matriz – Exemplo de cálculo

Exemplo: transpor a matriz 3 × 3 com os elementos de 1 a 9, dispostos linha por linha.

\[ A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{bmatrix} \]

Troque linhas e colunas: a primeira coluna \((1, 4, 7)\) passa a ser a primeira linha, a segunda coluna \((2, 5, 8)\) passa a ser a segunda linha e a terceira coluna \((3, 6, 9)\) passa a ser a terceira linha.

\[ A^{T} = \begin{bmatrix} 1 & 4 & 7 \\ 2 & 5 & 8 \\ 3 & 6 & 9 \end{bmatrix} \]

Resultado: a matriz transposta é \(A^{T} = \begin{bmatrix} 1 & 4 & 7 \\ 2 & 5 & 8 \\ 3 & 6 & 9 \end{bmatrix}\).

Como usar a calculadora

No menu suspenso Tamanho da matriz, escolha 2 × 2 ou 3 × 3 — os campos de preenchimento se ajustam automaticamente.
Preencha todos os campos visíveis da Matriz A (a₁₁, a₁₂ e assim por diante) com os elementos da sua matriz, linha por linha. O índice indica a posição: a₁₂ está na linha 1, coluna 2.
Leia o resultado em Matriz transposta Aᵀ: ele aparece como uma tabela com as linhas e colunas trocadas.

Se você deixar todos os campos com os valores padrão (uma matriz 3 × 3 preenchida com os números de 1 a 9), o resultado será igual ao do exemplo resolvido acima — uma boa forma de conferir que tudo funciona como esperado.

O que é a transposta de uma matriz?

A transposta de uma matriz \(A\), escrita \(A^{T}\) (ou, às vezes, \(A'\)), é obtida transformando cada linha em coluna e cada coluna em linha. Visualmente, é uma reflexão da matriz em relação à diagonal principal — a diagonal que vai do canto superior esquerdo ao canto inferior direito. Os elementos da diagonal principal permanecem exatamente onde estão; todo o restante vai para a posição espelhada.

Embora transpor pareça uma operação puramente mecânica, ela tem significado prático. Na análise de dados, uma tabela de medições com os indivíduos nas linhas e as variáveis nas colunas se torna, depois da transposição, uma tabela com as variáveis nas linhas e os indivíduos nas colunas. Na computação gráfica, as transpostas aparecem na conversão entre as convenções de vetores linha e vetores coluna. Na estatística, a transposta é um bloco fundamental da matriz de covariância e da regressão por mínimos quadrados, em expressões como \(A^{T}A\).

Interpretar o resultado é simples: compare a primeira linha da saída com a primeira coluna da sua entrada — elas precisam ser idênticas. Se forem, a transposta está correta. No caso de uma matriz quadrada, você também pode verificar uma propriedade útil: a transposta da transposta devolve a matriz original, \((A^{T})^{T} = A\).

Dois casos especiais merecem ser reconhecidos. Se \(A^{T} = A\), a matriz é chamada simétrica — ela é idêntica à própria reflexão pela diagonal. Se \(A^{T} = -A\), ela é antissimétrica, o que obriga todos os elementos da diagonal a serem zero. Experimente digitar uma matriz simétrica (por exemplo, 1, 2, 3 na primeira linha e 2, 4, 5 na segunda) e confira que a saída é igual à entrada.

Propriedades, premissas e dicas

Apenas matrizes quadradas. Esta calculadora trabalha com matrizes 2 × 2 e 3 × 3. A transposta em si é definida para qualquer matriz retangular — uma matriz 2 × 3 vira, ao ser transposta, uma matriz 3 × 2 — mas os campos aqui pressupõem um formato quadrado.
Regras algébricas básicas. A transposição respeita a adição, \((A + B)^{T} = A^{T} + B^{T}\), e inverte a ordem da multiplicação, \((AB)^{T} = B^{T}A^{T}\). Ela também comuta com a multiplicação por escalar: \((cA)^{T} = cA^{T}\).
Números reais quaisquer. Você pode digitar valores positivos, negativos, decimais ou zero. Os resultados são exibidos arredondados para duas casas decimais, de modo que valores com mais casas decimais podem aparecer levemente alterados.
Atenção à convenção de sinais. A transposta não é o mesmo que a inversa, nem é a transposta conjugada usada para matrizes complexas (na qual os sinais das partes imaginárias também são trocados — o análogo matricial de se tomar o conjugado complexo).

Se você estiver explorando temas relacionados, um quadrado mágico é um divertido quebra-cabeça de matriz no estilo simétrico, e o método de eliminação para resolver sistemas lineares é outro contexto em que matrizes e seus elementos são manipulados linha por linha.

Perguntas frequentes

Como transpor uma matriz à mão?

Escreva a primeira linha da sua matriz como a primeira coluna da nova matriz, depois a segunda linha como a segunda coluna, e assim por diante. De forma equivalente, cada elemento \(a_{ij}\) vai para a posição \(a_{ji}\), que é a imagem espelhada em relação à diagonal principal. Numa matriz 2 × 2, apenas os dois elementos fora da diagonal realmente trocam de lugar: \(\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}^{T} = \begin{bmatrix} a & c \\ b & d \end{bmatrix}\).

Qual é a diferença entre a transposta e a inversa?

A transposta apenas troca linhas e colunas — nenhum cálculo é feito com os elementos. A inversa \(A^{-1}\) é uma matriz diferente, que satisfaz \(A A^{-1} = I\) e só existe para matrizes quadradas com determinante diferente de zero. Calcular uma inversa exige dividir pelo determinante, não apenas reorganizar elementos. Uma matriz pode ser igual à própria inversa (uma matriz involutiva), mas isso é coincidência, não regra.

Transpor altera o determinante ou o traço?

Não. Tanto o determinante quanto o traço permanecem inalterados pela transposição: \(\det(A^{T}) = \det(A)\) e \(\operatorname{tr}(A^{T}) = \operatorname{tr}(A)\). Isso acontece porque os elementos da diagonal principal ficam no lugar. Os autovalores de \(A^{T}\) também coincidem com os de \(A\), enquanto operações relacionadas, como a matriz adjunta, envolvem mudanças de sinal no polinômio característico.

Posso transpor uma matriz não quadrada, como 2 × 3?

Sim, a transposta existe para qualquer matriz retangular — uma matriz 2 × 3 se torna uma 3 × 2, com linhas e colunas trocando de papel. Esta calculadora oferece campos apenas para os formatos quadrados 2 × 2 e 3 × 3. Como alternativa para uma matriz 2 × 3, você pode transpor à mão: escreva cada uma das duas linhas como uma coluna e confira refletindo os elementos em relação à diagonal.

Por que (AB)ᵀ = BᵀAᵀ, e não AᵀBᵀ?

A ordem se inverte por causa do modo como as dimensões das matrizes precisam se alinhar. Se \(A\) é \(m \times n\) e \(B\) é \(n \times p\), então \(A^{T}\) é \(n \times m\) e \(B^{T}\) é \(p \times n\). O produto \(A^{T}B^{T}\) em geral nem chega a estar definido do ponto de vista dimensional, enquanto \(B^{T}A^{T}\) é \(p \times m\), o que coincide com \((AB)^{T}\). Essa inversão é conhecida como o princípio das meias e dos sapatos.

O que é uma matriz simétrica e como reconhecer uma?

Uma matriz é simétrica quando \(A^{T} = A\), ou seja, quando ela é idêntica à própria reflexão em relação à diagonal principal — todo par de elementos fora da diagonal satisfaz \(a_{ij} = a_{ji}\). Você pode testar isso com a calculadora: digite sua matriz e veja se a saída é igual à entrada. Matrizes simétricas têm autovalores reais e aparecem em matrizes de covariância e em formas quadráticas. Já uma matriz antissimétrica satisfaz \(A^{T} = -A\) e precisa ter zeros na diagonal.

Quais erros são mais comuns ao transpor uma matriz?

O erro mais frequente é trocar os elementos errados — algumas pessoas refletem em relação à antidiagonal (do canto superior direito ao inferior esquerdo) em vez da diagonal principal, ou giram a matriz 90° em vez de refleti-la. Outro engano é supor que a transposta é igual à inversa. Confira sempre: a primeira linha da saída precisa corresponder exatamente à primeira coluna da entrada, e os elementos da diagonal devem permanecer no lugar.