Calculadora de traço de matriz

Q: Como calcular o traço de uma matriz manualmente?

Circule os elementos que estão na diagonal principal — aqueles que vão do canto superior esquerdo ao canto inferior direito — e some-os. Para uma matriz 3 × 3, isso significa a_11 + a_22 + a_33. Não há multiplicação nem regra de sinais envolvida; é uma soma simples. Confira se você pegou a diagonal que vai do canto superior esquerdo ao inferior direito, e não a antidiagonal — esse é um deslize muito comum.

Q: Posso usar esta calculadora para uma matriz 4 × 4 ou maior?

Não diretamente — a ferramenta suporta matrizes 2 × 2 e 3 × 3. Para uma matriz quadrada maior, a regra é exatamente a mesma: some os elementos a_11 + a_22 + a_33 + a_44 + dots. Como o traço envolve apenas a diagonal, você calcula o traço de uma matriz n × n manualmente em segundos, ou divide a matriz em blocos cujos traços se somam, já que o traço é linear.

Q: O traço muda se eu transpor a matriz?

Não. A transposta A^T troca linhas por colunas, mas todo elemento da diagonal a_ii permanece no lugar, portanto tr(A^T) = tr(A). O mesmo vale para outros rearranjos baseados em semelhança: conjugar uma matriz por uma matriz inversível P, ou seja, P^-1AP, deixa o traço inalterado. Essa invariância é a razão pela qual o traço é considerado uma propriedade intrínseca da transformação linear, e não de uma representação matricial específica.

Q: Qual é o traço de uma matriz identidade?

O traço da matriz identidade n × n é igual a n, porque todos os elementos da diagonal valem 1. Por exemplo, tr(I_3) = 1 + 1 + 1 = 3. De modo geral, tr(cI) = cn para um múltiplo escalar da identidade. Um fato útil relacionado: tr(A) é igual à soma dos autovalores, e a matriz identidade tem todos os autovalores iguais a 1 — o que é consistente.

Q: O traço é igual à soma de todos os elementos da matriz?

Normalmente não — esse é o erro mais comum. O traço soma apenas os elementos da diagonal; os elementos fora da diagonal são ignorados. Para a matriz 3 × 3 preenchida com os números de 1 a 9, a soma dos nove elementos é 45, mas o traço é apenas 1 + 5 + 9 = 15. Somente no caso de uma matriz diagonal (em que todos os elementos fora da diagonal são zero) os dois valores coincidem.

Q: O traço pode ser negativo, zero ou um número decimal?

Sim nos três casos. O traço é apenas uma soma de números reais, então qualquer elemento da diagonal que seja negativo ou decimal vai direto para o resultado. Um traço igual a zero é perfeitamente normal e não significa que a matriz seja nula — por exemplo, toda matriz de rotação 2 × 2 beginpmatrix cosθ & -sinθ ; sinθ & cosθ endpmatrix tem traço 2cosθ, que é zero para uma rotação de 90°.

Q: Como o traço e o determinante são usados juntos?

Para qualquer matriz 2 × 2, o traço t e o determinante d fornecem os dois autovalores de uma vez, já que eles satisfazem λ^2 - tλ + d = 0. Resolvendo: λ = fract ± √(t^2 - 4d)2. Se t^2 < 4d, o radicando é negativo e os autovalores formam um par conjugado complexo. Esse duo traço-determinante é a base da análise de estabilidade de sistemas 2 × 2 em equações diferenciais.

Atualizado: 14 outubro 2026

Digite os elementos de uma matriz quadrada 2 × 2 ou 3 × 3 e obtenha na hora o seu traço — a soma dos elementos da diagonal principal, a₁₁ + a₂₂ (+ a₃₃).

Calcule o traço de uma matriz quadrada

Fórmula do traço de matriz

Fórmula

\[ \operatorname{tr}(A) = \sum_{i=1}^{n} a_{ii} = a_{11} + a_{22} + \dots + a_{nn} \]

Onde:

\(a_{ii}\) — o elemento da matriz \(A\) na linha \(i\), coluna \(i\) (um elemento da diagonal principal)
\(n\) — a ordem da matriz quadrada (número de linhas = número de colunas)

O traço de uma matriz quadrada é a soma dos elementos da sua diagonal principal — aqueles cujo índice da linha é igual ao índice da coluna. Somente matrizes quadradas possuem traço; uma matriz retangular não tem uma diagonal principal bem definida, pois comprimento e largura não coincidem.

Traço de matriz – Exemplo de cálculo

Exemplo: calcular o traço da matriz 3 × 3 cujos elementos vão de 1 a 9, linha por linha (esses são os valores padrão da calculadora).

\[
A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix}
\]

\[
\operatorname{tr}(A) = a_{11} + a_{22} + a_{33} = 1 + 5 + 9 = 15
\]

Resultado: \(\operatorname{tr}(A) = 15\).

Como usar a calculadora

Abra o menu suspenso Tamanho da matriz e escolha 2 × 2 ou 3 × 3. A grade de campos se ajusta automaticamente: para uma matriz 2 × 2, a terceira linha e a terceira coluna ficam ocultas.
Preencha os campos da Matriz A (a₁₁, a₁₂, …) com os elementos da sua matriz, linha por linha. Cada rótulo indica a posição: a₂₃ é a linha 2, coluna 3.
Leia o resultado: Traço (tr A) é a soma dos elementos da diagonal principal, e Elementos somados da diagonal mostra exatamente quais números foram somados.
Altere qualquer valor e o resultado é atualizado imediatamente — não é preciso clicar em botão nenhum.

O que é o traço de uma matriz?

O traço é um dos números mais simples e, ao mesmo tempo, mais importantes associados a uma matriz quadrada. Embora pareça um resumo banal, ele carrega informações estruturais profundas: o traço é igual à soma dos autovalores da matriz, contando as multiplicidades. Para uma matriz 2 × 2 \(A\) com autovalores \(\lambda_1\) e \(\lambda_2\), vale sempre \(\operatorname{tr}(A) = \lambda_1 + \lambda_2\), enquanto o determinante dá \(\det(A) = \lambda_1 \lambda_2\). É por isso que o traço aparece constantemente no polinômio característico, na análise de estabilidade de sistemas dinâmicos e na mecânica quântica, onde o traço de um operador fornece o valor esperado de um observável.

O traço também tem propriedades algébricas convenientes, que o tornam uma ferramenta essencial em demonstrações e cálculos com matrizes:

Linearidade: \(\operatorname{tr}(A + B) = \operatorname{tr}(A) + \operatorname{tr}(B)\) e \(\operatorname{tr}(cA) = c\,\operatorname{tr}(A)\).
Propriedade cíclica: \(\operatorname{tr}(ABC) = \operatorname{tr}(BCA) = \operatorname{tr}(CAB)\), o que implica \(\operatorname{tr}(AB) = \operatorname{tr}(BA)\) mesmo quando \(AB \neq BA\).
Invariância por semelhança: se \(B = P^{-1}AP\), então \(\operatorname{tr}(B) = \operatorname{tr}(A)\). O traço é o mesmo em qualquer base.

Geometricamente, quando a matriz representa uma transformação linear, o traço mede como a transformação escala o volume localmente na direção da diagonal: traços positivos dilatam, traços negativos comprimem e um traço nulo indica que as contribuições diagonais se cancelam. Em teoria dos grafos, o traço de \(A^k\) conta os passeios fechados de comprimento \(k\) no grafo descrito por \(A\).

Premissas e dicas práticas

Esta calculadora funciona com matrizes 2 × 2 e 3 × 3 e aceita qualquer número real como elemento, incluindo negativos e decimais. Os elementos fora da diagonal que você digitar não afetam o resultado — o traço depende apenas da diagonal principal —, mas ainda é preciso preenchê-los para que a matriz fique totalmente especificada.

Na hora de interpretar o resultado, leve em conta o seguinte:

Apenas matrizes quadradas. Se os seus dados formam uma matriz retangular (por exemplo, 2 × 3), o traço não está definido. Repense o que seus dados representam ou reduza-os a uma forma quadrada.
O traço é um único número, não uma matriz. Um traço igual a 0 não significa que a matriz seja nula ou trivial — muitas matrizes não nulas (por exemplo, as matrizes de rotação) têm traço zero.
Traço e determinante juntos determinam completamente os autovalores de qualquer matriz 2 × 2 por meio da equação quadrática \(\lambda^2 - \operatorname{tr}(A)\,\lambda + \det(A) = 0\). Autovalores complexos sempre vêm em pares conjugados — veja a calculadora de Conjugado complexo —, de modo que, para uma matriz real 2 × 2 com \(\operatorname{tr}(A)^2 < 4\det(A)\), os autovalores são complexos.

Está trabalhando com grades de números em outros contextos? As diagonais de um quadrado também importam em desafios — experimente o gerador de Quadrado mágico, em que toda linha, coluna e diagonal deve ter a mesma soma. Se o seu trabalho com matrizes levar à resolução de sistemas de equações lineares, a calculadora do Método de eliminação pode cuidar do próximo passo.

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Perguntas frequentes

Como calcular o traço de uma matriz manualmente?

Circule os elementos que estão na diagonal principal — aqueles que vão do canto superior esquerdo ao canto inferior direito — e some-os. Para uma matriz 3 × 3, isso significa \(a_{11} + a_{22} + a_{33}\). Não há multiplicação nem regra de sinais envolvida; é uma soma simples. Confira se você pegou a diagonal que vai do canto superior esquerdo ao inferior direito, e não a antidiagonal — esse é um deslize muito comum.

Posso usar esta calculadora para uma matriz 4 × 4 ou maior?

Não diretamente — a ferramenta suporta matrizes 2 × 2 e 3 × 3. Para uma matriz quadrada maior, a regra é exatamente a mesma: some os elementos \(a_{11} + a_{22} + a_{33} + a_{44} + \dots\). Como o traço envolve apenas a diagonal, você calcula o traço de uma matriz \(n \times n\) manualmente em segundos, ou divide a matriz em blocos cujos traços se somam, já que o traço é linear.

O traço muda se eu transpor a matriz?

Não. A transposta \(A^T\) troca linhas por colunas, mas todo elemento da diagonal \(a_{ii}\) permanece no lugar, portanto \(\operatorname{tr}(A^T) = \operatorname{tr}(A)\). O mesmo vale para outros rearranjos baseados em semelhança: conjugar uma matriz por uma matriz inversível \(P\), ou seja, \(P^{-1}AP\), deixa o traço inalterado. Essa invariância é a razão pela qual o traço é considerado uma propriedade intrínseca da transformação linear, e não de uma representação matricial específica.

Qual é o traço de uma matriz identidade?

O traço da matriz identidade \(n \times n\) é igual a \(n\), porque todos os elementos da diagonal valem 1. Por exemplo, \(\operatorname{tr}(I_3) = 1 + 1 + 1 = 3\). De modo geral, \(\operatorname{tr}(cI) = cn\) para um múltiplo escalar da identidade. Um fato útil relacionado: \(\operatorname{tr}(A)\) é igual à soma dos autovalores, e a matriz identidade tem todos os autovalores iguais a 1 — o que é consistente.

O traço é igual à soma de todos os elementos da matriz?

Normalmente não — esse é o erro mais comum. O traço soma apenas os elementos da diagonal; os elementos fora da diagonal são ignorados. Para a matriz 3 × 3 preenchida com os números de 1 a 9, a soma dos nove elementos é 45, mas o traço é apenas \(1 + 5 + 9 = 15\). Somente no caso de uma matriz diagonal (em que todos os elementos fora da diagonal são zero) os dois valores coincidem.

O traço pode ser negativo, zero ou um número decimal?

Sim nos três casos. O traço é apenas uma soma de números reais, então qualquer elemento da diagonal que seja negativo ou decimal vai direto para o resultado. Um traço igual a zero é perfeitamente normal e não significa que a matriz seja nula — por exemplo, toda matriz de rotação 2 × 2 \(\begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}\) tem traço \(2\cos\theta\), que é zero para uma rotação de 90°.

Como o traço e o determinante são usados juntos?

Para qualquer matriz 2 × 2, o traço \(t\) e o determinante \(d\) fornecem os dois autovalores de uma vez, já que eles satisfazem \(\lambda^2 - t\lambda + d = 0\). Resolvendo: \(\lambda = \frac{t \pm \sqrt{t^2 - 4d}}{2}\). Se \(t^2 < 4d\), o radicando é negativo e os autovalores formam um par conjugado complexo. Esse duo traço-determinante é a base da análise de estabilidade de sistemas 2 × 2 em equações diferenciais.