Verificador de números primos

Q: Como verificar manualmente se um número é primo?

Teste se algum número inteiro de 2 até √(n) divide o seu número exatamente. Se nenhum dividir, o número é primo. Para 137, √(137) ≈ 11.7, então você verifica apenas 2, 3, 5, 7 e 11 — nenhum deles divide 137, portanto 137 é primo. Depois de testar o 2, pule os candidatos pares para economizar tempo e lembre-se de que nunca é preciso testar além da raiz quadrada.

Q: Por que 1 não é um número primo?

Um primo precisa ter exatamente dois divisores positivos: 1 e ele mesmo. O número 1 tem apenas um divisor, então não atende à definição. Essa convenção também mantém válido o teorema fundamental da aritmética — se 1 contasse como primo, todo número maior que 1 teria infinitas fatorações, como 6 = 2 × 3 = 2 × 3 × 1. Por isso, 1 não é nem primo, nem composto.

Q: Quais são os truques de divisibilidade mais rápidos antes de testar?

Olhe o último algarismo: números terminados em 0, 2, 4, 5, 6 ou 8 são divisíveis por 2 ou por 5. Some os algarismos — se a soma for divisível por 3, o número também é (para 87: 8 + 7 = 15, divisível por 3, logo 87 é composto). Para o 11, alterne somas e subtrações dos algarismos; se o resultado for divisível por 11, o número também é. Essas regras eliminam instantaneamente a maioria dos compostos.

Q: Qual é a diferença entre números primos e coprimos?

A primalidade é uma propriedade de um número isolado: ele tem exatamente dois divisores. Serem coprimos (ou primos entre si) é uma propriedade de um par: dois números são coprimos quando o máximo divisor comum deles é 1. Por exemplo, 8 e 15 são ambos compostos, mas são coprimos porque gcd(8, 15) = 1. Repare que 2 e 3 são coprimos, mas 4 e 9 também — nenhum dos dois precisa ser primo.

Q: Quais são os números que parecem primos, mas não são?

"Pseudoprimos" famosos incluem 91 (= 7 × 13), 57 (= 3 × 19), 51 (= 3 × 17), 87 (= 3 × 29) e 119 (= 7 × 17). Eles passam despercebidos porque não são divisíveis por 2, por 5 ou por um quadrado óbvio. Ao verificar manualmente, teste sempre com cuidado o 3 (soma dos algarismos), o 7 e o 11 — eles pegam a maioria dos casos difíceis abaixo de 150.

Q: Como encontrar a fatoração em primos de um número passo a passo?

Divida repetidamente pelo menor primo que couber. Para 360: divida por 2 para obter 180, por 2 para obter 90 e por 2 para obter 45; 45 não é par, então divida por 3 para obter 15 e por 3 para obter 5. Isso dá 360 = 2^3 × 3^2 × 5. Continue até o próprio resto ser um primo. Cada etapa de divisão é garantida por algum primo graças ao teorema fundamental da aritmética.

Q: Existem infinitos números primos?

Sim — Euclides provou isso por volta de 300 a.C. Suponha que existisse um maior primo; multiplique todos os primos conhecidos e some 1: o resultado não é divisível por nenhum deles, então precisa ter um novo fator primo. Existem 78.498 primos abaixo de um milhão e cerca de π(10^12) ≈ 37.6 bilhões abaixo de um trilhão. Em média, os intervalos entre primos crescem, mas novos primos recordes continuam sendo descobertos — com mais de 24 milhões de dígitos nos achados recentes.

Atualizado: 15 outubro 2026

Digite qualquer número inteiro até um trilhão e descubra na hora se ele é primo ou composto. A calculadora também mostra o menor fator primo e a fatoração completa em primos, com explicação.

Este número é primo?

Fórmula do verificador de números primos

Fórmula

\[ n \text{ é primo} \;\iff\; n > 1 \text{ e nenhum inteiro } d \text{ com } 1 < d \le \sqrt{n} \text{ divide } n \]

Onde:

\(n\) — o número inteiro que está sendo testado
\(d\) — um candidato a divisor
\(\sqrt{n}\) — a raiz quadrada de \(n\), arredondada para baixo até o inteiro mais próximo

A fórmula expressa o teste de divisão por tentativa: basta procurar divisores até \(\sqrt{n}\), pois, se \(n = a \times b\) com os dois fatores maiores que 1, pelo menos um deles não pode ultrapassar \(\sqrt{n}\). É por isso que a calculadora testa candidatos apenas até a raiz quadrada, pulando os múltiplos de 2 e 3 (ela verifica 2, 3 e, em seguida, os números da forma \(6k \pm 1\)).

Verificador de números primos – Exemplo de cálculo

Exemplo: 91 é um número primo? Testamos os candidatos a divisor até \(\sqrt{91} \approx 9.54\), então basta verificar 2, 3, 5 e 7.

\[ 91 \div 2 = 45.5 \quad (\text{não é divisor}) \]

\[ 91 \div 3 = 30.\overline{3} \quad (\text{não é divisor}) \]

\[ 91 \div 5 = 18.2 \quad (\text{não é divisor}) \]

\[ 91 \div 7 = 13 \quad (\text{exato — 7 é divisor!}) \]

Resultado: 91 é um número composto. Seu menor fator primo é 7, já que \(91 = 7 \times 13\), e a fatoração completa em primos é \(91 = 7 \times 13\).

Como usar o verificador de números primos

Digite o número inteiro que você quer testar no campo Número a verificar (n). São aceitos inteiros de 0 a 1.000.000.000.000 (10¹²).
Leia a linha Resultado — primo ou composto para conhecer o veredito. Números menores que 2 são informados como "nem primos, nem compostos".
Se o número for composto, veja Um fator primo (exibido se composto) — trata-se do menor primo que divide o seu número, junto com o cofator correspondente.
Leia a seção Fatoração completa em primos e explicação, que decompõe o número em fatores primos e mostra como a resposta foi verificada.

O que é um número primo?

Um número primo é um número inteiro maior que 1 que tem exatamente dois divisores positivos: 1 e ele mesmo. Os primeiros primos são 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29. Todos os demais inteiros maiores que 1 são compostos, ou seja, podem ser escritos como o produto de dois inteiros menores, ambos maiores que 1.

O número 2 merece menção especial: é o único primo par, já que todo outro número par é divisível por 2. Os números 0 e 1 não são nem primos, nem compostos — 1 tem apenas um divisor e 0 é divisível por todo inteiro positivo, de modo que nenhum dos dois se encaixa na definição de "exatamente dois divisores".

Os números primos são os blocos de construção da aritmética. O teorema fundamental da aritmética afirma que todo número inteiro maior que 1 se decompõe em primos de um único modo (desconsiderando a ordem dos fatores). É por isso que a calculadora mostra a fatoração completa em primos sempre que o número é composto: ela revela exatamente quais blocos primos formam o seu número e quantas vezes cada um aparece.

Interpretar o resultado é simples. Se o veredito for primo, o número não pode ser decomposto em fatores menores. Se for composto, o menor fator primo exibido é a maneira mais fácil de provar isso — dividir o seu número por esse fator resulta em um número inteiro, o que descarta a primalidade imediatamente.

Premissas, limitações e dicas

Intervalo: a calculadora aceita inteiros de 0 a 10¹². Números maiores exigem métodos mais avançados.
Método: ela usa a divisão por tentativa com a otimização \(6k \pm 1\), que é rápida e fornece uma resposta matematicamente certa para os números no intervalo suportado. Testes probabilísticos, como o Pequeno Teorema de Fermat, são usados para números astronomicamente grandes, porque a divisão por tentativa, embora exata, torna-se lenta demais.
Decimais e negativos: a primalidade só está definida para números inteiros maiores que 1; por isso, entradas decimais, números negativos e 0 ou 1 geram uma explicação em vez de um veredito.
Verificações manuais rápidas: antes de usar a calculadora, muitas vezes você já pode descartar a primalidade de cabeça — um número terminado em 0, 2, 4, 5, 6 ou 8 é divisível por 2 ou por 5, e um número cujos algarismos somam um múltiplo de 3 (como no caso de 91, em que 9 + 1 = 10... atenção: 10 não é divisível por 3, então esse atalho falha aqui) é divisível por 3. O teste da soma dos algarismos tem relação com a raiz digital.
Por que a fatoração importa: as fatorações em primos são a base de muitas ferramentas da teoria dos números, do inverso multiplicativo módulo n usado na criptografia até a resolução de sistemas de congruências pelo Teorema Chinês do Resto.

Perguntas frequentes

Como verificar manualmente se um número é primo?

Teste se algum número inteiro de 2 até \(\sqrt{n}\) divide o seu número exatamente. Se nenhum dividir, o número é primo. Para 137, \(\sqrt{137} \approx 11.7\), então você verifica apenas 2, 3, 5, 7 e 11 — nenhum deles divide 137, portanto 137 é primo. Depois de testar o 2, pule os candidatos pares para economizar tempo e lembre-se de que nunca é preciso testar além da raiz quadrada.

Por que 1 não é um número primo?

Um primo precisa ter exatamente dois divisores positivos: 1 e ele mesmo. O número 1 tem apenas um divisor, então não atende à definição. Essa convenção também mantém válido o teorema fundamental da aritmética — se 1 contasse como primo, todo número maior que 1 teria infinitas fatorações, como \(6 = 2 \times 3 = 2 \times 3 \times 1\). Por isso, 1 não é nem primo, nem composto.

Quais são os truques de divisibilidade mais rápidos antes de testar?

Olhe o último algarismo: números terminados em 0, 2, 4, 5, 6 ou 8 são divisíveis por 2 ou por 5. Some os algarismos — se a soma for divisível por 3, o número também é (para 87: \(8 + 7 = 15\), divisível por 3, logo 87 é composto). Para o 11, alterne somas e subtrações dos algarismos; se o resultado for divisível por 11, o número também é. Essas regras eliminam instantaneamente a maioria dos compostos.

Qual é a diferença entre números primos e coprimos?

A primalidade é uma propriedade de um número isolado: ele tem exatamente dois divisores. Serem coprimos (ou primos entre si) é uma propriedade de um par: dois números são coprimos quando o máximo divisor comum deles é 1. Por exemplo, 8 e 15 são ambos compostos, mas são coprimos porque \(\gcd(8, 15) = 1\). Repare que 2 e 3 são coprimos, mas 4 e 9 também — nenhum dos dois precisa ser primo.

Quais são os números que parecem primos, mas não são?

"Pseudoprimos" famosos incluem 91 (\(= 7 \times 13\)), 57 (\(= 3 \times 19\)), 51 (\(= 3 \times 17\)), 87 (\(= 3 \times 29\)) e 119 (\(= 7 \times 17\)). Eles passam despercebidos porque não são divisíveis por 2, por 5 ou por um quadrado óbvio. Ao verificar manualmente, teste sempre com cuidado o 3 (soma dos algarismos), o 7 e o 11 — eles pegam a maioria dos casos difíceis abaixo de 150.

Como encontrar a fatoração em primos de um número passo a passo?

Divida repetidamente pelo menor primo que couber. Para 360: divida por 2 para obter 180, por 2 para obter 90 e por 2 para obter 45; 45 não é par, então divida por 3 para obter 15 e por 3 para obter 5. Isso dá \(360 = 2^3 \times 3^2 \times 5\). Continue até o próprio resto ser um primo. Cada etapa de divisão é garantida por algum primo graças ao teorema fundamental da aritmética.

Existem infinitos números primos?

Sim — Euclides provou isso por volta de 300 a.C. Suponha que existisse um maior primo; multiplique todos os primos conhecidos e some 1: o resultado não é divisível por nenhum deles, então precisa ter um novo fator primo. Existem 78.498 primos abaixo de um milhão e cerca de \(\pi(10^{12}) \approx 37.6\) bilhões abaixo de um trilhão. Em média, os intervalos entre primos crescem, mas novos primos recordes continuam sendo descobertos — com mais de 24 milhões de dígitos nos achados recentes.