Система линейных уравнений
Система линейных уравнений (или линейной системы) представляет собой набор уравнений с n-м количеством неизвестных и таким же набором переменных.
Система линейных уравнений (2x2)
Метод Крамера для системы из двух уравнений
\[
\textbf{Система уравнений:}
\quad
\begin{cases}
a_1x + b_1y = c_1 \\
a_2x + b_2y = c_2
\end{cases}
\]
\[
\textbf{Определитель системы:} \quad
\Delta = a_1b_2 — a_2b_1
\]
\[
\textbf{Решения:} \quad
x = \frac{c_1b_2 — c_2b_1}{\Delta}, \quad
y = \frac{a_1c_2 — a_2c_1}{\Delta}
\]
Система линейных уравнений — это основа линейной алгебры.
Для её решения применяются:
- метод подстановки
- метод исключения
- метод Крамера
- матричный метод
✍️ Метод исключения – пошаговый пример
Рассмотрим систему:
— 2x + y = 7
— 2x — y = 1
🔹 Шаг 1: Складываем уравнения
- $$(2x + y) + (2x — y) = 7 + 1 $$
- $$4x = 8 \Rightarrow x = 2$$
🔹 Шаг 2: Подставляем ( x = 2 ) в первое уравнение
- $$2x + y = 7$$
- $$2 \cdot 2 + y = 7$$
- $$4 + y = 7 \Rightarrow y = 3$$
✅ Ответ: x = 2, y = 3
🧮 Пример 1
Решите:
— 3x — 5y = -16
— 2x + 5y = 31
🔹 Шаг 1: Складываем уравнения
- $$(3x — 5y) + (2x + 5y) = -16 + 31 $$
- $$5x = 15 \Rightarrow x = 3$$
🔹 Шаг 2: Подставляем ( x = 3 )
- $$3x — 5y = -16$$
- $$3 * 3 — 5y = -16$$
- $$9 — 5y = -16 \Rightarrow -5y = -25 \Rightarrow y = 5$$
✅ Ответ: x = 3, y = 5
🧮 Пример 2
Решите:
— 6x + 4y = 6
— 7x — 8y = 10
🔹 Шаг 1: Умножаем первое уравнение на 2:
- $$6x + 4y = 6 \Rightarrow 12x + 8y = 12$$
Теперь складываем с другим уравнением:
- $$(12x + 8y) + (7x — 8y) = 12 + 10 $$
- $$19x = 22 \Rightarrow x = \frac{22}{19} \approx 1.158$$
🔹 Шаг 2: Подставляем ( x \approx 1.158 )
- $$6x + 4y = 6 $$
- $$6 \cdot 1.158 + 4y = 6 \Rightarrow 6.948 + 4y = 6 $$
- $$4y = -0.948 \Rightarrow y = \frac{-0.948}{4} \approx -0.237$$
✅ Ответ: $$x \approx 1.158$$, $$y \approx -0.237$$
💡 Вывод
Метод исключения позволяет находить решения систем, избавляясь от одной переменной путём сложения или вычитания. Особенно удобен, если переменные уже имеют равные или противоположные коэффициенты.