Normal Dağılım Hesaplayıcı

Q: Normal dağılım olasılıklarını hesaplayıcı olmadan elle nasıl hesaplarım?

Önce değerinizi z-puanına çevirin: z = (x - μ) / σ. Sonra z-puanını, size P(Z < z) değerini veren standart normal (Z) tablosunda arayın. Üst kuyruk için P(Z > x) = 1 - Phi(z) kullanın. Bir aralık için iki tablo değerini çıkarın: P(a < X < b) = Phi(z_b) - Phi(z_a). Negatif z için eğrinin simbrisini kullanın: Phi(-z) = 1 - Phi(z).

Q: İyi veya normal bir z-puanı nedir?

z-puanı, bir değerin ortalamanın kaç standart sapma uzakında olduğunu söyler. −2 ile +2 arasındaki değerler vakaların yaklaşık %95'ini kapsar ve tipik kabul edilir. ±2'yi aşan bir z-puanı olağan dışıdır (kabaca en üst veya en alt %2,5), ±3'ü aşansa çok nadirdir (verilerin yaklaşık %0,27'si ±3'ün dışındadır). Genel olarak "iyi" bir z-puanı yoktur — bağlama bağlıdır: kalite kontrolde 0'a yakın z-puanları istenirken bazı testlerde yüksek z-puanı daha iyidir.

Q: Neden olasılığım 1'den veya yoğunluğum 1'den büyük çıkıyor?

Bir olasılık asla 1'i aşamaz; böyle bir sonuç görürseniz girdilerinizi kontrol edin — çoğu zaman standart sapma yanlış alana girilmiştir ya da aşırı küçüktür. Bununla birlikte 1'den büyük bir yoğunluk f(x) tamamen geçerlidir: yoğunluk eğrinin yüksekliğidir, olasılık değil. σ küçük olduğunda eğri dar ve uzun olur; tepe yüksekliği 1/(σ√(2π)) olur ve bu değer kolayca 1'i aşabilir.

Q: Bu hesaplayıcıyı örneklem verileri veya t-dağılımı için kullanabilir miyim?

Ortalama ve standart sapmanın örneklem tahminleriyle, yalnızca bir yaklaşıklama olarak kullanın; ideali en az 30 gözlemdir. Anakitle standart sapmasının bilinmediği küçük örneklemelerde (kabaca n < 30) t-dağılımı daha uygundur — kuyrukları daha kalındır, bu yüzden uç olasılıklar belirgin biçimde farklılaşır. Verileriniz sayımlar, oranlar veya belirgin biçimde çarpıksa, farklı bir dağılım (Poisson, binom, log-normal) daha iyi uyabilir.

Q: Verilen bir yüzdeliğe karşılık gelen x değerini nasıl bulurum?

Bu hesaplayıcı ileri yönde çalışır, ancak geriye dönük olarak elle yapabilirsiniz. Yüzdeliği ondalık sayı olarak alın (90. yüzdelik 0,90'dır), kümülatif olasılığı ona eşit olan z-puanını bulun (0,90 için z ≈ 1,2816), sonra standartlaştırmayı geri alın: x = μ + z · σ. Örneğin, μ = 100 ve σ = 15 iken 90. yüzdelik 100 + 1,2816 × 15 ≈ 119,2'dir.

Q: Normal dağılım ile standart normal dağılım arasındaki fark nedir?

Standart normal dağılım, yalnızca μ = 0 ve σ = 1 olduğu özel durumdur. Her normal dağılım, standartlaştırarak buna dönüştürülebilir: ortalamayı çıkarın ve standart sapmaya bölün. Tek bir evrensel Z-tablosunun tüm normal dağılımlara hizmet etmesinin nedeni budur. Ortalamanız 0 ve standart sapmanız 1 ise buraya bunları girdiğinizde doğrudan standart normal dağılımı elde edersiniz.

Q: P(X < x) mi yoksa P(X ≤ x) mi istediğimin önemi var mı?

Hayır. Normal gibi sürekli bir dağılım için herhangi bir tek kesin değerin olasılığı sıfırdır — eğrinin tek bir noktadaki altındaki alan sıfırdır. Bu nedenle P(X < x) ve P(X ≤ x) birbirinin aynısıdır; üst kuyruk için de aynı şey geçerlidir. Bu yalnızca ayrık verileri (tam sayıya yuvarlanmış sınav puanları gibi) normal eğriyle yaklaştırırken bir sorun olur; bu durumda ±0,5'lik bir süreklilik düzeltmesi doğruluğu artırabilir.

Güncellendi: 3 Ekim 2026

Normal dağılım için olasılık yoğunluğunu, kümülatif olasılıkları P(X < x), P(X > x), P(a < X < b) ve z-puanını elde etmek üzere bir ortalama, standart sapma ve bir değer (ya da iki sınır) girin.

Normal Dağılım Olasılıklarını Bulun

Ortalama (μ)

Çan eğrisinin merkezi.

Standart sapma (σ)

Dağılımın yayılımı — 0'dan büyük olmalıdır.

İstediğiniz olasılık

Değer (x)

Yoğunluğun ve kümülatif olasılıkların P(X < x) ve P(X > x) hesaplandığı nokta.

Otomatik hesaplaEtkinleştirilirse, herhangi bir değeri değiştirdiğinizde sonuç otomatik olarak güncellenir.

Sonuçlarınız

Olasılık yoğunluğuf(x)

Kümülatif P(X < x)F(x)

P(X > x)

a ile b arasındaki alanP(a

z-skoruz

Yorum

Normal Dağılım Formülü

Formül

\[ f(x)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\,e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} \\ F(x)=P(X<x)=\Phi(z)=\frac{1}{2}\left[1+\operatorname{erf}\!\left(\frac{z}{\sqrt{2}}\right)\right] \\ z=\frac{x-\mu}{\sigma} \]

Burada:

\(\mu\) — ortalama, çan eğrisinin merkezi
\(\sigma\) — standart sapma, dağılımın yayılımı (pozitif olmalıdır)
\(x\) — yoğunluğun ve olasılıkların hesaplandığı değer
\(f(x)\) — olasılık yoğunluk fonksiyonu (PDF), eğrinin \(x\) noktasındaki yüksekliği
\(F(x)\) — kümülatif dağılım fonksiyonu (CDF), eğrinin \(x\)'in solunda kalan alanı
\(z\) — z-puanı, ortalamanın standart sapma cinsinden uzaklığı
\(\Phi\) — standart normal dağılımın kümülatif dağılım fonksiyonu (\(\mu=0,\ \sigma=1\))

İlk denklem çan eğrisinin kendisini tanımlar. İkincisi herhangi bir değeri z-puanına çevirir ve olasılığı standart normal eğriden okur; böylece tek bir evrensel tablo (veya hata fonksiyonu) her ortalama ve standart sapma için iş görür.

Normal Dağılım – Hesaplama Örneği

Örnek: IQ puanları yaklaşık olarak ortalalaması 100 ve standart sapması 15 olan normal dağılım gösterir. Rastgele seçilen bir kişinin IQ'sunun 110'un altında olma olasılığı nedir?

\[ z=\frac{x-\mu}{\sigma}=\frac{110-100}{15}=0.6667 \]

\[ P(X<110)=\Phi(0.6667)=\frac{1}{2}\left[1+\operatorname{erf}\!\left(\frac{0.6667}{\sqrt{2}}\right)\right]\approx 0.7475 \]

Bu noktadaki olasılık yoğunluğu \( f(110)=\frac{1}{15\sqrt{2\pi}}e^{-0.6667^2/2}\approx 0.0213 \) değeridir.

Sonuç: P(X > 110) ≈ %25,25 ve z-puanı 0,6667'dir.

Hesaplayıcı nasıl kullanılır

Ortalamayı (μ) girin — dağılımınızın merkezi (örn. 100).
Standart sapmayı (σ) girin — 0'dan büyük olmalıdır.
İstediğiniz olasılık türünü seçin: bir değerin altında, bir değerin üstünde, iki değer arasında veya bir aralığın dışında (iki kuyruk).
"Altında" ve "üstünde" modları için olasılıkların hesaplanacağı Değeri (x) girin.
"Arasında" ve "dışında" modları için Alt sınırı (a) ve Üst sınırı (b) girin; üst sınır alt sınırdan büyük olmalıdır. Yoğunluğu ve kümülatif olasılıkları da o noktada elde etmek için yine de x'i doldurabilirsiniz.
Sonuçları okuyun: olasılık yoğunluğu, kümülatif olasılık, üst kuyruk olasılığı, sınırlar arasındaki alan, z-puanı ve sade dille bir yorum.

Normal dağılım nedir?

Normal dağılım (Gauss dağılımı veya çan eğrisi olarak da adlandırılır) istatistikte en yaygın kullanılan olasılık dağılımıdır. Yalnızca iki sayıyla tam olarak tanımlanır: eğrinin merkezini belirleyen ortalama \(\mu\) ve eğrinin ne kadar geniş veya dar olduğunu denetleyen standart sapma \(\sigma\). Birçok doğal ölçüm — boylar, ölçüm hataları, test puanları, tansiyon — yaklaşık olarak normal dağılım gösterir; bunun başlıca nedeni merkezi limit teoremidir: birçok küçük bağımsız etki toplandığında, toplam bir çan eğrisine yakınsar.

Eğri ortalamaya göre simetriktir ve hiçbir zaman sıfıra değmez, her iki yönde sonsuza kadar uzanır. Herhangi bir kesin değerin olasılığı sıfırdır; olasılıklar bunun yerine eğrinin altındaki alanlara karşılık gelir. Kümülatif olasılık \(F(x)=P(X<x)\) eğrinin solunda kalan alandır; \(P(X>x)=1-F(x)\) ise sağında kalan alandır. Olasılık yoğunluğu \(f(x)\) tek başına bir olasılık değildir — eğrinin yüksekliğidir ve farklı bölgelerin birbirine göre ne kadar olası olduğunu karşılaştırmak için yararlıdır.

z-puanı \(z=(x-\mu)/\sigma\) bir değeri ortalamanın standart sapma cinsinden uzaklığı olarak ifade eder. 2'lik bir z-puanı "ortalamanın iki standart sapma üstünde" demektir. z-puanına çevirmek anahtar noktadır: hangi ortalama ve standart sapmaya sahip olursa olsun, her normal dağılım aynı standart normal eğriye dönüşür; böylece olasılıklar tek bir evrensel fonksiyondan okunabilir.

Sonucun yorumlanması

68-95-99,7 kuralı (ampirik kural) herhangi bir yanıt için hızlı bir sağlama sağlar:

Ortalama etrafındaki aralık	İçeride kalan veri payı	Dışarıda kalan pay (iki kuyruk)
\(\mu \pm 1\sigma\)	68.27%	31.73%
\(\mu \pm 2\sigma\)	95.45%	4.55%
\(\mu \pm 3\sigma\)	99.73%	0.27%

Hesapladığınız olasılık bu kıstaslarla ciddi biçimde çelişiyorsa girdilerinizi iki kez kontrol edin. Örneğin, varsayılan ayarlarla 110'un altındaki bir değerin olasılığı (z = 0,67) %68'den biraz fazla olmalıdır, çünkü 110 ortalamadan birden fazla standart sapma yukarıdadır — ve %74,75 bu beklentiye uyar.

Varsayımlar, sınırlamalar ve pratik ipuçları

Normallik varsayımı: hesaplayıcı, verilerinizin gerçekten normal dağılım izlediğini varsayar. Gerçek veriler çoğu zaman çarpık, sınırlı veya kalın kuyrukludur; uç değerlere ait olasılıklar bu varsayıma özellikle duyarlıdır.
Kesin ve kesin olmayan eşitsizlik: sürekli bir dağılım için \(P(X<x)\) ve \(P(X\le x)\) birbirinin aynısıdır, bu yüzden hangi yazımı kullandığınızın önemi yoktur.
Küçük olasılıklar: kuyruklarda çok uzaktaki değerler (|z| yaklaşık 4'ü aşarsa) 0'a veya 1'e yakın olasılıklar verir; hesaplayıcı bunları yine de okuyabilmeniz için altı ondalık basamak gösterir.
Örneklem ve anakitle: anakitle ortalamasını ve standart sapmasını biliyorsanız bunları girin. Yalnızca örneklem tahminleriniz varsa sonuçlar yaklaşıktır — küçük örneklemeler için t-dağılımı daha uygundur.
Negatif veya sıfır σ: standart sapma kesinlikle pozitif olmalıdır; hesaplayıcı başka hiçbir değeri kabul etmez, çünkü sıfır yayılım eğriyi tek bir sivri noktaya indirgerdi.
Duyarlılık: olasılıklar, yaklaşık 7 ondalık basamak duyarlıklı bir hata fonksiyonu yaklaşıklamasıyla hesaplanır; bu, pratik çalışma için fazlasıyla yeterlidir.

Sıkça Sorulan Sorular

Normal dağılım olasılıklarını hesaplayıcı olmadan elle nasıl hesaplarım?

Önce değerinizi z-puanına çevirin: \(z = (x - \mu) / \sigma\). Sonra z-puanını, size \(P(Z < z)\) değerini veren standart normal (Z) tablosunda arayın. Üst kuyruk için \(P(Z > x) = 1 - \Phi(z)\) kullanın. Bir aralık için iki tablo değerini çıkarın: \(P(a < X < b) = \Phi(z_b) - \Phi(z_a)\). Negatif z için eğrinin simbrisini kullanın: \(\Phi(-z) = 1 - \Phi(z)\).

İyi veya normal bir z-puanı nedir?

z-puanı, bir değerin ortalamanın kaç standart sapma uzakında olduğunu söyler. −2 ile +2 arasındaki değerler vakaların yaklaşık %95'ini kapsar ve tipik kabul edilir. ±2'yi aşan bir z-puanı olağan dışıdır (kabaca en üst veya en alt %2,5), ±3'ü aşansa çok nadirdir (verilerin yaklaşık %0,27'si ±3'ün dışındadır). Genel olarak "iyi" bir z-puanı yoktur — bağlama bağlıdır: kalite kontrolde 0'a yakın z-puanları istenirken bazı testlerde yüksek z-puanı daha iyidir.

Neden olasılığım 1'den veya yoğunluğum 1'den büyük çıkıyor?

Bir olasılık asla 1'i aşamaz; böyle bir sonuç görürseniz girdilerinizi kontrol edin — çoğu zaman standart sapma yanlış alana girilmiştir ya da aşırı küçüktür. Bununla birlikte 1'den büyük bir yoğunluk \(f(x)\) tamamen geçerlidir: yoğunluk eğrinin yüksekliğidir, olasılık değil. \(\sigma\) küçük olduğunda eğri dar ve uzun olur; tepe yüksekliği \(1/(\sigma\sqrt{2\pi})\) olur ve bu değer kolayca 1'i aşabilir.

Bu hesaplayıcıyı örneklem verileri veya t-dağılımı için kullanabilir miyim?

Ortalama ve standart sapmanın örneklem tahminleriyle, yalnızca bir yaklaşıklama olarak kullanın; ideali en az 30 gözlemdir. Anakitle standart sapmasının bilinmediği küçük örneklemelerde (kabaca n < 30) t-dağılımı daha uygundur — kuyrukları daha kalındır, bu yüzden uç olasılıklar belirgin biçimde farklılaşır. Verileriniz sayımlar, oranlar veya belirgin biçimde çarpıksa, farklı bir dağılım (Poisson, binom, log-normal) daha iyi uyabilir.

Verilen bir yüzdeliğe karşılık gelen x değerini nasıl bulurum?

Bu hesaplayıcı ileri yönde çalışır, ancak geriye dönük olarak elle yapabilirsiniz. Yüzdeliği ondalık sayı olarak alın (90. yüzdelik 0,90'dır), kümülatif olasılığı ona eşit olan z-puanını bulun (0,90 için z ≈ 1,2816), sonra standartlaştırmayı geri alın: \(x = \mu + z \cdot \sigma\). Örneğin, μ = 100 ve σ = 15 iken 90. yüzdelik 100 + 1,2816 × 15 ≈ 119,2'dir.

Normal dağılım ile standart normal dağılım arasındaki fark nedir?

Standart normal dağılım, yalnızca \(\mu = 0\) ve \(\sigma = 1\) olduğu özel durumdur. Her normal dağılım, standartlaştırarak buna dönüştürülebilir: ortalamayı çıkarın ve standart sapmaya bölün. Tek bir evrensel Z-tablosunun tüm normal dağılımlara hizmet etmesinin nedeni budur. Ortalamanız 0 ve standart sapmanız 1 ise buraya bunları girdiğinizde doğrudan standart normal dağılımı elde edersiniz.

P(X < x) mi yoksa P(X ≤ x) mi istediğimin önemi var mı?

Hayır. Normal gibi sürekli bir dağılım için herhangi bir tek kesin değerin olasılığı sıfırdır — eğrinin tek bir noktadaki altındaki alan sıfırdır. Bu nedenle \(P(X < x)\) ve \(P(X \le x)\) birbirinin aynısıdır; üst kuyruk için de aynı şey geçerlidir. Bu yalnızca ayrık verileri (tam sayıya yuvarlanmış sınav puanları gibi) normal eğriyle yaklaştırırken bir sorun olur; bu durumda ±0,5'lik bir süreklilik düzeltmesi doğruluğu artırabilir.