Hipergeometrik Dağılım Hesaplayıcısı
Yerine koymadan örnekleme için kesin ve kümülatif hipergeometrik olasılıkları hesaplayın. Popülasyon büyüklüğünü, başarı sayısını, çekiliş sayısını ve istenen başarı sayısını girin.
Hipergeometrik Olasılıkları Hesaplayın
Hipergeometrik Dağılım Formülü
Burada:
- \(N\) — popülasyon büyüklüğü (toplam nesne sayısı)
- \(K\) — popülasyondaki başarı sayısı (istenen özelliğe sahip nesneler)
- \(n\) — çekiliş sayısı (örneklem büyüklüğü, yerine koymadan çekilir)
- \(k\) — örneklemede istenen başarı sayısı
Bu formül, \(K\) başarı içeren \(N\) nesnelilik sonlu bir popülasyondan yerine koymadan çekilen \(n\) nesnelik bir örneklemede tam olarak \(k\) başarı bulunma olasılığını verir. Ortalama ve standart sapma \(E(X) = nK/N\) ve \(SD(X) = \sqrt{n \cdot \frac{K}{N} \cdot \left(1 - \frac{K}{N}\right) \cdot \frac{N-n}{N-1}}\) şeklindedir.
Hipergeometrik Dağılım – Hesaplama Örneği
Örnek: standart bir iskambil destesinde 52 kart vardır ve bunların 13'ü kupa (maça değil, kupa değil — hearts) yönünden değil, «kupa» yerine «kupa» diyelim: standart bir destede 52 kart vardır, 13'ü kuptur. 5 kart çekiyorsunuz ve tam 2 kup alma olasılığını istiyorsunuz. Yani \(N = 52\), \(K = 13\), \(n = 5\), \(k = 2\).
\[ P(X = 2) = \frac{\binom{13}{2}\binom{39}{3}}{\binom{52}{5}} = \frac{78 \times 9139}{2598960} = \frac{712842}{2598960} \approx 0.2743 \]
Sonuç: \(P(X = 2) \approx 0.2743\), yani yaklaşık %27,43 (kabaca 4'te 1). Kümülatif olasılık \(P(X \le 2)\) yaklaşık %90,72, ortalama \(E(X) = 1.25\) kup ve standart sapma yaklaşık 0,93'tür.
Hesaplayıcı Nasıl Kullanılır?
- Popülasyon büyüklüğü \(N\) değerini girin — içinden çekim yaptığınız toplam nesne sayısı.
- Popülasyondaki başarı sayısı \(K\) değerini girin — bu nesnelerden kaç tanesinin ilgilendiğiniz özelliğe sahip olduğu.
- Çekiliş sayısı (örneklem büyüklüğü) \(n\) değerini girin — yerine koymadan kaç nesne çektiğiniz.
- İstenen başarı sayısı \(k\) değerini girin — örnekleminizde istediğiniz başarı sayısı.
- Sonuçları okuyun: kesin olasılık \(P(X = k)\), kümülatif olasılıklar \(P(X \le k)\), \(P(X k)\) (tümü yüzde olarak), ayrıca ortalama, standart sapma, değerlerinizin yerleştirildiği formül ve sade bir dille açıklama.
Hipergeometrik Dağılım Nedir?
Hipergeometrik dağılım, sonlu bir popülasyondan sabit sayıda nesneyi yerine koymadan çektiğinizde elde ettiğiniz başarı sayısını tanımlar. Her çekimin geriye kalanların bileşimini değiştirdiği her durumda doğru modeldir — desteden kart dağıtmak, kalite kontrolü için bir partiden parça seçmek, küçük bir gruptan ankete kişi seçmek veya piyango numaraları çekmek.
En yakın akrabası binom dağılımıdır; o, nesnelerin yerine koyarak çekildiği (veya etkin biçimde sonsuz bir popülasyondan çekildiği) durumlarda geçerlidir, bu yüzden her denemede başarı olasılığı aynıdır. Hipergeometrik dağılımda ise her kaldırdığınız başarı, kalan çekilişler için başarı oranını düşürür — gerçek bir iskambil destesinde veya sonlu bir ürün partisinde tam olarak gerçekleşen durum budur. Örneklem popülasyona kıyasla küçükse (örneğin %5–10'un altındaysa), iki dağılım neredeyse aynı sonuçları verir.
Hesaplayıcı tüm olası sonuçların olasılıklarını aynı anda raporlar; bu çoğu zaman tek bir kesin değerden daha kullanışlıdır. Örneğin bir kalite denetçisi \(P(X \ge k)\) değerine — belirli sayıda hatalı parça bulma şansının en az ne kadar olduğuna — ihtiyaç duyarken, bir kart oyuncusu \(P(X \le k)\) değerini, yani birkaç anahtar kartı en fazla çekme şansını isteyebilir. Ortalama \(E(X) = nK/N\), ortalama bir örneklemede beklenen başarı sayısını söyler; basitçe örneklem büyüklüğünün popülasyon başarı oranıyla çarpımıdır.
Dağılımın biçimi parametrelere bağlıdır: simetrik, az sayıda başarıya doğru çarpık veya çok sayıda başarıya doğru çarpık olabilir. \(X\) değerleri de sınırlıdır — popülasyonda var olan başarı sayısından veya çektiğiniz nesne sayısından daha fazla başarı çekemezsiniz; dolayısıyla başarı sayısı \([\max(0, n-(N-K)), \; \min(n, K)]\) aralığıyla sınırlıdır. Hesaplayıcı, \(k\) değeriniz bu aralığın dışındaysa otomatik olarak sıfır olasılığı döndürür.
Varsayımlar, Sınırlamalar ve İpuçları
- Yerine koymadan örnekleme: model, çekilen nesnelerin popülasyona geri konulmadığını varsayar. Nesneler her çekimden sonra geri konuluyorsa, bunun yerine Binom Dağılım Hesaplayıcısını kullanın.
- Sabit örneklem büyüklüğü: çekiliş sayısı \(n\) önceden belirlenmeli ve sabit kalmalıdır. Sabit bir zaman veya mekân aralığında rastgele gerçekleşen olayları sayıyorsanız, Poisson Dağılım Hesaplayıcısı daha uygun bir araçtır.
- Eşit olasılıklı örnekler: \(n\) nesnenin her olası alt kümesinin çekilme şansı aynı olmalıdır. Bazı nesnelerin seçilme olasılığı daha yüksekse hipergeometrik model geçerli olmaz.
- Yalnızca tam sayılar: \(N\), \(K\), \(n\) ve \(k\) tam sayı olmalıdır; \(1 \le N \le 1{,}000{,}000\), \(0 \le K \le N\), \(0 \le n \le N\) ve \(0 \le k \le n\) koşulları sağlanmalıdır.
- Büyük popülasyonlar: \(n\), \(N\)'ye kıyasla küçük olduğunda hipergeometrik dağılım, binom dağılımıyla (veya büyük sayılar için normal dağılımla) iyi bir şekilde yaklaşık hesaplanabilir; ancak bu hesaplayıcı herhangi bir yaklaşıklığa gerek duymadan kesin sonucu verir.
- Binom katsayılarını kontrol edin: değerlerin yerleştirildiği formül \(\binom{a}{b}\) gösterimini kullanır. Bu değerleri Permutasyon ve Kombinasyon Hesaplayıcısıyla doğrulayabilirsiniz.
- Sıfır olasılığı yorumlama: %0 sonucu genellikle \(k\) değerinizin olanaksız olduğu anlamına gelir — örneğin popülasyonda yalnızca 2 başarı nesnesi varken 3 başarı istemek.
Sıkça Sorulan Sorular
Hipergeometrik olasılığı elle nasıl hesaplarım?
İstediğiniz başarıları başarı nesnelerinden seçme yollarını sayın \(\binom{K}{k}\), kalan çekilişleri başarı olmayan nesnelerden seçme yollarıyla \(\binom{N-K}{n-k}\) çarpın ve olası örneklem sayısına \(\binom{N}{n}\) bölün. Küçük sayılar için faktöriyeller işe yarar: \(\binom{a}{b} = \frac{a!}{b!(a-b)!}\). Daha büyük her şey için, devasa faktöriyellerle aritmetik hataları önlemek amacıyla hesaplayıcıyı kullanın.
En az veya en fazla k başarı olasılığını nasıl bulurum?
Hesaplayıcı dört kümülatif olasılığın tümünü doğrudan raporlar. En az k olasılığı \(P(X \ge k)\); en fazla k olasılığı \(P(X \le k)\) olur. Elle hesaplarken bu aralıktaki her sonucun kesin olasılıklarını toplamanız gerekir, örneğin \(P(X \ge 3) = P(X=3) + P(X=4) + \dots\); bu hızla yorucu hâle gelir — kümülatif çıktılar tam da bunu sizin için yapar.
Neden tam olarak 0 olasılığı aldım?
Sıfır sonucu neredeyse her zaman istenen başarı sayısının olanaksız olduğu anlamına gelir. Örneklem, popülasyonda var olan başarı sayısından daha fazla başarı (\(k \le K\)), çekiliş sayısından daha fazla başarı (\(k \le n\)) veya kalan nesnelerin neredeyse tamamı başarı olduğunda örnekleme zorunlu olarak girecek sayıdan daha az başarı içeremez. Değerlerin yerleştirildiği formül çıktısı, parametreleriniz için geçerli aralığı gösterir; bu aralığın dışındaki her \(k\) değeri gerçekten %0'dır.
P(X = k) ile P(X ≤ k) arasındaki fark nedir?
\(P(X = k)\), o kesin başarı sayısına ulaşma olasılığıdır — örneğin 5 kartta tam 2 kup. \(P(X \le k)\) ise o sayıda veya daha az başarı olasılığıdır — 0, 1 veya 2 kup. Kümülatif değer her zaman daha büyüktür. Probleminizin hangisini istediğine dikkat edin: «en fazla 2» ifadesi \(P(X \le 2)\), «tam olarak 2» ifadesi ise \(P(X = 2)\) anlamına gelir.
Bu hesaplayıcıyı piyango şansını hesaplamak için kullanabilir miyim?
Evet — piyangolar klasik bir hipergeometrik kurulumdur: toplar sonlu bir havuzdan yerine koymadan çekilir. \(N\)'yi toplam top sayısı, \(K\)'yi biletinizde eşleştirdiğiniz sayı, \(n\)'yi çekilen top sayısı ve \(k\)'yı istediğiniz eşleşme sayısı olarak ayarlayın. Örneğin «49'dan 6» oyunlarında büyük ödül şansı için \(N = 49\), \(K = 6\), \(n = 6\), \(k = 6\) gerekir.
Değer girerken en sık yapılan hatalar nelerdir?
En büyüğü sırayı karıştırmaktır: \(N\) tüm popülasyondur, \(K\) yalnızca istenen özelliğe sahip nesneler ve \(n\) örneklem büyüklüğüdür — tersi değil. Bir diğer sık hata, yerine koyarak yapılan çekilişler için hipergeometrik modeli kullanmaktır; bu durumda binom dağılımı gerekir. Son olarak, dört değerin tümü tam sayı olmalıdır; nesne veya çekiliş kesirleri geçerli girdiler değildir.
Ortalama E(X) = nK/N aslında ne anlama gelir?
Çekimi birçok kez tekrarlarsanız örneklem başına bekleyeceğiniz ortalama başarı sayısıdır — basitçe örneklem büyüklüğünün popülasyon başarı oranıyla çarpımı. Bir parça partisinin %20'si hatalıysa ve 10 parça inceliyorsanız ortalama 2 hatalı parçadır. Tek tek örneklemelerin bu değerin etrafında değiştiğini unutmayın; standart sapma ne kadar değiştiğini söyler ve ortalama çoğu zaman tam bir sayı veya en olası tek sonuç bile değildir.