Калькулятор множення матриці на скаляр

Q: Як помножити матрицю на скаляр вручну?

Помножте кожен елемент матриці на скаляр і запишіть добутки на тих самих місцях. Наприклад, якщо k = 4 , а перший рядок матриці — beginbmatrix 2 & -1 endbmatrix, то перший рядок матриці kA — це beginbmatrix 8 & -4 endbmatrix. Повторіть це для всіх елементів: тут немає пар «рядок — стовпець», як при множенні матриць, лише звичайна арифметика елемент за елементом.

Q: Чим множення на скаляр відрізняється від множення матриць?

Множення на скаляр — це множення матриці на одне число , тож кожен її елемент масштабується на ту саму константу. Множення матриць — це множення двох матриць між собою через скалярні добутки «рядок на стовпець», і воно визначене лише тоді, коли кількість стовпців першої матриці дорівнює кількості рядків другої. Ці операції підпорядковуються різним правилам: наприклад, kA завжди має ті самі розміри, що й A, а ось AB може мати інші розміри.

Q: Чи визначник також множиться на скаляр?

Не на сам скаляр — для матриці n × n маємо det(kA) = k^n det(A). Тобто подвоєння всіх елементів матриці 2 × 2 множить її визначник на 2^2 = 4, а не на 2. Це дуже поширена помилка на іспитах. Визначник же підкоряється простому правилу: tr(kA) = k tr(A).

Q: Чи може скаляр бути від’ємним, нульовим або дробовим?

Так, скаляром може бути будь-яке дійсне число. Від’ємний скаляр змінює знак кожного елемента: -2A подвоює кожен елемент і змінює його знак на протилежний. При k = 0 усі елементи стають нулями — виходить нульова матриця. Дріб на кшталт k = 0,5 зменшує кожен елемент удвічі, що часто використовують для усереднення або нормалізації матриць.

Q: Чи є множення на скаляр переставним — чи рівні kA і Ak?

Якщо k — скаляр (звичайне число), то так: kA = Ak, і обидва вирази позначають матрицю, у якій кожен елемент помножено на k. Але якщо k — сама матриця, то kA і Ak вже є матричними добутками, а множення матриць загалом не переставне: у більшості випадків AB ≠ BA. Про те, число це чи матриця, скаже контекст.

Q: Як множення на скаляр поєднується з додаванням матриць?

Вони пов’язані властивістю розподільності: k(A + B) = kA + kB. Можна спершу додати матриці, а потім масштабувати суму — або спершу масштабувати кожну, а потім додати: результат буде однаковим. Це працює елемент за елементом, адже k(a_ij + b_ij) = k a_ij + k b_ij — звичайна розподільність чисел. Саме на цьому правилі ґрунтуються лінійні комбінації на кшталт 2A + 3B.

Q: Чому результат показано лише з двома знаками після коми?

Для зручності читання кожен елемент виводиться з округленням до двох знаків після коми. Якщо множите елементи з багатьма десятковими цифрами, показані значення можуть бути трохи округленими — наприклад, 3 × 0,123456 = 0,370368 відображається як 0,37. Коли потрібен точний результат, вводьте цілі числа або скінченні десяткові дроби й швидко перевіряйте обчислення вручну: сам розрахунок не округлюється, лише його відображення.

Оновлено: 14.10.2026

Помножте матрицю 2 × 2 або 3 × 3 на скаляр (константу). Введіть скаляр k та елементи матриці A і одразу отримайте результатну матрицю kA.

Множення матриці на число (константу)

Формула множення матриці на скаляр

Формула

\[ kA = k \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} k\,a_{11} & k\,a_{12} & \cdots & k\,a_{1n} \\ k\,a_{21} & k\,a_{22} & \cdots & k\,a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ k\,a_{n1} & k\,a_{n2} & \cdots & k\,a_{nn} \end{bmatrix} \]

Де:

\(k\) — скаляр (довільна дійсна константа)
\(A\) — вихідна матриця розміру \(n \times n\)
\(a_{ij}\) — елемент матриці \(A\) у рядку \(i\) та стовпці \(j\)
\(kA\) — результівна матриця, у якій кожен елемент дорівнює відповідному елементу матриці \(A\), помноженому на \(k\)

Множення на скаляр — це просто масштабування кожного елемента матриці на одну й ту саму константу. Розмір і форма матриці при цьому ніколи не змінюються — змінюються лише значення.

Множення матриці на скаляр — приклад обчислення

Приклад: помножимо наведену нижче матрицю \(A\) розміру 3 × 3 на скаляр \(k = 3\).

\[ A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{bmatrix} \]

Кожен елемент множиться на 3:

\[ 3A = \begin{bmatrix} 3 \cdot 1 & 3 \cdot 2 & 3 \cdot 3 \\ 3 \cdot 4 & 3 \cdot 5 & 3 \cdot 6 \\ 3 \cdot 7 & 3 \cdot 8 & 3 \cdot 9 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & 6 & 9 \\ 12 & 15 & 18 \\ 21 & 24 & 27 \end{bmatrix} \]

Результат: результівною є матриця \(\begin{bmatrix} 3 & 6 & 9 \\ 12 & 15 & 18 \\ 21 & 24 & 27 \end{bmatrix}\).

Як користуватися калькулятором

Виберіть у спадному списку розмір матриці — 2 × 2 або 3 × 3. Якщо вибрати 2 × 2, поля для третього рядка і третього стовпця автоматично зникнуть.
Введіть константу в поле Скаляр (k). Вона може бути додатною, від’ємною, нулем або десятковим дробом.
Заповніть усі видимі елементи матриці A (a₁₁, a₁₂, a₁₃, a₂₁ і так далі). Нижній індекс підказує розташування: перше число — це рядок, друге — стовпець.
Зчитайте Результатну матрицю (kA) у розділі «Ваші результати». Кожна клітинка показує відповідний елемент матриці \(A\), помножений на \(k\), з округленням до двох знаків після коми.

Що таке множення матриці на скаляр?

У лінійній алгебрі скаляром називають окреме число — на відміну від матриці, тобто прямокутної таблиці чисел. Помножити матрицю на скаляр означає помножити кожен її елемент без винятку на одне й те саме число. Результатом є нова матриця тих самих розмірів — множення на скаляр ніколи не змінює розміру матриці.

Ця операція відрізняється від множення матриць, коли дві матриці множаться між собою через скалярні добутки «рядок на стовпець». Множення на скаляр значно простіше: це звичайне множення, застосоване до кожного елемента окремо. Скажімо, якщо \(k = 2\), а якийсь елемент матриці \(A\) дорівнює 5, то відповідний елемент матриці \(kA\) становить \(2 \times 5 = 10\).

У геометричному сенсі, коли матриця задає перетворення простору, множення її на скаляр \(k\) розтягує (або стискає) це перетворення в \(k\) разів в усіх напрямках. Якщо \(k > 1\), результат збільшується; якщо \(0 < k < 1\) — зменшується; а при від’ємному \(k\) відбувається відображення відносно початку координат: усі елементи змінюють знак.

Множення на скаляр постійно трапляється в прикладних задачах: масштабування матриць коефіцієнтів у системах рівнянь (це пов’язано з методом виключення невідомих), нормалізація таблиць даних, коригування ваг, побудова лінійних комбінацій матриць. Зауважте, що множення на скаляр добре узгоджується з додаванням матриць: \(k(A + B) = kA + kB\).

Основні властивості

Порядок результату: \(kA\) завжди має ті самі розміри, що й \(A\).
Перестановність зі скаляром: \(kA = Ak\) — скаляр можна писати з будь-якого боку.
Асоціативність: \(c(kA) = (ck)A\) — послідовне множення на два скаляри те саме, що одне множення на їхній добуток.
Розподільність щодо скалярів: \((c + k)A = cA + kA\).
Розподільність щодо матриць: \(k(A + B) = kA + kB\).
Множення на 1: \(1 \cdot A = A\) — одиниця як скаляр залишає матрицю незмінною.
Множення на 0: \(0 \cdot A\) — це нульова матриця, тобто всі елементи стають нулями.
Від’ємні скаляри: \((-1)A\) змінює знак кожного елемента — це рівно матриця \(-A\).

Обмеження та практичні поради

Калькулятор працює лише з квадратними матрицями (2 × 2 або 3 × 3). Прямокутні матриці легко обробити вручну за тим самим правилом: помножте кожен елемент на \(k\).
Результати виводяться з округленням до двох знаків після коми, тому елементи з великою кількістю десяткових цифр можуть здаватися трохи округленими. Якщо потрібен точний результат, вводьте точні значення (цілі числа або прості дроби).
Дуже великі скаляри або елементи можуть давати великі результати; калькулятор працює з числами з плаваючою комою, тому надто екстремальні значення можуть втрачати точність.
Не плутайте \(kA\) (множення на скаляр) і \(k \cdot I\) (скаляр, помножений на одиничну матрицю). Це не одне й те саме: у матриці \(kI\) на діагоналі стоять \(k\), а решта елементів — нулі.
Якщо ви масштабуєте матрицю в межах розв’язування системи лінійних рівнянь, кожну операцію з рядками треба застосовувати до всієї розширеної матриці — для цього робочого процесу скористайтеся калькулятором методу виключення невідомих, а закономірності в квадратних сітках можна дослідити за допомогою генератора магічних квадратів.

Часті запитання

Як помножити матрицю на скаляр вручну?

Помножте кожен елемент матриці на скаляр і запишіть добутки на тих самих місцях. Наприклад, якщо k = 4, а перший рядок матриці — \(\begin{bmatrix} 2 & -1 \end{bmatrix}\), то перший рядок матриці \(kA\) — це \(\begin{bmatrix} 8 & -4 \end{bmatrix}\). Повторіть це для всіх елементів: тут немає пар «рядок — стовпець», як при множенні матриць, лише звичайна арифметика елемент за елементом.

Чим множення на скаляр відрізняється від множення матриць?

Множення на скаляр — це множення матриці на одне число, тож кожен її елемент масштабується на ту саму константу. Множення матриць — це множення двох матриць між собою через скалярні добутки «рядок на стовпець», і воно визначене лише тоді, коли кількість стовпців першої матриці дорівнює кількості рядків другої. Ці операції підпорядковуються різним правилам: наприклад, \(kA\) завжди має ті самі розміри, що й \(A\), а ось \(AB\) може мати інші розміри.

Чи визначник також множиться на скаляр?

Не на сам скаляр — для матриці \(n \times n\) маємо \(\det(kA) = k^n \det(A)\). Тобто подвоєння всіх елементів матриці 2 × 2 множить її визначник на \(2^2 = 4\), а не на 2. Це дуже поширена помилка на іспитах. Визначник же підкоряється простому правилу: \(\operatorname{tr}(kA) = k \operatorname{tr}(A)\).

Чи може скаляр бути від’ємним, нульовим або дробовим?

Так, скаляром може бути будь-яке дійсне число. Від’ємний скаляр змінює знак кожного елемента: \(-2A\) подвоює кожен елемент і змінює його знак на протилежний. При \(k = 0\) усі елементи стають нулями — виходить нульова матриця. Дріб на кшталт \(k = 0{,}5\) зменшує кожен елемент удвічі, що часто використовують для усереднення або нормалізації матриць.

Чи є множення на скаляр переставним — чи рівні kA і Ak?

Якщо k — скаляр (звичайне число), то так: \(kA = Ak\), і обидва вирази позначають матрицю, у якій кожен елемент помножено на \(k\). Але якщо \(k\) — сама матриця, то \(kA\) і \(Ak\) вже є матричними добутками, а множення матриць загалом не переставне: у більшості випадків \(AB \neq BA\). Про те, число це чи матриця, скаже контекст.

Як множення на скаляр поєднується з додаванням матриць?

Вони пов’язані властивістю розподільності: \(k(A + B) = kA + kB\). Можна спершу додати матриці, а потім масштабувати суму — або спершу масштабувати кожну, а потім додати: результат буде однаковим. Це працює елемент за елементом, адже \(k(a_{ij} + b_{ij}) = k\,a_{ij} + k\,b_{ij}\) — звичайна розподільність чисел. Саме на цьому правилі ґрунтуються лінійні комбінації на кшталт \(2A + 3B\).

Чому результат показано лише з двома знаками після коми?