Калькулятор сліду матриці
Введіть елементи квадратної матриці 2 × 2 або 3 × 3 і одразу отримайте її слід — суму елементів головної діагоналі a₁₁ + a₂₂ (+ a₃₃).
Знайдіть слід квадратної матриці
Формула сліду матриці
Де:
- \(a_{ii}\) — елемент матриці \(A\), що стоїть у рядку \(i\) і стовпці \(i\) (тобто елемент головної діагоналі);
- \(n\) — розмір квадратної матриці (кількість рядків дорівнює кількості стовпців).
Слід квадратної матриці — це сума елементів її головної діагоналі, тобто елементів, у яких номер рядка збігається з номером стовпця. Слід існує лише в квадратних матриць: у прямокутної матриці головної діагоналі однакової довжини й ширини просто немає.
Слід матриці — приклад обчислення
Приклад: знайдемо слід матриці 3 × 3, заповненої числами від 1 до 9 поспіль, рядок за рядком (це стандартні значення калькулятора).
\[
A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix}
\]
\[
\operatorname{tr}(A) = a_{11} + a_{22} + a_{33} = 1 + 5 + 9 = 15
\]
Результат: \(\operatorname{tr}(A) = 15\).
Як користуватися калькулятором
- Розкрийте список Розмір матриці і виберіть 2 × 2 або 3 × 3. Сітка полів налаштується автоматично: для матриці 2 × 2 третій рядок і третій стовпець сховаються.
- Заповніть поля матриці A (a₁₁, a₁₂, …) її елементами, рухаючись рядок за рядком. Підпис кожного поля вказує позицію: a₂₃ — це рядок 2, стовпець 3.
- Зчитайте результат: Слід (tr A) — це сума елементів головної діагоналі, а в рядку Просумовані діагональні елементи видно, які саме числа додали.
- Змініть будь-яке значення — результат перерахується миттєво, натискати кнопку не треба.
Що таке слід матриці?
Слід — одне з найпростіших і водночас найважливіших чисел, пов’язаних із квадратною матрицею. Хоч на вигляд це лише невелика підсумкова величина, вона несе глибоку структурну інформацію: слід дорівнює сумі власних значень матриці з урахуванням їх кратності. Для матриці 2 × 2 \(A\) з власними значеннями \(\lambda_1\) і \(\lambda_2\) завжди виконується \(\operatorname{tr}(A) = \lambda_1 + \lambda_2\), а визначник дає \(\det(A) = \lambda_1 \lambda_2\). Саме тому слід постійно з’являється в характеристичному многочлені, в аналізі стійкості динамічних систем і в квантовій механіці, де слід оператора дорівнює математичному сподіванню спостережуваної величини.
Слід також має зручні алгебраїчні властивості, які роблять його незамінним інструментом у матричних доведеннях і обчисленнях:
- Лінійність: \(\operatorname{tr}(A + B) = \operatorname{tr}(A) + \operatorname{tr}(B)\) і \(\operatorname{tr}(cA) = c\,\operatorname{tr}(A)\).
- Циклічність: \(\operatorname{tr}(ABC) = \operatorname{tr}(BCA) = \operatorname{tr}(CAB)\), звідки випливає \(\operatorname{tr}(AB) = \operatorname{tr}(BA)\) навіть коли \(AB \neq BA\).
- Незмінність при переході до подібної матриці: якщо \(B = P^{-1}AP\), то \(\operatorname{tr}(B) = \operatorname{tr}(A)\). Слід однаковий у будь-якому базисі.
У геометричному сенсі, коли матриця задає лінійне перетворення, слід показує, як це перетворення локально розтягує об’єм уздовж діагонального напрямку: додатний слід розтягує, від’ємний — стискає, а нульовий означає, що діагональні внески взаємно компенсуються. У теорії графів слід матриці \(A^k\) дорівнює кількості замкнутих маршрутів довжини \(k\) у графі, який описує \(A\).
Припущення та практичні поради
Калькулятор працює з матрицями 2 × 2 і 3 × 3 і приймає будь-які дійсні числа, зокрема від’ємні та десяткові. Наддіагональні елементи, які ви вводите, на результат не впливають — слід залежить лише від головної діагоналі, — але заповнити їх усе одно треба, щоб матриця була задана повністю.
Трактуючи результат, зважайте на таке:
- Тільки квадратні матриці. Якщо ваші дані утворюють прямокутну матрицю (скажімо, 2 × 3), слід для них не визначений. Продумайте, що саме описують ваші дані, або зведіть їх до квадратної форми.
- Слід — це одне число, а не матриця. Нульовий слід не означає, що матриця нульова чи тривіальна: чимало ненульових матриць (наприклад, матриці повороту) мають нульовий слід.
- Слід і визначник разом повністю визначають власні значення будь-якої матриці 2 × 2 через квадратне рівняння \(\lambda^2 - \operatorname{tr}(A)\,\lambda + \det(A) = 0\). Комплексні власні значення завжди йдуть парами спряжених — див. калькулятор комплексно спряжених чисел — тож для дійсної матриці 2 × 2 з \(\operatorname{tr}(A)^2 < 4\det(A)\) власні значення будуть комплексними.
Працюєте з числовими сітками в інших контекстах? Діагоналі квадрата важливі й у головоломках — спробуйте генератор магічних квадратів, де суми в кожному рядку, стовпці та на діагоналі мають бути однаковими. Якщо робота з матрицями привела вас до систем лінійних рівнянь, калькулятор методу виключення допоможе зробити наступний крок.
[/wp_code]
Часті запитання
Як знайти слід матриці вручну?
Обведіть елементи, що лежать на головній діагоналі — тій, яка йде з верхнього лівого кута в нижній правий, — і додайте їх. Для матриці 3 × 3 це \(a_{11} + a_{22} + a_{33}\). Жодного множення чи правил знаків — це звичайна сума. Тільки перевірте, що ви взяли діагональ з верхнього лівого кута в нижній правий, а не побічну діагональ: це дуже поширена помилка.
Чи можна обчислити цим калькулятором слід матриці 4 × 4 або більшої?
Безпосередньо — ні: інструмент розрахований на матриці 2 × 2 і 3 × 3. Для більшої квадратної матриці правило те саме: додайте елементи \(a_{11} + a_{22} + a_{33} + a_{44} + \dots\). Оскільки слід стосується лише діагоналі, слід матриці \(n \times n\) легко обчислити вручну за кілька секунд — або розбити матрицю на блоки, сліди яких додаються, адже слід лінійний.
Чи змінюється слід при транспонуванні матриці?
Ні. Транспонована матриця \(A^T\) міняє місцями рядки й стовпці, але кожен діагональний елемент \(a_{ii}\) залишається на своїй позиції, тому \(\operatorname{tr}(A^T) = \operatorname{tr}(A)\). Те саме стосується інших перетворень подібності: спряження матриці невиродженою матрицею \(P\), тобто \(P^{-1}AP\), слід не змінює. Саме ця незмінність робить слід внутрішньою властивістю лінійного перетворення, а не конкретного матричного запису.
Чому дорівнює слід одиничної матриці?
Слід одиничної матриці \(n \times n\) дорівнює \(n\), адже всі її діагональні елементи — одиниці. Наприклад, \(\operatorname{tr}(I_3) = 1 + 1 + 1 = 3\). У загальному випадку \(\operatorname{tr}(cI) = cn\) для скалярного кратного одиничної матриці. Корисний пов’язаний факт: \(\operatorname{tr}(A)\) дорівнює сумі власних значень, а в одиничної матриці всі власні значення дорівнюють 1 — усе узгоджується.
Чи слід — це те саме, що сума всіх елементів матриці?
Здебільшого ні — і це найпоширеніша помилка. Слід додає лише діагональні елементи; наддіагональні ігноруються. Для матриці 3 × 3, заповненої числами від 1 до 9, сума всіх дев’яти елементів становить 45, а слід — лише \(1 + 5 + 9 = 15\). Збігаються ці дві величини тільки для діагональної матриці, в якій усі наддіагональні елементи нульові.
Чи може слід бути від’ємним, нульовим або десятковим?
Так, у всіх трьох випадках. Слід — це просто сума дійсних чисел, тож якщо серед діагональних елементів є від’ємні чи десяткові, це одразу відбивається на результаті. Нульовий слід — цілком нормальне явище, і він не означає, що сама матриця нульова: наприклад, будь-яка матриця повороту 2 × 2 \(\begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}\) має слід \(2\cos\theta\), який при повороті на 90° дорівнює нулю.
Як разом використовуються слід і визначник?
Для будь-якої матриці 2 × 2 слід \(t\) і визначник \(d\) одразу дають обидва власні значення, адже ті задовольняють рівняння \(\lambda^2 - t\lambda + d = 0\). Розв’язок: \(\lambda = \frac{t \pm \sqrt{t^2 - 4d}}{2}\). Якщо \(t^2 < 4d\), корінь від’ємний і власні значення утворюють пару комплексно спряжених чисел. Саме зв’язка «слід + визначник» лежить в основі аналізу стійкості систем 2 × 2 у диференціальних рівняннях.