Калькулятор рівняння Рідберга
Введіть початкове та кінцеве головні квантові числа переходу електрона в атомі водню та отримайте довжину хвилі, частоту й енергію фотона спектральної лінії, а також її серію (Лайман, Бальмер, Пашен…).
Визначення довжини хвилі лінії водню за квантовими числами
Формула рівняння Рідберга
Де:
- \(\lambda\) — довжина хвилі випроміненого чи поглинутого фотона (м);
- \(R_H = 1.0967758 \times 10^7\ \text{m}^{-1}\) — стала Рідберга для водню (з поправкою на приведену масу атома);
- \(n_i\) — початкове головне квантове число електрона;
- \(n_f\) — кінцеве головне квантове число електрона.
Формула дає обернену довжину хвилі (хвильове число) фотона, що виникає, коли електрон в атомі водню переходить між двома енергетичними рівнями. Співвідношення \(\nu = c/\lambda\) і \(E = h\nu = hc/\lambda\) переводять довжину хвилі у частоту та енергію фотона.
Рівняння Рідберга — приклад обчислення
Приклад: електрон в атомі водню переходить із рівня \(n_i = 3\) на рівень \(n_f = 2\) (саме цей перехід дає знамениту червону лінію Hα).
\[ \frac{1}{\lambda} = 1.0967758 \times 10^7 \times \left| \frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2} \right| = 1.0967758 \times 10^7 \times \frac{5}{36} = 1.5233 \times 10^6\ \text{m}^{-1} \]
\[ \lambda = \frac{1}{1.5233 \times 10^6} \approx 6.5647 \times 10^{-7}\ \text{m} = 656.47\ \text{nm} \]
\[ \nu = \frac{c}{\lambda} = \frac{2.9979 \times 10^8}{6.5647 \times 10^{-7}} \approx 4.568 \times 10^{14}\ \text{Hz} \]
Результат: \(\lambda \approx 656.47\) нм, \(\nu \approx 456.81\) ТГц, енергія фотона \(E \approx 1.89\) еВ \((3.03 \times 10^{-19}\) Дж) — червона лінія Hα серії Бальмера.
Як користуватися калькулятором рівняння Рідберга
- Введіть початковий рівень (n_i) — головне квантове число, з якого стартує електрон. Для лінії випромінювання це вищий рівень (наприклад, 3).
- Введіть кінцевий рівень (n_f) — рівень, на якому опиняється електрон. Для лінії випромінювання це нижчий рівень (наприклад, 2).
- Обидва числа мають бути цілими від 1 до 100 і муслять відрізнятися — однакові рівні не дають фотона.
- Зчитайте результати: довжину хвилі в нанометрах, частоту в терагерцах і енергію фотона в еВ та джоулях, а також тип переходу, спектральну серію й діапазон довжин хвиль.
Якщо \(n_i > n_f\), калькулятор описує лінію випромінювання (електрон падає на нижчий рівень і вивільняє фотон); якщо \(n_i < n_f\) — лінію поглинання (електрон підіймається вгору, поглинаючи фотон із точно такою самою довжиною хвилі).
Що таке рівняння Рідберга?
Рівняння Рідберга, сформульоване Йоганнесом Рідбергом у 1888 році, передбачає довжини хвиль усіх спектральних ліній атома водню. Воно узагальнило емпіричну формулу Бальмера для видимих ліній до одного виразу, що охоплює весь спектр. У 1913 році Нільс Бор пояснив, чому воно працює: електрон в атомі водню може перебувати лише на дискретних рівнях \(n = 1, 2, 3, \ldots\), а фотон випромінюється або поглинається, коли електрон перестрибує між ними та переносить енергію, що дорівнює різниці енергій цих двох рівнів.
Оскільки кожен рівень має фіксовану енергію, кожній парі рівнів відповідає одна конкретна довжина хвилі. Саме тому спектр водню — не суцільна веселка, а набір різких ліній, і саме ці лінії слугують «відбитком пальців» водню і в лабораторному аналізі, і в астрономії.
Лінії об’єднуються в серії, названі за нижнім рівнем: серія Лаймана (на \(n = 1\), ультрафіолет), серія Бальмера (на \(n = 2\), видимі лінії Hα 656 нм, Hβ 486 нм, Hγ 434 нм і Hδ 410 нм), а також серії Пашена (на \(n = 3\)), Брекета (на \(n = 4\)) і Пфунда (на \(n = 5\)) — усі в інфрачервоній області. Із зростанням верхнього рівня лінії розташовуються все щільніше і збігаються до межі серії, за якою атом іонізується. Калькулятор автоматично визначає серію і впізнає кілька відомих ліній, як-от Hα та лайманівську альфу.
Енергію фотона варто тлумачити фізично: \(E \approx 1.89\) еВ для Hα — це різниця між рівнями \(n = 2\) і \(n = 3\), а 13,6 еВ, межа серії Лаймана, — енергія іонізації водню з основного стану.
Припущення та обмеження
- Формула стосується лише атома водню (\(Z = 1\)) у газовій фазі. Для воднеподібних іонів, як-от He⁺ чи Li²⁺, праву частину потрібно помножити на \(Z^2\).
- Довжини хвилі — це вакуумні значення, обчислені зі сталою приведеної маси \(R_H = 1.0967758 \times 10^7\ \text{m}^{-1}\). У повітрі лінії зсуваються приблизно на 0,1–0,3 нм (Hα спостерігається на 656,28 нм замість 656,47 нм).
- Тонка структура, зсув Лемба та ізотопні ефекти (дейтерій, тритій) не враховуються — вони спричиняють розщеплення менше нанометра, які мають значення лише у високороздільній спектроскопії.
- Модель розглядає атом як один електрон навколо одного ядра — вона не застосовна до багатоелектронних атомів, молекул чи твердих тіл.
Якщо ви аналізуєте інші типи спектрів або перетворення енергії, можливо, вам стануть у пригоді наш калькулятор закону Брегга для аналізу довжин хвиль методом дифракції або калькулятор стандартного потенціалу гальванічного елемента для електрохімічних розрахунків. Про кінетичну поведінку атомів у газовій фазі див. калькулятор молекулярних швидкостей газу.
Часті запитання
Як обчислити довжину хвилі водню вручну за формулою Рідберга?
Візьміть обернені значення квадратів квантових чисел, відніміть їх одне від одного і помножте на сталу Рідберга: \(1/\lambda = R_H \cdot |1/n_f^2 - 1/n_i^2|\). Потім оберніть результат, щоб отримати довжину хвилі в метрах. Наприклад, для \(n_i = 4, n_f = 2\): \(1/\lambda = 1.0967758\times10^7 \times 3/16 = 2.056\times10^6\ \text{m}^{-1}\), отже, \(\lambda \approx 486\) нм — блакитно-зелена лінія Hβ.
Чи важливо, який рівень вводити першим — початковий чи кінцевий?
Ні, довжина хвилі, частота й енергія фотона в обох випадках однакові, бо формула використовує модуль різниці. Змінюється лише інтерпретація: якщо спочатку ввести вищий рівень, описується випромінювання (електрон падає на нижчий рівень і вивільняє фотон), а якщо нижчий — поглинання фотона з тією самою довжиною хвилі. Єдине, чого варто уникати, — вводити одне й те саме число двічі: однакові рівні взагалі не дають фотона.
Чому калькулятор не приймає дані, коли обидва квантові числа однакові?
Коли \(n_i = n_f\), вираз \(1/n_f^2 - 1/n_i^2\) дорівнює нулю, тому хвильове число нульове, а довжина хвилі була б нескінченною — фізично перехід не відбувається і фотон не виникає, бо енергія електрона не змінюється. Виберіть два різні цілі числа, кожне не менше 1. Також пам’ятайте, що n має бути цілим: значення на кшталт 1,5 не є допустимими енергетичними рівнями.
У якому діапазоні довжин хвиль можуть перебувати лінії водню?
Найкоротша можлива лінія — межа Лаймана, приблизно 91,2 нм (далекий ультрафіолет); вона відповідає повній енергії іонізації 13,6 еВ з основного стану. Чим вищий верхній рівень, тим довші хвилі ліній і тим щільніше вони прилягають одна до одної біля межі кожної серії. Переходи на n = 2 лежать між 410 і 656 нм — це єдині лінії водню, видимі людським оком; усе, що веде на n = 1, — ультрафіолет, а на n ≥ 3 — інфрачервоне випромінювання.
Чи можна користуватися цим калькулятором для He⁺, Li²⁺ та інших воднеподібних іонів?
Не безпосередньо, але виправлення просте. Для одноелектронного іона з зарядом ядра Z помножте хвильове число на \(Z^2\): \(1/\lambda = R_H Z^2 |1/n_f^2 - 1/n_i^2|\). Візьміть довжину хвилі з цього калькулятора і розділіть її на \(Z^2\). Для He⁺ (Z = 2) кожна лінія учетверо коротша за відповідну лінію водню. Формула не працює для нейтрального гелію чи будь-яких багатоелектронних атомів.
Чому моя виміряна довжина хвилі Hα трохи відрізняється від розрахованих 656,47 нм?
На це є дві поширені причини. По-перше, калькулятор повертає вакуумні довжини хвиль; у повітрі лінія зсувається приблизно на 0,1–0,3 нм (у стандартному повітрі Hα спостерігається на 656,28 нм). По-друге, високороздільні прилади розрізняють тонку структуру, зсув Лемба та ізотопне розщеплення, які ця проста модель не враховує. В астрономії рух газу додатково зсуває лінії через ефект Доплера — зміщена в червону чи синю сторону лінія Hα є нормальним явищем і якраз використовується для вимірювання швидкостей.
Чим відрізняється R_H від сталої Рідберга R∞, яку я бачу в підручниках?
\(R_\infty = 1.0973732\times10^7\ \text{m}^{-1}\) припускає нескінченно важке ядро, тоді як \(R_H = 1.0967758\times10^7\ \text{m}^{-1}\) враховує скінченну приведену масу системи електрон–протон у реальному атомі водню. Різниця становить приблизно 0,05 %, що зсуває Hα приблизно на третину нанометра. Цей калькулятор використовує \(R_H\), тому його результати ближчі до спостережуваних ліній водню; \(R_\infty\) застосовуйте лише тоді, коли ядро вважають нерухомим.