Калькулятор радіуса Шварцшильда
Введіть будь-яку масу — у кілограмах, тоннах, масах Землі або масах Сонця — щоб визначити радіус Шварцшильда: розмір горизонту подій, який цей об’єкт мав би як чорна діра, разом із тлумаченням результату.
Знайдіть радіус горизонту подій для будь-якої маси
Формула радіуса Шварцшильда
Де:
- \(r_s\) — радіус Шварцшильда, радіус горизонту подій (м)
- \(G\) — гравітаційна стала, \(6.674 \times 10^{-11}\ \mathrm{m^3\,kg^{-1}\,s^{-2}}\)
- \(M\) — маса об’єкта (кг)
- \(c\) — швидкість світла у вакуумі, \(299{,}792{,}458\ \mathrm{m/s}\)
Формула дає критичний радіус, при якому друга космічна швидкість для даної маси дорівнює швидкості світла. Якщо стиснути всю цю масу всередину такого радіуса, назовні не зможе вирватися ніщо — навіть світло: об’єкт стає чорною дірою.
Радіус Шварцшильда — приклад обчислення
Приклад: зоря з масою, рівною масі Сонця, колапсує після вичерпання ядерного палива. Яким буде радіус горизонту подій утвореної чорної діри? Візьмемо \(M = 1\) масу Сонця \(= 1.98847 \times 10^{30}\) кг.
\[ r_s = \frac{2 \times 6.674 \times 10^{-11} \times 1.98847 \times 10^{30}}{(2.998 \times 10^{8})^2} = \frac{2.654 \times 10^{20}}{8.988 \times 10^{16}} \approx 2953\ \mathrm{m} \]
Результат: радіус Шварцшильда становить приблизно 2953 м, тобто близько 2,95 км. Якби всю масу Сонця стиснули всередину сфери радіусом трохи меншим за 3 км, утворилася б чорна діра саме з таким горизонтом.
Як користуватися калькулятором
- Введіть масу об’єкта (M) у числове поле — наприклад, 1 для об’єкта масою Сонця.
- Виберіть у спадному списку відповідну одиницю: кг, г, тонни, фунти, маси Землі або маси Сонця.
- Зчитайте результат — радіус Шварцшильда (rs) подано в метрах і кілометрах, а також переведено в см, мм, милі, фути та астрономічні одиниці.
- Зазирніть у блок «Подробиці та тлумачення»: там указано другу космічну швидкість на горизонті, середню густину всередині нього і простими словами пояснено, що означає це число.
Що таке радіус Шварцшильда?
Радіус Шварцшильда — це відстань від центра маси, на якій друга космічна швидкість дорівнює швидкості світла. Його названо на честь Карла Шварцшильда, який знайшов цей розв’язок рівнянь загальної теорії відносності Ейнштейна 1916 року — лише за кілька місяців після публікації теорії. Сфера радіуса \(r_s\) навколо сколапсованого об’єкта — це його горизонт подій: межа, за яку жоден сигнал, речовина чи світло вже ніколи не повернуться у зовнішній Всесвіт.
Радіус Шварцшильда є в кожного об’єкта — він просто пропорційний масі. Біда в тому, що для звичайних об’єктів цей радіус катастрофічно малий: у людини масою 70 кг \(r_s \approx 10^{-25}\) м — на багато порядків менше за протон. Саме тому люди мимоволі не перетворюються на чорні діри. Гравітаційний колапс стає невідворотним лише тоді, коли речовину стиснуто в межах її власного \(r_s\).
Оскільки \(r_s\) зростає лінійно з масою, а об’єм — із кубом радіуса, більші чорні діри в середньому навпаки менш густі. Надмасивна чорна діра масою у мільярд мас Сонця має середню густину, порівнянну з густиною повітря, тоді як чорні діри зоряної маси перевершують густину ядерної речовини. За результатом густини з калькулятора цю контрінтуїтивну залежність видно одразу.
Цей результат — також зручна мірка в астрономії: чорна діра масою однієї маси Сонця має \(r_s \approx 2.95\) км, радіус Шварцшильда Землі становив би близько 8,87 мм, а в Стрільця A* — центральної чорної діри Чумацького Шляху масою приблизно 4 мільйони мас Сонця — горизонт сягає близько 12 000 км у поперечнику, тобто це сфера трохи більша за Землю.
Припущення, обмеження та поради
- Об’єкт без обертання та заряду. Формула описує ідеалізовану чорну діру Шварцшильда. Реальні чорні діри обертаються (діри Керра), і їхні горизонти трохи менші — для максимально обертованої діри аж удвічі. Для грубих оцінок ця різниця зазвичай прийнятна.
- Класичний підхід. Квантово-гравітаційні ефекти нехтуються. Для надзвичайно малих мас класичний розмір горизонту може бути меншим за планківську довжину \(\approx 1.6 \times 10^{-35}\) м, і тоді формула втрачає фізичний зміст.
- Уся маса зібрана в центрі. Формула припускає, що вся маса лежить усередині \(r_s\). Зоря чи планета тієї ж маси, але більша за свій радіус Шварцшильда — це просто звичайний об’єкт: чорною дірою він стає, лише якщо його стиснути в межах цього радіуса.
- Для великих об’єктів — великі одиниці. Введена в кілограмах величезна маса може перевантажити обчислення. Перемкніть спадний список на маси Сонця або маси Землі, щоб числа лишилися зручними.
- Працюєте з випромінюванням гарячих акреційних дисків? Диск світиться як абсолютно чорне тіло, тому калькулятор закону Стефана — Больцмана і калькулятор закону зміщення Віна допоможуть оцінити його потужність і пікову довжину хвилі.
Довідкові значення
| Об’єкт | Приблизна маса | Радіус Шварцшильда |
|---|---|---|
| Людина (70 кг) | 70 кг | \(\sim 10^{-25}\) м |
| Земля | \(5.97 \times 10^{24}\) кг | 8,87 мм |
| Сонце | \(1.99 \times 10^{30}\) кг | 2,95 км |
| Стрілець A* (центр Чумацького Шляху) | \(\sim 4 \times 10^6\) мас Сонця | \(\sim 1.2 \times 10^7\) км |
| M87* (перша чорна діра, яку вдалося зобразити) | \(\sim 6.5 \times 10^9\) мас Сонця | \(\sim 1.9 \times 10^{10}\) км |
Будь-який рядок можна перевірити, ввівши масу в калькулятор із вибраною відповідною одиницею — наведені результати отримано за тією ж формулою і з тими ж сталими.
Часті запитання
Як обчислити радіус Шварцшильда вручну?
Помножте масу на 2 і на гравітаційну сталу, а потім розділіть на квадрат швидкості світла: \(r_s = 2GM/c^2\). Зручне правило: \(r_s \approx 1.48 \times 10^{-27}\) м на кілограм — просто помножте масу в кг на цей коефіцієнт. Наприклад, для 1000 кг отримаємо \(r_s \approx 1.5 \times 10^{-24}\) м — оперувати велетенськими сталими окремо не доведеться.
Яким буває «типовий» радіус Шварцшильда?
Усе залежить від маси: на одну масу Сонця припадає близько 2,95 км. Чорна діра в 10 мас Сонця (типова колапсована зоря) має горизонт поблизу 30 км, маса Землі дала б близько 8,87 мм, а надмасивні чорні діри сягають від мільйонів до мільярдів кілометрів. Єдиного «нормального» значення не існує — є лише лінійне масштабування з масою.
Чи дорівнює радіус Шварцшильда розміру чорної діри?
Це радіус горизонту подій — найближче до «поверхні», що взагалі є в чорної діри. Строго кажучи, на горизонті немає нічого матеріального — це межа в просторі-часі. Сингулярність лежить у центрі, і речовина, з якої утворилася діра, колапсувала в неї, тож горизонт охоплює здебільшого порожній простір плюс усе, що падає всередину.
Як перевести результат у милі, фути або астрономічні одиниці?
Калькулятор робить це автоматично. Якщо рахуєте вручну: поділіть метри на 1609.344, щоб отримати милі, на 0.3048 — фути, а на \(1.496 \times 10^{11}\) — астрономічні одиниці. Наприклад, горизонт Сонця радіусом 2953 м — це приблизно 1,84 милі, 9690 футів або \(2 \times 10^{-8}\) а. о.; порівняно з відстанню між Землею і Сонцем це менше, ніж атом.
Чи мають моє тіло або побутові предмети радіус Шварцшильда?
Так, він є в кожної маси: у людини масою 70 кг — близько \(10^{-25}\) м, приблизно на десять порядків менше за протон. Це абсолютно нешкідливо: об’єкт стає чорною дірою, лише якщо щось стисне його всередину цього радіуса, а для звичайної речовини такого фізичного процесу не існує. Це суто теоретична межа.
Чому більші чорні діри мають меншу середню густину?
Тому що маса зростає лінійно з радіусом Шварцшильда, а охоплений об’єм — із кубом радіуса: \(\rho = 3c^6/(32\pi G^3 M^2)\). Подвоєння маси подвоює радіус, але збільшує об’єм учетверо... точніше, вісім разів, тож середня густина падає вчетверо. Саме тому чорна діра з мільярдом мас Сонця в середньому має густину приблизно як повітря, а діра зоряної маси перевершує ядерні густини.
Які типові помилки під час роботи з формулою?
Найпоширеніша помилка — плутанина з одиницями: завжди переведіть масу в кілограми і використовуйте значення \(G\) та \(c\) в одиницях СІ перед підстановкою. Також часто забувають, що результат виражено в метрах (а не в км), вважають, що формула стосується поточного розміру зорі (вона має значення, лише коли маса вміщується всередину \(r_s\)), і нехтують тим, що обертання може зменшити реальний горизонт — для діри Керра аж удвічі.