Калькулятор переходу Гомана
Обчисліть обидва імпульси, сумарний Δv і час переходу Гомана між двома компланарними коловими орбітами. Введіть гравітаційний параметр і радіуси обох орбіт.
Знайдіть Δv і час переходу між двома круговими орбітами
Формула переходу Гомана
Де:
- \(\mu\) — гравітаційний параметр центрального тіла, \(\mu = GM\) (км³/с²)
- \(r_1\) — радіус початкової колової орбіти, відлічуваний від центру тіла (км)
- \(r_2\) — радіус цільової колової орбіти (км)
- \(\Delta v_1, \Delta v_2\) — прирости швидкості першого й другого імпульсу (км/с)
- \(a\) — велика піввісь перехідного еліпса (км)
- \(t\) — час переходу, тобто половина періоду обертання перехідного еліпса (с)
Перший вираз дає імпульс, який треба виконати на радіусі \(r_1\), щоб перейти на еліпс, що дотикається до обох колових орбіт; другий — імпульс через пів оберту на радіусі \(r_2\), щоб перейти на колову орбіту. Сумарний Δv дорівнює сумі модулів обох приростів: \(\Delta v = |\Delta v_1| + |\Delta v_2|\).
Перехід Гомана — приклад розрахунку
Приклад: космічний апарат на низькій навколоземній орбіті висотою 300 км (радіус \(r_1 = 6678\) км) переводять на геостаціонарну орбіту (радіус \(r_2 = 42{,}164\) км). Для Землі \(\mu = 398{,}600.44\) км³/с².
\[ \Delta v_1 = \sqrt{\frac{398600.44}{6678}} \left( \sqrt{\frac{2 \times 42164}{6678 + 42164}} - 1 \right) = 7.726 \times 0.3140 = 2.426 \text{ км/с} \]
\[ \Delta v_2 = \sqrt{\frac{398600.44}{42164}} \left( 1 - \sqrt{\frac{2 \times 6678}{48842}} \right) = 3.075 \times 0.4771 = 1.467 \text{ км/с} \]
\[ \Delta v = 2.426 + 1.467 = 3.893 \text{ км/с} \]
\[ t = \pi \sqrt{\frac{24421^3}{398600.44}} \approx 18{,}986 \text{ с} \approx 5.27 \text{ год} \]
Результат: апарат надає імпульс 2,426 км/с, щоб перейти на перехідний еліпс, і ще 1,467 км/с, щоб перейти на колову орбіту на ГСО — разом 3,893 км/с — а сам перехід триває приблизно 5,27 години (половина 10,55-годинного періоду перехідного еліпса).
Як користуватися калькулятором
- Введіть Гравітаційний параметр (μ) центрального тіла та оберіть одиницю (км³/с² або м³/с²). Для Землі використовуйте 398 600,44 км³/с²; у підказках до полів наведено значення для Місяця, Сонця і Марса.
- Введіть Радіус початкової орбіти (r₁). Це відстань від центру тіла, а не висота. Якщо відома лише висота, спочатку додайте радіус тіла (для Землі ≈ 6 371 км).
- Так само введіть Радіус цільової орбіти (r₂) та оберіть км, м або милі для обох радіусів.
- Зчитайте результати: Перший приріст швидкості (Δv₁), Другий приріст швидкості (Δv₂), Сумарний Δv, Час переходу, а також таблицю деталей зі швидкостями на колових орбітах і на перехідній орбіті, великою піввісю перехідного еліпса та періодами обох орбіт.
Що таке перехід Гомана?
Перехід Гомана переміщує космічний апарат між двома коловими орбітами, що лежать в одній площині, за допомогою рівно двох імпульсів. Спочатку апарат вмикає двигун за напрямком руху (або проти нього, якщо переходить на нижчу орбіту), піднімаючи — чи знижуючи — протилежний бік орбіти так, що вона стає еліпсом, дотичним до обох кіл. На дальньому кінці цього еліпса, через пів оберту, другий імпульс вирівнює швидкість із цільовою коловою орбітою. Оскільки еліпс дотикається до кожної з орбіт лише раз, геометрія тут цілком симетрична, а величини імпульсів — найменші, яких взагалі допускає геометрія.
Вальтер Гоман описав цей маневр 1925 року, і згодом було доведено, що це найекономніший за паливом перехід між компланарними коловими орбітами, який використовує лише два імпульси. Саме завдяки такій ефективності він став стандартом для підняття орбіт: зв’язкові супутники, що виходять на геостаціонарну орбіту, і міжпланетні зонди, які летять між орбітами планет навколо Сонця, рухаються траєкторіями типу Гомана. Класичний перехід Земля — Марс, наприклад, — це еліпс Гомана навколо Сонця тривалістю близько 8,5 місяця.
Сумарний Δv — це справжня «паливна ціна» маневру. Разом із рівнянням ракети він визначає, скільки палива мусить нести апарат, тому планувальники місій порівнюють переходи майже виключно в км/с. Час переходу — половина періоду еліпса — це плата за таку ефективність: перехід Гомана є найповільнішим із розумних двоімпульсних маршрутів. Швидші переходи існують, але вони потребують більших імпульсів і іншої форми траєкторії.
Під час інтерпретації результатів звертайте увагу на напрямок маневру. Під час переходу назовні (підняття орбіти) обидва імпульси є розгонами. Під час переходу всередину обидва імпульси є гальмуваннями — калькулятор показує їхні модулі, адже гальмівний імпульс витрачає стільки ж палива.
Припущення, обмеження та практичні поради
- Компланарні колові орбіти. Якщо орбіти нахилені одна до одної, потрібні додаткові імпульси зміни площини орбіти, у додаток до значень, показаних тут, а оптимальний розподіл імпульсів змінюється.
- Імпульсні вмикання двигунів. Реальні двигуни працюють хвилинами, а не миттєво, через що виникають невеликі гравітаційні втрати; двигуни малої тяги (електричні) використовують зовсім іншу, спіральну траєкторію.
- Тіло — матеріальна точка, без збурень. Опір атмосфери на дуже низьких орбітах, сплюснутість тіла і гравітація третіх тіл не враховуються. На низькій навколоземній орбіті опір атмосфери постійно знижує орбіту, і його доводиться компенсувати окремо.
- Радіуси, а не висоти. Найпоширеніша помилка під час введення даних — вказати висоту замість радіуса. Радіус = висота + радіус тіла; типовий приклад (висота 300 км → радіус 6 678 км) демонструє перерахунок для Землі.
- Дуже великі відношення радіусів. Коли \(r_2/r_1\) перевищує приблизно 11,9, біеліптичний перехід (три імпульси через проміжну дуже високу орбіту) може перевершити перехід Гомана за сумарним Δv — ціною значно довшого часу польоту.
- Міжпланетні переходи. Візьміть \(\mu\) Сонця (1,32712×10¹¹ км³/с²) та орбітальні радіуси двох планет і пам’ятайте, що в момент відльоту планети мають перебувати у правильній фазі.
Для швидкої довідки — поширені гравітаційні параметри: Земля 398 600,44 км³/с², Місяць 4 902,8 км³/с², Марс 42 828,4 км³/с², Сонце 1,32712×10¹¹ км³/с². Корисні радіуси орбіт навколо Землі: ННО ≈ 6 678 км, GPS ≈ 26 560 км, ГСО = 42 164 км, орбіта Місяця ≈ 384 400 км — усі відлічують від центру Землі.
Часті запитання
Чому мій ручний розрахунок відрізняється від результату калькулятора?
Найпоширеніша причина — невідповідність одиниць. Якщо ви ввели \(\mu\) у м³/с², а радіуси — у кілометрах, швидкості виходять хибними у \(\sqrt{10^9} \approx 31{,}623\) разів. Завжди поєднуйте км³/с² з км або м³/с² з м. Друга причина — використання висоти замість радіуса: памʼятайте, що \(r = \text{висота} + R_{тіла}\), тож 300 км над Землею означає \(r = 6{,}671 + 300 \approx 6{,}678\) км.
Які типові значення Δv для поширених переходів Гомана?
Кілька орієнтирів: перехід із ННО на ГСО коштує близько 3,9 км/с, з ННО на орбіту Місяця — приблизно 3,1 км/с, а геліоцентричний перехід Земля — Марс потребує близько 5,6 км/с сумарних імпульсів відльоту й прибуття. Незначні підняття орбіти в межах ННО, скажімо з 400 до 800 км, коштують лише десятки м/с. Якщо ваш результат далеко поза цими межами, неодмінно перевірте, чи використано радіуси, а не висоти.
Чи враховує калькулятор зміну площини орбіти або різницю нахилів?
Ні. Чистий перехід Гомана передбачає, що обидві орбіти лежать в одній площині. Якщо цільова орбіта нахилена, потрібен додатковий імпульс зміни площини вартістю \(\Delta v = 2v\sin(\Delta i/2)\), де \(v\) — орбітальна швидкість у точці виконання маневру. Зміна площини найдешевша на великій висоті, де швидкість мала, тому проєктанти місій часто поєднують її з імпульсом переходу на колову орбіту в апогеї, а не виконують окремо.
Як знайти відповідне вікно запуску для міжпланетного переходу Гомана?
Час перельоту апарата має узгоджуватися з рухом цільової планети. Обчисліть час переходу \(t\) цим калькулятором, а потім визначте, наскільки просунеться цільова планета за цей час: \(\theta = 360° \cdot t/T_{цілі}\), де \(T_{цілі}\) — орбітальний період цільової планети. Необхідний фазовий кут між двома планетами в момент відльоту становить \(180° - \theta\). Для переходу Земля — Марс це приблизно 44°, саме тому вікна запуску до Марса повторюються приблизно кожні 26 місяців.
Чи можна користуватися цим калькулятором для еліптичних початкових орбіт?
Ні, формули справедливі лише для переходів між коловими орбітами. Якщо початкова орбіта еліптична, величини імпульсів залежать від того, в якій точці еліпса вмикається двигун, і простий дотичний двоімпульсний перехід зазвичай незастосовний. Для еліптичних орбіт потрібен загальніший підхід на основі розв’язування задачі Ламберта, який знаходить траєкторію між двома довільними точками простору. Втім, орбіти з малим ексцентриситетом (e < 0,01, як у більшості робочих орбіт) дають результати, близькі до колового випадку.
Як перетворити сумарний Δv на потрібну кількість палива?
Скористайтеся рівнянням Ціолковського \(\Delta v = v_e \ln(m_0/m_f)\), де \(v_e\) — швидкість витіку, а \(m_0\) і \(m_f\) — початкова й кінцева маси. Після перетворення: \(m_0 = m_f \cdot e^{\Delta v / v_e}\). Частка палива зростає з Δv дуже швидко, тому планувальники місій борються за кожен м/с. Наприклад, перехід ННО — ГСО з Δv 3,9 км/с на хімічному двигуні (\(v_e \approx 3\) км/с) означає, що понад 70 % стартової маси припадає на паливо.
Чи перехід Гомана завжди є найкращим вибором?
Не завжди. Це найефективніший двоімпульсний перехід між компланарними коловими орбітами, але не об’язково найкращий узагалі. Коли відношення радіусів \(r_2/r_1\) перевищує приблизно 11,9, дешевшим може виявитися біеліптичний перехід із трьома імпульсами. Якщо час критичний, існують швидші переходи з більшими імпульсами. А апарати з електричними двигунами використовують безперервні спіральні траєкторії малої тяги, які повільно піднімають орбіту: вони коштують трохи більшого Δv, але значно менше палива завдяки високій швидкості витікання.